第 23講 圓的基本性質 浙江專用 1 主要概念 (1)圓：平面上到 _的距離等于 _的所有點組成的圖形叫做圓 _叫做圓心 ， _叫做半徑 ， 以 O為圓心的圓記作 O. (2)弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做 _， 連結圓上任意兩點的線段 叫做 _， 經過圓心的弦叫做直徑 ， 直徑是最長的 _ (3)圓心角：頂點在 _的角叫做圓心角 (4)圓周角：頂點在 _， 角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角 (5)等?。涸?_中 ， 能夠完全 _的弧叫做等弧 定點 定長 定點 定長 弧 弦 弦 圓心 圓上 同圓或等圓 重合 2 圓的有關性質 (1)圓的對稱性： 圓是 _圖形 ， 其對稱軸是 _ 圓是 _圖形 ， 對稱中心是 _ 旋轉不變性 ， 即圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度 ， 都能與原來的圖形 重合 (2)垂徑定理及推論： 垂徑定理：垂直于弦的直徑 _， 并且 _ 垂徑定理的推論： 平分弦 (不是直徑 )的直徑 _， 并且 _； 弦的垂直平分線 _， 并且平分弦所對的兩條??； 平分弦所對的一條弧的直徑 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所對的另一條弧 軸對稱 過圓心的任意一條直線 中心對稱 圓心 平分弦 平分弦所對的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對的兩條弧 經過圓心 (3)弦、弧、圓心角的關系定理及推論： 弦、弧、圓心角的關系：在同圓或等圓中 ， 相等的圓心角所對的弧 _， 所對的弦 _ 推論：在同圓或等圓中 ， 如果兩個 _、 _、 _、 _中有一組量相等 ， 那么它們所對應的其余各組 量都分別相等 (4)圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的 _ 圓周角定理的推論： 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧 _ 半圓 (或直徑 )所對的圓周角是 _； 90 的圓周角所對的弦是 _ 相等 相等 圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 一半 相等 直角 直徑 (5)點和圓的位置關系 (設 d為點 P到圓心的距離 ， r為圓的半徑 )： 點 P在圓上 _； 點 P在圓內 _； 點 P在圓外 _ (6)過三點的圓： 經過不在同一直線上的三點 ， 有且只有一個圓 經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角 形的外心；三角形的外心是三邊 _的交點 ， 這個三角形叫 做這個圓的內接三角形銳角三角形的外心在三角形內部；直角三角形 的外心在斜邊中點處；鈍角三角形的外心在三角形的外部 (7)圓的內接四邊形： 圓內接四邊形的對角 _ d r dr 垂直平分線 互補 1 常見的輔助線 (1)有關弦的問題 ， 常作其弦心距 ， 構造以半徑 、 弦的一半 、 弦心距為邊 的直角三角形 ， 利用勾股定理知識求解 (如圖 )； 圖 圖 圖 (2)有關直徑的問題 ， 常通過輔助線構造直徑所對的圓周角是直角來進行證 明或計算 (如圖 )； (3)有等弧或證弧相等時 ， 常連等弧所對的弦或作等 (同 )弧所對的圓周 (心 ) 角 (如圖 ) 2 分類討論 在圓中 ， 常涉及到分類討論 ， 如一條弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧兩種 ， 則其 所對的圓周角不一定相等；另外 ， 有關于弦的問題也需要分類討論 ， 如有 兩條弦時 ， 需要分在同側還是異側等 1 (2016黃石 )如圖所示 ， O的半徑為 13， 弦 AB的長度是 24， ON AB， 垂足為 N， 則 ON ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 A 2 ( 2 0 1 6 紹興 ) 如圖 ， BD 是 O 的直徑 ， 點 A ， C 在 O 上 ， AB BC ， AOB 60 ， 則 B DC 的度數是 ( ) A 60 B 45 C 35 D 30 D 3 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 已知 AC 是 O 的直徑 ， 點 B 在圓周上 ( 不與 A 、 C 重合 ) ， 點 D 在 AC 的延長線上 ， 連結 BD 交 O 于點 E ， 若 AOB 3 A DB ， 則 ( ) A DE EB B. 2 DE EB C. 3 DE DO D DE OB D 4 (2016蘭州 )如圖 ， 四邊形 ABCD內接于 O， 若四邊形 ABCO是平 行四邊形 ， 則 ADC的大小為 ( ) A 45 B 50 C 60 D 75 C 5 (2016舟山 )把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開 ， 圖 中的虛線表示折痕 ， 則的度數是 ( ) C A 120 B 135 C 150 D 165 垂徑定理及其推論 【例 1 】 ( 2 0 1 6 安順 ) 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， 弦 CD AB 于點 E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 則 BE _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【點評】 本題考查的是垂徑定理及勾股定理 ， 根據題意作出輔助線 ， 構 造出直角三角形是解答此題的關鍵 4 7 對應訓練 1 如圖 ， O是 ABC的外接圓 ， 弦 BD交 AC于點 E， 連結 CD， 且 AE DE， BC