線段、角、相交線和平行線 第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 1 線段沿著一個方向無限延長就成為 _；線段向兩方無限延長 就成為 _；線段是直線上兩點間的部分 ， 射線是直線上某一點一 旁的部分 2 直線的基本性質(zhì)： _； 線段的基本性質(zhì)： _； 連接兩點的 _， 叫做兩點之間的距離 3 有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角 ， 也可以把角看成是由 一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形 (1)1周角 _平角 _直角 _， 1 _， 1 _ (2)小于直角的角叫做 _；大于直角而小于平角的角叫做 _； 度數(shù)是 90 的角叫做 _ 射線 直線 兩點確定一條直線 兩點之間線段最短 線段的長度 2 4 360 60 60 銳角 鈍角 直角 4 兩個角的和等于 90 時 ， 稱這兩個角 _， 同角 (或等角 )的 余角相等 兩個角的和等于 180 時 ， 稱這兩個角 _， 同角 (或等角 )的補 角相等 5 角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)： 角平分線上的點到 _ 線段垂直平分線上的點到線段 _ 到角兩邊的距離相等的點在角平分線上 到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上 6 兩條直線相交 ， 只有 _兩條直線相交形成四個角 ， 我們把其中相對的每一對角叫做對頂角 ， 對頂角 _ 互為余角 互為補角 角兩邊的距離相等 兩個端點的距離相等 一個交點 相等 7 兩條直線相交所組成的四個角中有一個是直角時 ， 我們說這兩條直 線互相 _， 其中的一條直線叫做另一條直線的 _， 它們 的交點叫做 _ 從直線外一點到這條直線的 _， 叫做點到直線的距離 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 ， _ 8 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線 ， 叫做這條線段的 _ 9 在同一平面內(nèi) ， 不相交的兩條直線叫做平行線經(jīng)過直線外一點 ， 有且只有一條直線和這條直線平行 垂直 垂線 垂足 垂線段的長度 垂線段最短 垂直平分線 10 平行線的判定及性質(zhì)： (1)判定： 在同一平面內(nèi) ， _的兩條直線叫做平行線； _相等 ， 兩直線平行； _相等 ， 兩直線平行； _， 兩直線平行； 平行于同一直線的兩直線平行 (2)性質(zhì)： 兩直線平行 ， _； 兩直線平行 ， _； 兩直線平行 ， _ 不相交 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角互補 同位角相等 內(nèi)錯角相等 同旁內(nèi)角互補 11 小結(jié)論： (1)在同一平面內(nèi) ， 垂直于同一直線的兩直線平行 (2)一個銳角的補角比它的余角大 90 ， 即若 0 90 ， 則 (180 ) (90 ) 90 . (3)基本圖形中的小結(jié)論： “ M”型 如圖， ( )若 AB CD，則 A C E； ( )若 A C E， 則 AB CD. “ C ” 型 如圖 ， ( ) 若 AB DE ， 則 A C D 360 ； ( ) 若 A C D 3 60 ， 則 AB D E . 拓展延伸： “ M ” 型 若 AB CD ， 則 1 2 3 4 5. “ C ” 型 若 AB CD ， 則 1 2 3 4 5 4 180 720 . 兩條直線的相互位置 在同一平面內(nèi) ， 兩條直 線 的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行 ， “ 在同一 平面內(nèi)”是其前提 ， 離開了 這 個前提 ， 不相交的直 線 就不一定平行了 ， 因 為 在空 間 里存在著既不平行也不相交的兩條直 線 ， 如正方體的有些棱 所在的 線 既不相交也不平行 線段、射線、直線 點通常表示一個物體的位置 ， 無大小可言點 動 成 線 ， 線 有彎曲的 ， 也 有筆直的 ， 彎曲的 線 叫做曲 線 ；而筆直的 線 ， 若向兩 邊 無限延伸 ， 沒有 端點且無粗 細 可言就叫做直 線 ；射線是直線的一部分， 向一方無限延伸 ，有一個端點；線 段也是直線的一部分， 有且只有兩個端點 兩個重要公理 (1)直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線簡稱：兩點確定一條直線 “有”表示存在性；“只有”體現(xiàn)唯一性，直線公理也稱直線性質(zhì)公理 (2)線段公理：兩點之間，線段最短 1 (2014撫順 )如圖 ， 已知 AB CD， CE平分 ACD， 當(dāng) A 120 時 ， ECD的度數(shù)是 ( ) A 45 B 40 C 35 D 30 D 2 (2014葫蘆島 )如圖 ， 桌面上有木條 b， c固定 ， 木條 a在桌面上繞點 O旋轉(zhuǎn) n (0 n 90)后與 b平行 ， 則 n ( ) A 20 B 30 C 70 D 80 B 3 (2015朝陽 )如圖 ， AB CD， A 46 ， C 27 ， 則 AEC 的大小應(yīng)為 ( ) A 19 B 29 C 63 D 73 D 4 (2014錦州 )如圖 ， 直線 a b， 射線 DC與直線 a相交于點 C， 過點 D作 DE b于點 E， 已知 1 25 ， 則 2的度數(shù)為 ( ) A 115 B 125 C 155 D 165 A 5 (2014遼陽 )如圖 ， 將三角板的直角頂點放在直線 a上 ， a b， 1 55 ， 2 60 ， 則 3的大小是 ( ) A 55 B 60 C 65 D 75 C 6 (2015鞍山 )一個角的余角是 5438， 則這個角的補角是 _ 7 (2015阜新 )如圖 ， 直線 a b， 被直線 c所截 ， 已知 1 70 ， 那 么 2的度數(shù)為 _ 125 22 110 8 (2015大連 )如圖 ， AB CD， A 56 ， C 27 ， 則 E的 度數(shù)為 _ 29 9 (2015鐵嶺 )如圖， AB CD， AC BC， ABC 35 ，則 1的度 數(shù)為 _ 55 10 (2014營口 )如圖 ， 直線 a b， 一個含有 30 角的直角三角板放置 在如圖所示的位置 ， 若 1 24 ， 則 2 _ 36 11 (2014鞍山 )如圖，直線 l1 l2， AB EF， 1 20 ，那么 2 _ 70 12 (2015丹東 )如圖， 1 2 40 ， MN平分 EMB，則 3 _. 110 線段的計算 【 例 1】 如圖， B， C兩點把線段 AD分成 2 3 4三部分， M是線段 AD 的中點， CD 16 cm.求： (1)MC的長； (2)AB BM的值 解： ( 1) 設(shè) AB 2x ， BC 3x ， 則 CD 4x ， 由題意得 4x 16 ， x 4 ， AD 2 4 3 4 4 4 36 ( cm ) ， M 為 AD 的中點 ， MD 1 2 AD 1 2 36 18 ( cm ) ， MC MD CD ， MC 18 16 2 ( cm ) (2)AB BM (2 4) (3 4 2) 4 5 【 點評 】 在解答有關(guān)線段的計算問題時，一般要注意以下幾個方面： 按照題中已知條件畫出符合題意的圖形是正確解題的前提條件；學(xué) 會觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系，列算式或方程來解答 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)已知線段 AB 8 cm， 在直線 AB上畫線段 BC， 使 BC 3 cm， 則 線段 AC _ (2)如圖 ， 已知 AB 40 cm， C為 AB的中點 ， D為 CB上一點 ， E為 DB的 中點 ， EB 6 cm， 求 CD的長 11cm或 5cm 解： E 為 BD 的中點 ， BD 2BE 2 6 12 ， 又 C 為 AB 的中 點 ， BC 12 AB 12 40 20 ， CD BC BD 20 12 8 ( cm ) 相交線 【 例 2】 (錦州模擬 )如圖 ， 直線 AB， CD相交于點 O， 射線 OM平分 AOC， ON OM， 若 AOM 35 ， 則 CON的度數(shù)為 ( ) A 35 B 45 C 55 D 65 【 點評 】 當(dāng)已知中有“相交線 ” 出現(xiàn) 的時候， 要充分挖掘其中隱 含的 “ 鄰補角和對頂角 ” ， 以幫助解題 C 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (1)(2015梧州 )如圖 ， 已知直線 AB與 CD交于點 O， ON平分 DOB ， 若 BOC 110 ， 則 AON的度數(shù)為 _度 145 (2)(鐵嶺模擬 )如圖 ， 直線 AB與直線 CD相交于點 O， E是 AOD內(nèi)一點 ， 已知 OE AB， BOD 45 ， 則 COE的度數(shù)是 ( ) A 125 B 135 C 145 D 155 B 平行線 【 例 3】 (1)(2015恩施州 )如圖 ， 已知 AB DE， ABC 70 ， CDE 140 ， 則 BCD的值為 ( ) A 20 B 30 C 40 D 70 B (2)(2015泰州 )如圖，直線 l1 l2， ， 1 40 ，則 2 _ 140 (3)(營口模擬 )如圖 ， 點 E是直線 AB， CD內(nèi)部一點 ， AB CD， 連接 EA， ED. (一 )探究猜想： 若 A 30 ， D 40 ， 則 AED等于多少度？ 若 A 20 ， D 60 ， 則 AED等于多少度？ 猜想圖中 AED， EAB， EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論 (二 )拓展應(yīng)用： 如圖 ， 射線 FE與矩形 ABCD的邊 AB交于點 E， 與邊 CD交于點 F， 分別是被射線 FE隔開的 4個區(qū)域 (不含邊界 ， 其中區(qū)域位于直線 AB上方 )， P是位于以上四個區(qū)域上的點 ， 猜想： PEB， PFC， EPF的關(guān)系 (不要求證明 ) 解： ( 一 ) AED 70 AE D 80 猜想： AE D EAB EDC ， 證明：延長 AE 交 DC 于點 F ， AB DC ， EAB EFD ， AE D 為 EDF 的外角 ， AE D E DF EF D E AB EDC ( 二 ) 根據(jù)題意得：點 P 在區(qū)域 時 ， E PF 360 ( PEB PF C ) ； 點 P 在區(qū)域 時 ， EP F PEB PF C ；點 P 在區(qū)域 時 ， E PF PEB PF C ；點 P 在區(qū)域 時 ， E PF PFC PEB 【 點評 】 正確識別 “ 三線八角 ” 中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 是正確答題的關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 3 (1)(2015西寧 )如圖 ， AOB的一邊 OA為平面鏡 ， AOB 37 36 ， 在 OB上有一點 E， 從 E點射出一束光線經(jīng) OA上一點 D反射 ， 反射光線 DC恰好與 OB平行 ， 則 DEB的度數(shù)是 ( ) A 74 12 B 74 36 C 75 12 D 75 36 C (2)(2015本溪 )如圖 ， 直線 a b， 三角板的直角頂點 A落在直線 a上 ， 兩 條直角邊分別交直線 b于 B， C兩點若 1 42 ， 則 2的度數(shù)是 _ 48 與直線交點個數(shù)有關(guān)的探究問題 【例 4 】 閱讀下列材料并填空： (1) 探究：平面上有 n 個點 (n 2) 且任意 3 個點不在同一條直線上 ， 經(jīng)過每 兩點畫一條直線 ， 一共能畫多少條直線？ 我們知道 ， 兩點確定一條直線 ， 平面上有 2 個點時 ， 可以畫 2 1 2 1( 條 ) 直 線；平面內(nèi)有 3 個點時 ， 一共可以畫 3 2 2 3( 條 ) 直線；平面上有 4 個點時 ， 一共可以畫 4 3 2 6 ( 條 ) 直線；平面內(nèi)有 5 個點時 ， 一共可以畫 _ _ _ _ _ 條直線 平面上有 n 個點時 ， 一共可以畫 _ _ _ _ _ 條直線 5 42 10 n（ n 1） 2 (2) 遷移：某足球比賽中有 n 個球隊 (n 2) 進行單循環(huán)比賽 ( 每兩隊之間必 須比賽一場 ) ， 一共要進行多少場比賽？ 