數(shù)學(xué) 第 20節(jié) 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 四川專(zhuān)用 1 ( 2016 樂(lè)山 ) 如圖 ， 在 Rt ABC 中 ， BAC 90 ， AD BC 于點(diǎn) D ， 則下列結(jié)論不正確的是 ( ) A sin B AD AB B sin B AC BC C sin B AD AC D sin B CD AC C 2 ( 2016 巴中 ) 一個(gè)公共房門(mén)前的臺(tái)階高出地面 1.2 米 ， 臺(tái)階拆除后 ， 換成 供輪椅行走的斜坡 ， 數(shù)據(jù)如圖所示 ， 則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是 ( ) A 斜坡 AB 的坡度是 10 B 斜坡 AB 的坡度是 tan 10 C AC 1.2 tan 10 米 D .AB 1.2 cos 10 米 B 3 ( 2016 攀枝花 ) 如 圖 ， 點(diǎn) D(0 ， 3 ) ， O (0 ， 0 ) ， C (4 ， 0 ) 在 A 上 ， BD 是 A 的一條弦 ， 則 sin OBD ( ) A . 1 2 B . 3 4 C . 4 5 D . 3 5 4 ( 導(dǎo)學(xué)號(hào) 14 952105 )( 2016 自貢 ) 如圖 ， 在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中 ， 點(diǎn) A ， B ， C ， D 都在這些小正方形的頂點(diǎn)上 ， AB ， CD 相交于點(diǎn) P ， 則 AP PB _ ， tan APD 的值為 _ . D 3 2 5 (2014眉山 )如圖 ， 甲建筑物的高 AB為 40 m， AB BC， DC BC， 某 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量乙建筑物高度的實(shí)踐活動(dòng) ， 從 B點(diǎn)測(cè)得 D點(diǎn)的仰角為 60 ， 從 A點(diǎn)測(cè)得 D點(diǎn)的仰角為 45 .求乙建筑物的高 DC. 解：過(guò)點(diǎn) A 作 AE CD 于點(diǎn) E ， AB BC ， DC BC ， 四邊形 AB CE 為矩形 ， CE AB 40 m ， DAE 45 ， AE ED ， 設(shè) AE DE x m ， 則 BC x m ， 在 Rt BCD 中 ， DBC 60 ， CD BC t an 60 ， 即 40 x 3 x ， 解得 x 20( 3 1) ， 則 CD 的高度為 x 40 60 20 3 ( m ) 答：乙建筑 物的高 DC 為 (6 0 20 3 ) m 【 例 1】 (2014遂寧 )如圖 ， 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空 ， 再按要求答題： sin2A1 sin2B1 _； sin2A2 sin2B2 _； sin2A3 sin2B3 _ (1)觀察上述等式 ， 猜想：在 Rt ABC中 ， C 90 ， 都有 sin2A sin2B _ (2)如圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， A， B， C的對(duì)邊分別是 a ， b， c， 利用三角函數(shù)的定義和勾股定理 ， 證明你的猜想 (3) 已知： A B 90 ， 且 sin A 513 ， 求 sin B. 1 1 1 1 解： (1) 由圖可知： sin 2 A 1 sin 2 B 1 ( 1 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 1 ； sin 2 A 2 sin 2 B 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 1 ； sin 2 A 3 sin 2 B 3 ( 3 5 ) 2 ( 4 5 ) 2 1. 觀察上述等式 ， 可猜想： sin 2 A sin 2 B 1 (2) 如圖 ， 在 Rt ABC 中 ， C 90 . sin A a c ， sin B b c ， s in 2 A sin 2 B a 2 b 2 c 2 ， C 90 ， a 2 b 2 c 2 ， sin 2 A sin 2 B 1 (3) A B 90 ， sin 2 A sin 2 B 1 ， sin A 5 13 ， sin B 1 （ 5 13 ） 2 12 13 【 例 2】 (2016麗水 )數(shù)學(xué)拓展課程 玩轉(zhuǎn)學(xué)具 課堂中 ， 小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn) ：一副三角板中 ， 含 45 的三角板的斜邊與含 30 的三角板的長(zhǎng)直角邊相 等 ， 于是 ， 小陸同學(xué)提出一個(gè)問(wèn)題：如圖 ， 將一副三角板直角頂點(diǎn)重合拼 放在一起 ， 點(diǎn) B， C， E在同一直線上 ， 若 BC 2， 求 AF的長(zhǎng) 請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題 解：在 Rt ABC 中 ， BC 2 ， A 30 ， AC BC tan A 2 3 ， 則 EF AC 2 3 ， E 45 ， FC EF sin E 6 ， AF AC FC 2 3 6 【例 3 】 ( 20 16 廣安 ) 如圖 ， 某城市市民廣場(chǎng)一入口處有五級(jí)高度相等的小 臺(tái)階 已知臺(tái)階總高 1. 5 米 ， 為了安全現(xiàn)要作一個(gè)不銹鋼扶手 AB 及兩根與 FG 垂直且長(zhǎng)為 1 米的不銹鋼架桿 AD 和 BC ( 桿子的底端分別為 D ， C ) ， 且 DAB 66 .5 . ( 參考數(shù)據(jù)： cos 66 .5 0. 40 ， sin 66 .5 0. 92 ) ( 1 ) 求點(diǎn) D 與點(diǎn) C 的高度 DH ； ( 2 ) 求所有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度 ( 即 AD AB BC 的長(zhǎng) ， 結(jié)果精確到 0. 1 米 ) 分析： ( 1 ) 根據(jù)圖形可得 DH 1.5 4 5 ； ( 2 ) 過(guò) B 作 BM AD 于 M ， 先求出 AM ， 再解直角三角形 解： ( 1 ) DH 1.5 米 4 5 1. 