山西省 數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)與式 分式及其運(yùn)算 ( 是整式 ， 且 B中含有字母 ， B0) 1 分式的基本概念 ( 1) 形如 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的式子叫分式； ( 2) 當(dāng) _ _ _ 時 ， 分式 A B 有意義；當(dāng) _ _ _ _ 時 ， 分式 A B 無意義；當(dāng) _ _ _ _ _ 時 ， 分式 A B 的值為零 2 分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都乘 ( 或除以 ) _ _ _ _ _ _ ， 分式的值 不變 ， 用式子表示為 _ _ _ _ _ _ _ _ A B A M B M ， A B A M B M (M 是不等于零的整式 ) A B B0 B 0 A 0且 B0 同一個不等于零的整式 3 分式的運(yùn)算法則 4 最簡分式 如果一個分式的分子與分母沒有公因式 ， 那么這個分式叫做最 簡分式 5 分式的約分、通分 把分式中分子與分母的公因式約去 ， 這種變形叫做約分 ， 約分 的根據(jù)是分式的基本性質(zhì) 把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式 ， 這種 變形叫做分式的通分 ， 通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān) 鍵是確定幾個分式的最簡公分母 6 分式的混合運(yùn)算 在分式的混合運(yùn)算中 ， 應(yīng)先算乘方 ， 再將除法化為乘法 ， 進(jìn)行 約分化簡 ， 最后進(jìn)行加減運(yùn)算若有括號 ， 先算括號里面的靈 活運(yùn)用運(yùn)算律 ， 運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式 1 分式與分?jǐn)?shù)有許多類似的地方 ， 因此在分式的學(xué)習(xí)中 ， 要注 意與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)理解 2 分式運(yùn)算中的常用技巧 分式運(yùn)算 題 型多 ， 方法活 ， 要根據(jù)特點(diǎn)靈活求解如： 分 組 通分； 分步通分； 先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ； 重新排序； 整體 通分； 化 積為 差 ， 裂 項(xiàng) 相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求 值 可根據(jù)所 給 條件和求 值 式的特征 進(jìn) 行適當(dāng)?shù)?變 形、 轉(zhuǎn) 化 主要有以下技巧：整體代入法；參數(shù)法；平方法； 代入法；倒數(shù)法 D 1 ( 2 0 1 5 常州 ) 要使分式 3 x 2 有意義 ， 則 x 的取值范圍是 ( ) A x 2 B x 2 C x 2 D . x 2 2 ( 2 0 1 5 麗水 ) 分式 1 1 x 可變形為 ( ) A 1 x 1 B . 1 x 1 C 1 1 x D . 1 x 1 D A 3 ( 2 0 1 5 濟(jì)南 ) 化簡 m 2 m 3 9 m 3 的結(jié)果是 ( ) A m 3 B m 3 C . m 3 m 3 D . m 3 m 3 4 ( 2 0 1 5 江西 ) 下列運(yùn)算正確的是 ( ) A ( 2 a 2 ) 3 6a 6 B a 2 b 2 3 ab 3 3a 2 b 5 C . b a b a b a 1 D . a 2 1 a 1 a 1 1 C B 5 ( 2 0 1 5 萊蕪 ) 甲、乙兩人同時從 A 地出發(fā)到 B 地 ， 如果甲 的速度 v 保持不變 ， 而乙先用 1 2 v 的速度到達(dá)中點(diǎn) ， 再用 2v 的速 度到達(dá) B 地 ， 則下列結(jié)論中正確的是 ( ) A 甲、乙同時到達(dá) B 地 B 甲先到達(dá) B 地 C 乙先到達(dá) B 地 D 誰先到達(dá) B 地與速度 v 有關(guān) x0且 x1 6 ( 2 0 1 5 葫蘆島 ) 若代數(shù)式 x x 1 有意義 ， 則實(shí)數(shù) x 的取值范 圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7 ( 2 0 1 4 沈陽 ) 化簡： (1 1 x 1 ) 1 x _ _ _ _ _ _ 8 ( 2 0 1 5 丹東 ) 先化簡 ， 再求值： (1 1 a 2 ) a 2 1 a 2 ， 其中 a 3. 解：原式 a 1 a 2 a 2 （ a 1 ）（ a 1 ） 1 a 1 ， 當(dāng) a 3 時 ， 原式 1 3 1 1 2 1 x 1 9 ( 2015 盤錦 ) 先化簡 ， 再求值： x 1 x x 2 6x 9 x 2 1 x 3 x 1 ， 其中 x 2 s i n 30 1. 