有 2 個球隊時 ， 要進行 2 1 2 1( 場 ) 比賽 ， 有 3 個球隊時 ， 要進行 3 2 2 3( 場 ) 比賽 ， 有 4 個球隊時 ， 要進行 _ _ _ _ _ 場比賽 4 3 2 6 【點評】 此題給出了幾種特殊情況，從分子、分母數(shù)字的變化規(guī)律也 可以得到探究結(jié)果，熟記本題的探究結(jié)果，對解決一些問題會有所幫 助相類似地，平面上 n 條不同直線最多有 n （ n 1 ） 2 個交點 對應(yīng)訓(xùn)練 4 (1)平面上不重合的兩點確定一條直線 ， 不同的三點最多可確定 3條直 線 ， 若平面上不同的 n個點最多可確定 21條直線 ， 則 n的值為 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 C 解析： n （ n 1 ）2 21 ， 解得 n 7 (2)在某次商業(yè)聚會中，聚會結(jié)束后同桌的六個客人都互相握了手，聚會 開始時這六個客人也都互相問了好，那么，他們一共有多少次握手，多 少次問好？ 解：共握手 6 52 15( 次 ) ， 問好 6 5 30( 次 ) 5.列方程 (組 )求線段的長 ) 試題 線段 AB上有兩點 M， N， AM MB 5 11， AN NB 5 7， MN 1.5， 求 AB的長度 審題視角 幾何計算題未給出圖形的，在分析解題之前須先作出圖形， 其主要數(shù)量關(guān)系應(yīng)作正確標(biāo)注 這個問題涉及較復(fù)雜的比例計算，能應(yīng)用比例性質(zhì)求得已知線段和未知 線段的關(guān)系，進而求得未知線段長度一般運算較繁雜，這時若適當(dāng)設(shè) 未知元然后列方程 (組 )，解方程 (組 )可使計算清晰、簡潔這是我們學(xué) 習(xí)幾何的重要工具，也能鍛煉我們對知識的綜合應(yīng)用能力 規(guī)范答題 解法一：由題意設(shè) AM 5x ， 則 MB 1 1x ， AB 16 x. AN NB 5 7 ， AN 5 12 AB 5 12 16 x 20 3 x. 由題意得 20 3 x 5x 1.5 ， 解得 x 0.9 ， AB 16x 14.4. 解法二：設(shè) AM 5x ， MB 1 1x ， AN 5y ， NB 7y ， 則由題意得 5x 1 1x 5y 7y ， 5y 5x 1.5 ， 整理得 4x 3y ， y x 0.3 ， 解得 x 0.9 ， y 1.2. AB 16x 14.4. 答題思路 第一步：幾何 計 算 題 未 給 出 圖 形的 ， 在分析解 題 之前 須 先作出 圖 形； 第二步：數(shù)形 結(jié) 合 ，理解圖形的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系； 第三步：用一個 (或兩個 )未知數(shù)來表示問題中的比值； 第四步：根據(jù)圖形中的等量關(guān)系，列方程 (組 )，解方程 (組 )即可； 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點，完善解題步驟 17.因概念理解不清 ， 造成角的計算錯誤 試題 如圖 ， A OB 與 B OC 互為鄰補角 ， OD 是 A OB 的平分線 ， OE 在 B OC 內(nèi) ， B O E 12 EOC ， D OE 72 ， 求 EO C 的度數(shù) 錯解 解： OD 是 A OB 的平分線 ， B OD 1 2 A OB. B OE 1 2 EO C ， B OE 1 3 B OC ， E OC 2 3 B OC ， AOB B OC 180 ， EOC 2 3 1 80 1 20 . 答： EOC 的度數(shù)是 120 . 剖析 若不用方程的思想方法來考 慮 本 題 ， 可能無法下手 ， 或以 錯誤 告 終 本 題 已知角度的數(shù)量關(guān)系及某一個角的度數(shù) ， 要求其他角的度數(shù) ， 因 為給 出度數(shù)的角 DOE不能運用角平分 線 ， 也不知 DOE與其他角 的任何關(guān)系 ， 因此 DOE 72 ， 這 個條件用不上 ， 那么此 時 可以考 慮 在 應(yīng) 用 題 中學(xué) 習(xí) 的一種方法 ， 當(dāng)某個量不知道或不好表示 時 ， 我 們 常 用未知數(shù)把 這 個量 設(shè) 出來 ， 其他的量也都可以用 這 個未知數(shù)表示出來 ， 再列出方程解出 這 個未知數(shù) 當(dāng)然 ， 未知數(shù)的 設(shè) 法有多種 正解 設(shè) A OD x ， OD 是 A OB 的角平分線 ， BO D AOD x. 又 D OE 72 ， BOE 72 x. B O E 1 2 EOC ， EOC 2 (72 x) AOD DOB BOE EOC 180 ， x x ( 72 x ) 2 ( 72 x) 180 . x 36 ， 即 AOD 36 ， E OC 2 (72 36 ) 72