第 19講 圓的基本性質(zhì) 1 ( 2 0 1 6 陜西 ) 如圖 ， O 的半徑為 4 ， A B C 是 O 的內(nèi)接三角形 ， 連接 OB ， OC . 若 B AC 與 B OC 互補(bǔ) ， 則弦 BC 的長(zhǎng)為 ( ) A 3 3 B 4 3 C 5 3 D 6 3 B 2 ( 2 0 1 2 陜西 ) 如圖 ， 在半徑為 5 的圓 O 中 ， AB ， CD 是互相垂直的兩條 弦 ， 垂足為 P ， 且 AB CD 8 ， 則 OP 的長(zhǎng)為 ( ) A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 C 3 2 3. ( 2 0 1 5 陜西 ) 如圖 ， AB 是 O 的弦 ， AB 6 ， 點(diǎn) C 是 O 上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn) ， 且 A C B 4 5 . 若點(diǎn) M ， N 分別是 AB ， BC 的中點(diǎn) ， 則 MN 長(zhǎng)的最 大值是 _ _ _ _ . 4 ( 2 0 1 4 陜西 ) 如圖 ， O 的半徑是 2 ， 直線 l 與 O 相交于 A ， B 兩點(diǎn) ， M ， N 是 O 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 且在直線 l 的異側(cè) ， 若 A MB 45 ， 則四 邊形 M A NB 面積的最大值是 _ _ _ _ . 4 2 5 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 30042054)(2013陜西 )如圖 ， AB是 O的一條弦 ， 點(diǎn) C是 O上一動(dòng)點(diǎn) ， 且 ACB 30 ， 點(diǎn) E， F分別是 AC， BC的中點(diǎn) ， 直線 EF與 O交于 G， H兩點(diǎn) ， 若 O的半徑為 7， 則 GE FH的最大值為 _. 10.5 點(diǎn)撥：當(dāng) GH 為 O 的直徑時(shí) ， GE FH 有最大值 ， 當(dāng) GH 為直徑時(shí) ， E 點(diǎn)與 O 點(diǎn)重合 ， AC 也是直徑 ， AC 14 ， A B C 是直徑上的圓周角 ， A B C 90 ， C 3 0 ， AB 1 2 AC 7 ， 點(diǎn) E ， F 分別為 AC ， BC 的中點(diǎn) ， EF 1 2 AB 3 . 5 ， GE FH GH EF 14 3 .5 1 0 . 5 垂徑定理及其推論的運(yùn)用 【 例 1】 (2016福建 )如圖 ， AB是 O的弦 ， 半徑 OC AB于點(diǎn) D， 若 O的半徑為 5， AB 8， 則 CD的長(zhǎng)是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【 點(diǎn)評(píng) 】 1.在求有關(guān)弦長(zhǎng)、圓心到弦的距離、半徑等問(wèn)題時(shí) ， 常構(gòu)造 以半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距為邊的直角三角形 ， 利用勾股定理知 識(shí)求解 2 在圖形中沒(méi)有出現(xiàn)直徑和半徑 ， 而有圓心到弦的垂線段時(shí) ， 也會(huì) 應(yīng)用垂徑定理 ， 在解答中要應(yīng)用方程思想 A 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016綏化 )如圖 ， O的直徑 CD 20 cm， AB是 O的弦 ， AB CD， 垂足為 M， 若 OM 6 cm， 則 AB的長(zhǎng)為 _ 16cm 2 (2016長(zhǎng)沙 )如圖 ， 在 O中 ， 弦 AB 6， 圓心 O到 AB的距離 OC 2， 則 O的半徑長(zhǎng)為 _ 13 弦、弧、弦心距、圓心角的關(guān)系 【例 2 】 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， BC CD DE ， C OD 34 ， 則 A EO 的度數(shù)是 ( ) A 5 1 B 56 C 6 8 D 78 A 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 導(dǎo)學(xué)號(hào) 3 0 0 4 2 0 5 5 )( 2 0 1 6 常州模擬 ) 如圖 ， AB 是半圓 O 的直徑 ， 點(diǎn) C ， D ， E 是半圓弧上的點(diǎn) ， 且弦 AC CD 2 ， 弦 DE EB 2 ， 求直 徑 AB 的長(zhǎng) 解：連接 CE ， 過(guò)點(diǎn) C 作 CH DE 于 H ， 如圖 ， 設(shè)半圓 O 的半徑為 r ， 弦 AC CD 2 ， 弦 DE EB 2 ， A OC C OD ， DOE B OE ， C OD DOE 1 2 A OB 90 ， 即 C OE 90 ， OC E 為等腰直 角三角形 ， CE 2 OC 2 r ， 1 1 2 DOE ， 2 1 2 C OD ， 1 2 1 2 C OE 45 ， 3 1 2 45 ， C DH 為等腰直角三 角形 ， CH DH 2 2 CD 2 ， EH DE DH 2 2 ， 在 Rt C HE 中 ， CE CH 2 HE 2 （ 2 ） 2 （ 2 2 ） 2 10 ， 2 r 10 ， r 5 ， AB 2r 2 5 圓周角定理及其推論的運(yùn)用 【 例 3】 (2016眉山 )如圖 ， A， D是 O上的兩個(gè)點(diǎn) ， BC是直徑若 D 32 ， 則 OAC ( ) A 64 B 58 C 72 D 55 B 【 點(diǎn)評(píng) 】 解答此類題 ， 應(yīng)掌握以下方法： 1 利用圓周角定理構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角或圓周角； 2 連接半徑 ， 根據(jù)同圓的半徑相等 ， 構(gòu)造等腰三角形 ， 利用等邊對(duì) 等角以及三線合一進(jìn)行證明或計(jì)算； 3 題中有圓的直徑時(shí) ， 往往要通過(guò)作輔助線利用直徑所對(duì)的圓周角 是直角來(lái)進(jìn)行證明或計(jì)算 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 (2016南寧 )如圖 ， 點(diǎn) A， B， C， P在 O上 ， CD OA， CE OB， 垂足分別為 D， E， DCE 40 ， 則 P的度數(shù)為 ( ) A 140 B 70 C 60 D 40 B 5 (2016雅安 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC 10， 以 AB為直徑的 O 與 BC交于點(diǎn) D， 與 AC交于點(diǎn) E， 連 OD交 BE于點(diǎn) M， 且 MD 2， 則 BE長(zhǎng) 為 _ 6 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 30042056)(2016永州 )如圖 ， 在 O中 ， A， B是圓上的兩 點(diǎn) ， 已知 AOB 40 ， 直徑 CD AB， 連接 AC， 則 BAC _度 8 35