解：原式 x 1 x （ x 3 ） 2 （ x 1 ）（ x 1 ） x 1 x 3 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 3 1 x ， 當(dāng) x 2 s i n 30 1 2 1 2 1 0 時 ， 原式 3 10 ( 2015 遼陽 ) 先化簡 ， 再求值： x 2 1 （ x 1 ） 2 x x 1 1 2x ， 請選取一 個適當(dāng)?shù)?x 的數(shù)值代入求值 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） （ x 1 ） 2 x x 1 2x 1 x 1 2 x 2x x 1 ， 當(dāng) x 2 時 ， 原式 4 ( x 取不為 0 ， 1 的任意數(shù)均可 ) 分式的概念 ， 求字母的取值范圍 【例 1 】 ( 1 ) 下列各式中 ， 屬于分式的是 ( B ) A . x 1 2 B . 3 x 1 C . 2x 5 D . 2 3 ( a b ) ( 2 ) ( 2015 金華 ) 要使分式 1 x 2 有意義 ， 則 x 的取值應(yīng)滿足 ( D ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 ( 3 ) ( 葫蘆島模擬 ) 若分式 x 2 x 1 的值為 0 ， 則 x 的值為 ( C ) A 2 或 1 B 0 C 2 D 1 【點(diǎn)評】 ( 1 ) 根據(jù)分式定 義 ：形如 A B ( A ， B 表示兩個整式 ) ， 且 B 中含有字母 ， 則 式子 A B 叫做分式； ( 2 ) 分式有意 義 就是使分 母不 為 0 ， 解不等式即可求出 ， 有 時還 要考 慮 二次根式有意 義 ； ( 3 ) 首先求出使分子 為 0 的字母的 值 ， 再 檢驗(yàn)這 個字母的 值 是否 使分母的 值為 0 ， 當(dāng)它使分母的 值 不 為 0 時 ， 這 就是所要求的字 母的 值 x3 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1 ) ( 阜新模擬 ) 代數(shù)式 1 x 3 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義 ， 則 x 的 取值范圍是 _ _ _ _ _ _ ( 2 ) 若分式 x 2 1 x 1 的值為 0 ， 則 x 的值為 ( ) A 0 B 1 C 1 D 1 C 分式的性質(zhì) 【例 2 】 ( 1 ) 如果把 5x x y 的 x 與 y 都擴(kuò)大 10 倍 ， 那么這個代 數(shù)式的值 ( A ) A 不變 B 擴(kuò)大 50 倍 C 擴(kuò)大 10 倍 D 縮小到原來的 1 10 ( 2 ) ( 2015 益陽 ) 下列等式成立的是 ( C ) A . 1 a 2 b 3 a b B . 2 2a b 1 a b C . ab ab b 2 a a b D . a a b a a b ( 3) ( 撫順模擬 ) 已知 x y xy ， 求代數(shù)式 1 x 1 y (1 x ) ( 1 y) 的值 解： x y xy ， 1 x 1 y (1 x )(1 y) y x xy (1 x y xy ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 【點(diǎn)評】 ( 1) 分式的基本性 質(zhì) 是分式 變 形的理 論 依據(jù) ， 所有分式 變 形都不得與此相 違 背 ， 否 則 分式的 值 將改 變 ； ( 2) 將分式化 簡 ， 即 約 分 ， 要先找出分子、分母的公因式 ， 如果分子、分母是多 項(xiàng) 式 ， 要先將它 們 分 別 分解因式 ， 然后再 約 分 ， 約 分 應(yīng)徹 底； ( 3) 巧用分式的性 質(zhì) ， 可以 解決某些 較 復(fù) 雜 的 計(jì) 算 題 ， 可 應(yīng) 用逆向思 維 ， 把要求的算式和已知條件 由兩 頭 向中 間 湊的方式來求代數(shù)式的 值 A 對應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1 ) 下列計(jì)算錯誤的是 ( ) A . 0 . 2 a b 0 . 7 a b 2a b 7a b B . x 3 y 2 x 2 y 3 x y C . a b b a 1 D . 1 c 2 c 3 c ( 2 ) ( 2015 河北 ) 若 a 2b 0 ， 則 a 2 b 2 a 2 ab 的值為 _ _ _ 3 2 分式的混合運(yùn)算 【例 3 】 ( 朝陽模擬 ) 化簡： ( 1 a 1 1 a 2 1 ) a 2 a a 2 1 . 解 ：原式 a 1 1 （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） a （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） 1 a 1 【點(diǎn)評】 ( 1) 分式的加減運(yùn)算要把分子作 為 一個整體 進(jìn) 行加減 ， 當(dāng) 分子是多 項(xiàng) 式 時 ， 一定要添加括號； ( 2) 分式化 簡時 ， 分子分母能因式分 解的一定要先因式分解 ， 既可方便確定最 簡 公分母 ， 又有利于 約 分達(dá)到 簡 化運(yùn)算的效 果； ( 3) 乘除法是同 級 運(yùn)算 ， 必 須嚴(yán) 格按照從左到右的 順 序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是 錯誤 的 對應(yīng)訓(xùn)練 3 化簡： ( 1 ) ( 2015 瀘州 ) m 2 m 2 2m 1 ( 1 1 m 1 ) ； 解：原式 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 1 m 1 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 m m m 1 ( 2 ) ( 遼陽模擬 ) ( 1 1 m 1 ) m 2 4 m 2 m . 