CE. (1)求 ACB的度數； (2)過點 O作 OF AC于點 F， 延長 FO交 BE于點 G， DE 3， EG 2， 求 AB的長 解： ( 1 ) 在 A E B 和 DE C 中 ， A D ， AE ED ， A E B DE C ， A E B DE C ( A S A ) ， EB EC ， 又 BC CE ， BE CE BC ， E B C 為等邊三角形 ， AC B 60 . ( 2 ) OF AC ， AF CF ， E B C 為等邊三角形 ， GE F 60 ， E GF 30 ， EG 2 ， EF 1 ， 又 AE ED 3 ， CF AF 4 ， AC 8 ， EC 5 ， BC 5 ， 作 BM AC 于點 M ( 圖略 ) ， BCM 60 ， MB C 30 ， CM 5 2 ， BM BC 2 CM 2 5 3 2 ， AM AC CM 11 2 ， AB AM 2 BM 2 7 圓心角、弧、弦之間的關系 【例 2 】 ( 2 0 1 6 臺灣 ) 如圖 ， 圓 O 通過五邊形 O A B C D 的四個頂點若 A B D 150 ， A 65 ， D 60 ， 則 BC 的度數為何？ ( ) A 25 B 40 C 50 D 55 B 【 點評 】 此題考查了圓心角、弧、弦的關系 ， 弄清圓心角、 弧、弦的關系是解本題的關鍵 對應訓練 2 (2015臺州 )如圖 ， 四邊形 ABCD內接于 O， 點 E在對角線 AC上 ， EC BC DC. (1)若 CBD 39 ， 求 BAD的度數； (2)求證： 1 2. (1)解： BC DC， CBD CDB 39 ， BAC CDB 39 ， CAD CBD 39 ， BAD BAC CAD 39 39 78 . (2)證明： EC BC， CEB CBE， 而 CEB 2 BAE ， CBE 1 CBD， 2 BAE 1 CBD， BAE CBD， 1 2. 圓周角定理及其推論 【 例 3】 (2016南寧 )如圖 ， 點 A， B， C， P在 O上 ， CD OA， CE OB， 垂足分別為 D， E， DCE 40 ， 則 P的度數為 ( ) A 140 B 70 C 60 D 40 【 點評 】 當圖中出現同弧或等弧時 ， 常?？紤]到弧所對的圓周角或圓 心角 ， 一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半 ， 通過相等的 弧把角聯系起來 B 對應訓練 3 ( 2 0 1 6 株洲 ) 已知 AB 是半徑為 1 的圓 O 的直徑 ， C 是圓上一點 ， D 是 BC 延長線上一點 ， 過點 D 的直線交 AC 于 E 點 ， 且 A EF 為等邊三角形 ( 1 ) 求證： DF B 是等腰三角形； ( 2 ) 若 DA 7 AF ， 求證： CF A B . (1)證明： AB是 O直徑 ， ACB 90 ， AEF為等邊三角 形 ， CAB EFA 60 ， B 30 ， EFA B FDB， B FDB 30 ， DFB是等腰三角形 (2)解：如圖 ， 過點 A作 AM DF于點 M， 設 AF 2a， AEF是等邊三 角形 ， FM EM a， AM a， 在 Rt DAM中 ， AD AF 2a， AM a， DM 5a， DF BF 6a， AB AF BF 8a， 在 Rt ABC中 ， B 30 ， ACB 90 ， AC 4a， AE EF AF 2a， CE 2a， CE EF， ECF EFC， AEF ECF EFC 60 ， CFE 30 ， AFC AFE EFC 60 30 90 ， CF AB. 點與圓的位置關系 【例 4 】 ( 2 0 1 6 連云港 ) 如圖 ， 在網 格中 ( 每個小正方形的邊長均為 1 個 單位 ) 選取 9 個格點 ( 格線的交點稱為格點 ) 如果以 A 為圓心 ， r 為半徑畫 圓 ， 選取的格點中除點 A 外恰好有 3 個在圓內 ， 則 r 的取值范圍為 ( ) A 2 2 r 17 B. 17 r 3 2 C. 17 r 5 D 5 r 29 B 點撥：如圖 ， AD 2 2 ， AE AF 17 ， A B 3 2 ， AB AE AD ， 17 r 3 2 時 ， 以 A 為圓心 ， r 為半徑畫圓 ， 選取的格點中除點 A 外恰好有 3 個在圓內 ， 故選 B. 【 點評 】 本題考查了點與圓的位置關系、勾股定理等知識 ， 解題的 關鍵是正確畫出圖形 ， 理解題意 對應訓練 4 在數軸上 ， 點 A所表示的實數為 3， 點 B所表示的實數為 a， A的半 徑為 2.下列說法中不正確的是 ( ) A 當 a 5時 ， 點 B在 A內 B 當 1 a 5時 ， 點 B在 A內 C 當 a 1時 ， 點 B在 A外 D 當 a 5時 ， 點 B在 A外 A 試題 ABC內接于半徑為 r的 O， 且 BC AB AC， OD BC于 D ， 若 OD r， 求 A的度數 錯解 解：當圓心 O 在 A B C 內時 ， 如圖 ， 連結 OB ， OC . OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， O C D 30 ， DO C 60 . 同理 ， B OD 60 ， B OC 120 ， A 60 . 當圓心 O 在 ABC 外時 ， 如圖 ， 連結 OB ， OC ， 同理 ， 可求得 B O C 120 ， A B OC 120 . 綜上 ， A 的度數為 60 或 120 . 剖析 上述解法看上去思考周全 ， 考慮了兩種情況 ， 實際上忽略了題目 的隱含條件 ， 因為 BC AB AC ， BC 是不等邊 A B C 的最大邊 ， 所以 A 60 不正確 ， 產生錯誤的根源是圖畫得不準確 ， 忽視了圓心的位 置 ， 實際上本題的圓心應在 ABC 的外部 正解 如圖 ， 連結 OB ， OC ， OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OC D 30 ， DO C 60 . 同理 ， BOD 60 ， BOC 120 ， A 120 .