2 米 ( 2 ) 過(guò) B 作 BM AD 于 M ， 在矩形 BCH M 中 ， MH BC 1 米 ， AM AD DH MH 1 米 1.2 米 1 米 1.2 米 ， 在 Rt AMB 中 ， AB AM cos 66 . 5 3.0 ( 米 ) ， 所以不銹鋼材料的總長(zhǎng)度為 1 米 3.0 米 1 米 5. 0 米 【例 4 】 (1) ( 2016 永州 ) 下列式子錯(cuò)誤的是 ( ) A cos 40 sin 50 B tan 15 tan 75 1 C sin 2 25 cos 2 25 1 D sin 60 2 sin 30 (2) ( 20 16 福州 ) 如圖 ， 以 O 為圓心 ， 半徑為 1 的弧交坐標(biāo)軸于 A ， B 兩點(diǎn) ， P 是 AB 上一點(diǎn) ( 不與 A ， B 重合 ) ， 連接 OP ， 設(shè) POB ， 則點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 ( ) A ( sin ， sin ) B ( co s ， cos ) C ( cos ， sin ) D ( sin ， cos ) D C 1 ( 2016 無(wú)錫 ) sin 30 的值為 ( ) A . 1 2 B . 3 2 C . 2 1 D . 3 3 A 2 ( 2016 紹興 ) 如圖 ， 在 Rt ABC 中 ， B 90 ， A 30 ， 以點(diǎn) A 為 圓心 ， BC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交 AB 于點(diǎn) D ， 分別以點(diǎn) A ， D 為圓心 ， AB 長(zhǎng)為半徑 畫(huà)弧 ， 兩弧交于點(diǎn) E ， 連接 AE ， DE ， 則 EAD 的余弦值是 ( ) A . 3 12 B . 3 6 C . 3 3 D . 3 2 B 3 (2016重慶 )某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹(shù) CD高度的綜合實(shí)踐活 動(dòng) ， 如圖 ， 在點(diǎn) A處測(cè)得直立于地面的大樹(shù)頂端 C的仰角為 36 ， 然后沿在 同一剖面的斜坡 AB行走 13米至坡頂 B處 ， 然后再沿水平方向行走 6米至大 樹(shù)腳底點(diǎn) D處 ， 斜面 AB的坡度 (或坡比 )i 1 2.4， 那么大樹(shù) CD的高度約為 (參考數(shù)據(jù)： sin36 0.59， cos36 0.81， tan36 0.73)( ) A 8.1米 B 17.2米 C 19.7米 D 25.5米 A 4 ( 2016 廈門(mén) ) 如圖 ， 在四邊形 ABCD 中 ， BCD 是鈍角 ， AB AD ， BD 平分 ABC ， 若 CD 3 ， BD 2 6 ， sin DBC 3 3 ， 求對(duì)角線 AC 的長(zhǎng) 解：過(guò) D 作 DE BC 交 BC 的延長(zhǎng)線于 E ， 則 E 90 ， sin DBC 3 3 ， BD 2 6 ， DE BD sin DBC 2 2 ， CD 3 ， CE CD 2 DE 2 1 ， BE BD 2 DE 2 4 ， BC 3 ， BC CD ， CBD CDB ， BD 平分 ABC ， ABD DBC ， ABD CDB ， AB CD ， 同理 AD BC ， 四邊形 ABCD 是菱形 ， 連接 AC 交 BD 于 O ， 則 AC BD ， AO CO ， BO DO 6 ， OC BC 2 BO 2 3 ， AC 2 3 5 ( 2016 巴中 ) 如圖 ， 隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快 ， 現(xiàn)規(guī)劃從 A 地到 B 地有一條筆直的鐵路通過(guò) ， 但在附近的 C 處有一大型油庫(kù) ， 現(xiàn)測(cè)得油庫(kù) C 在 A 地的北偏東 60 方向上 ， 在 B 地的西北方向上 ， AB 的距離為 2 50 ( 3 1) 米已知在以油庫(kù) C 為中心 ， 半徑為 2 00 米的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫(kù)的安全 造成影響問(wèn)若在此路段修建鐵路 ， 油庫(kù) C 是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明 理由 解：過(guò)點(diǎn) C 作 CD AB 于 D ， BD CD t an 45 CD ， AD CD tan 60 3 CD ， AD BD AB 250( 3 1) ， 即 3 CD CD 250( 3 1) ， CD 250 ， 250 米 200 米 ， 故在此路段修建鐵路 ， 油庫(kù) C 不會(huì)受到影響 6 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 14952106)(2016樂(lè)山 )如圖 ， 禁止捕魚(yú)期間 ， 某海上稽查隊(duì) 在某海域巡邏 ， 上午某一時(shí)刻在 A處接到指揮部通知 ， 在他們東北方向距 離 12海里的 B處有一艘捕魚(yú)船 ， 正在沿南偏東 75 方向以每小時(shí) 10海里的 速度航行 ， 稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí) 14海里的速度沿北偏東某一 方向出發(fā) ， 在 C處成功攔截捕魚(yú)船 ， 求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所 用的時(shí)間 解：設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為 x 小時(shí)； 如圖所示 ， 由題意得： ABC 45 75 120 ， AB 12 ， BC 10 x ， AC 14x ， 過(guò)點(diǎn) A 作 AD CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D ， 在 Rt ABD 中 ， AB 12 ， ABD 60 ， BD AB cos 60 6 ， AD AB si n 60 6 3 ， CD 10 x 6. 在 Rt ACD 中 ， 由 勾股定理得 ( 14x ) 2 ( 10 x 6 ) 2 ( 6 3 ) 2 ， 解得 x 1 2 ， x 2 3 4 ( 不合題意舍去 ) 答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所用時(shí)間為 2 小時(shí)