解：原式 m 2 m 1 m （ m 1 ） （ m 2 ）（ m 2 ） m m 2 分式的化簡求值 【例 4 】 ( 2 0 1 5 鐵嶺 ) 先化簡 a 2 2a 1 a 2 ( a 2 3 a 2 ) ， 然 后從 2 ， 1 ， 1 ， 2 四個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為 a 的值代 入求值 解 ： 原 式 （ a 1 ） 2 a 2 a 2 4 3 a 2 （ a 1 ） 2 a 2 a 2 （ a 1 ）（ a 1 ） a 1 a 1 ， 當(dāng) a 2 時 ， 原式 2 1 2 1 3 【 點(diǎn)評 】 分式化 簡 求 值時 ， 應(yīng) 注意：當(dāng)自主確定代數(shù)式中字 母的取 值時 ， 一定要注意所 選 取的 值 不 能使原分式中的分母 為 0 ；另外可整體代入 計(jì) 算的要整體代入 ， 以達(dá)到 簡 便 計(jì) 算的目的 B 對應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1) ( 2014 十堰 ) 已知 a 2 3a 1 0 ， 則 a 1 a 2 的值為 ( ) A . 5 1 B 1 C 1 D 5 ( 2) ( 2015 營口 ) 先化簡 ， 再求值： 2 m 1 m 2 m 2 1 ( 1 1 m 2 2m 1 ) ， 其中 m 滿足一元二次方程 m 2 (5 3 tan 30 )m 12 c o s 60 0. 解 ： 原 式 2 m 1 m 2 （ m 1 ）（ m 1 ） m （ m 2 ） （ m 1 ） 2 2 m 1 m 2 （ m 1 ）（ m 1 ） （ m 1 ） 2 m （ m 2 ） 2m m （ m 1 ） m 1 m （ m 1 ） m 1 m （ m 1 ） 1 m ， 方程 m 2 (5 3 tan 30 )m 12 c o s 60 0 ， 化簡得 m 2 5m 6 0 ， 解得 m 1( 舍去 ) 或 m 6 ， 當(dāng) m 6 時 ， 原式 1 6 1. 分式化簡求值 ) 試題 ( 2015 葫蘆島 ) 先化簡 ， 再求值： ( x x 1 x 1 x ) 2x 1 x 2 x ， 其中 x 3. 審題視角 本 題 考 查 分式的化 簡 及求 值 ， 針對 本 題 ， 應(yīng) 從運(yùn)算 順 序上入手 即先 計(jì) 算括號里的分式減法 ， 再將除法 轉(zhuǎn) 化 為 乘法 ， 最后 約 分化 簡 ， 代入 x 的 值進(jìn) 行 計(jì) 算 規(guī)范答題 解：原式 x 2 （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2x 1 2x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2x 1 x 1 x 1 ， 當(dāng) x 3 時 ， 原式 2. 答題思路 分式化 簡 求 值 的一般步 驟 第一步：若有括號的 ， 先 計(jì) 算括號內(nèi)的 運(yùn)算 ， 括號內(nèi)如果是異分母加減運(yùn)算 時 ， 需將異分母分式通分化 為 同分 母分式運(yùn)算 ， 然后將分子合并同 類項(xiàng) ， 把括 號去掉 ，簡 稱： 去括號 ； 第二步：若有除法運(yùn)算的 ， 將分式中除號 ( )后面的式子分子、分母 顛 倒 ， 并把 這 個式子前的 “ ” 變?yōu)?“ ” ， 保 證 幾個分式之 間 除了 “ 、 ” 就只 有 “ 或 ” ， 簡 稱： 除法變乘法 ； 第三步： 計(jì) 算分式乘法運(yùn)算 ， 利用因式分解、 約 分來 計(jì) 算乘法運(yùn)算 ， 簡 稱： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子 順 序 ， 從左到右 計(jì) 算分式加減運(yùn)算 ， 直到化 為 最 簡 形 式 ，簡 稱： 再算加減 ； 第五步：將所 給 數(shù) 值 代入求 值 ， 代入數(shù) 值時 要注意使原分式有意 義 ， 簡 稱： 代入求值 . 4. 勿忘分母不能為零 ) 試題 ( 2 0 1 5 煙臺 ) 先化簡： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x 1 1 x ) ， 再從 2 x 3 的范圍內(nèi)選取一個你最喜歡的值代入求值 錯解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 0 時 ， 原式 0. 剖析 ( 1 ) 由于 x 的 值 是根據(jù)自己的理解情況 給 出的 ， 所以此 題 是一道開放型的 試題 ， 但在 選擇 x 的 值時 ， 一定要注意所 選擇 的 x 的 值 要保 證 原分式有意 義 ； ( 2) 在 選擇 x 的 值時 ， 注意 x 除不 能取 0 ， 1 外 ， 取其它 值 均可 正解 原 式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 2 時 ， 原式 4