第一部分 教材梳理,第2節(jié) 三角形與全等三角形,第四章 圖形的認(rèn)識(shí)（一）,知識(shí)要點(diǎn)梳理,概念定理,1. 與三角形有關(guān)的概念 (1)三角形：不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角. (2)等邊三角形：三邊都相等的三角形. (3)等腰三角形：有兩條邊相等的三角形. (4)不等邊三角形：三邊都不相等的三角形. (5)在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.,(6)三角形分類： 按邊分類：不等邊三角形、等腰三角形(等邊三角形是等腰三角形的特殊形式). 按角分類：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形. (7)三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. (8)三角形的高：從ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做ABC的邊BC上的高. (9)三角形的中線：連接ABC的頂點(diǎn)A和它所對的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做ABC的邊BC上的中線. (10)三角形的角平分線：畫A的平分線AD，交A所對的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做ABC的角平分線. (11)三角形的中位線：連接ABC的兩邊的中點(diǎn)，所得線段叫做ABC的中位線.三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半. (12)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.,2. 與三角形有關(guān)的角 (1)三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°. (2)三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角. (3)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. (4)三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角. (5)三角形的外角和為360°. 3. 三角形的面積 三角形的面積= ×底×高. 應(yīng)用：經(jīng)常利用兩個(gè)三角形面積關(guān)系求底、高的比例關(guān)系或值.,4. 全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形. 5. 全等三角形的性質(zhì) (1)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等. (2)全等三角形的周長相等、面積相等. (3)全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等.,6. 全等三角形的判定 (1)邊邊邊：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“SSS”). (2)邊角邊：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“SAS”). (3)角邊角：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“ASA”). (4)角角邊：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“AAS”). (5)斜邊直角邊：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡寫成“HL”).,方法規(guī)律,1. 三角形三邊關(guān)系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的運(yùn)用 (1)在實(shí)際運(yùn)用中，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形. (2)在實(shí)際運(yùn)用中，已知兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差第三邊兩邊之和. (3)所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形.,2. 證明三角形全等的思路分析,中考考點(diǎn)精講精練,考點(diǎn)1 三角形的邊及有關(guān)概念,考點(diǎn)精講 【例1】(2014茂名)如圖4-2-1，地面上有三個(gè)洞口A，B，C，老鼠可以從任意一個(gè)洞口跑出，貓為能同時(shí)最省力地顧及三個(gè)洞口(到A、B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等)，盡快抓到老 鼠，應(yīng)該蹲守在 ( ) A. ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn) B. ABC三條角平分線的交點(diǎn) C. ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D. ABC三條中線的交點(diǎn),解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是知道三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 解此類題要注意以下要點(diǎn)： (1)三角形的高、角平分線、中線等的概念和意義； (2)線段垂直平分線的性質(zhì).,思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意，得知貓應(yīng)該到三個(gè)洞口的距離相等，則此點(diǎn)就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn). 答案：A,考題再現(xiàn) 1. (2014廣東)一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為 ( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 2. (2014深圳)如圖4-2-2，在RtABC中，C=90°，AD平分CAB，AC=6，BC=8，CD= .,A,3,3. (2014梅州)如圖4-2-3，在RtABC中，B=90°，分別以A,C為圓心，大于 AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N，連接MN，與AC，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，則： (1)ADE= ； (2)AE EC；(填“”“”或“=”) (3)當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，ABE的周長= .,90°,=,7,考題預(yù)測 4. 下列說法正確的是 ( ) A. 三角形三條高所在的直線交于一點(diǎn) B. 有且只有一條直線與已知直線平行 C. 垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直 D. 三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 5. 下列說法正確的有 ( ) 等邊三角形是等腰三角形；三角形的兩邊之差大于第三邊；三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形. A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè),A,B,6. 如圖4-2-4，ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，CAB=50°，C=60°，求DAE和BOA的度數(shù).,解：CAB=50°， C=60°， ABC=180°-50°-60°=70°. 又AD是高， ADC=90°. DAC=90°-C=30°. AE,BF是角平分線， CBF=ABF=35°，EAF=25°. DAE=DAC-EAF=5°. AFB=C+CBF=60°+35°=95°. BOA=EAF+AFB=25°+95°=120°.,7. 如圖4-2-5，AE，AD分別是ABC的高和角平分線，且B=40°，C=60°，求BAD和DAE的度數(shù).,解：B=40°，C=60°， BAC=180°-B-C=80°. AD是ABC的角平分線， BAD=DAC= BAC=40°. ADE=B+BAD=80°. DAE=90°-ADE=90°-80°=10°.,考點(diǎn)2 三角形的內(nèi)角和外角,考點(diǎn)精講 【例2】(2014廣州)ABC中，已知A=60°，B=80°，則C的外角的度數(shù)是 . 思路點(diǎn)撥：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解. 答案：140°,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是要掌握三角形的外角和內(nèi)角的有關(guān)性質(zhì). 解此類題要注意以下要點(diǎn)： 三角形的外角性質(zhì)之一：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.,考題再現(xiàn) 1. (2015綿陽)如圖4-2-6，在ABC中，B，C的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，ABC=42°，A=60°，則BFC= ( ) A. 118° B. 119° C. 120° D. 121°,C,2. (2012河源)如圖4-2-7所示，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張ABC紙片，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，使點(diǎn)A與點(diǎn)N重合.若A=75°，則1+2等于 ( ) A. 150° B. 210° C. 105° D. 75°,A,考題預(yù)測 3. 如圖4-2-8，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCDE的外部時(shí)，記AEB為1，ADC為2，則A,1與2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確的是 ( ) A. 1=2+A B. 1=2A+2 C. 1=22+2A D. 21=2+A 4. 如圖4-2-9，在ABC中，B=40°，三角形的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E，則AEC= .,B,70°,考點(diǎn)3 三角形的中位線,考點(diǎn)精講 【例3】(2011茂名)如圖4-2-10，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若DE=5，則BC等于 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 思路點(diǎn)撥：利用三角形的中位線定理即可求得BC的長. 答案：C,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線定理. 解此類題要注意以下要點(diǎn)： 三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.,考題再現(xiàn) 1. (2014廣東)如圖4-2-11，在ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若BC=6，則DE= . 2. (2015廣州)如圖4-2-12，四邊形ABCD中，A=90°, AB= ，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為 .,3,3,考題預(yù)測 3. 如圖4-2-13，EF是ABC的中位線，O是EF上一點(diǎn)，且滿足OE=2OF,則ABC的面積與AOC的面積之比為 ( ),D,4. 如圖4-2-14，等邊ABC的邊長是2，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF= BC，連接CD和EF. (1)求證：DE=CF； (2)求EF的長.,(1)證明：D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)， DE BC. 延長BC至點(diǎn)F，使CF= BC， DE FC，即DE=CF. (2)解：DE FC， 四邊形DEFC是平行四邊形.DC=EF. D為AB的中點(diǎn)，等邊ABC的邊長是2， BD= AB=1，CDAB，BC=2， DC= .EF=DC= .,考點(diǎn)4 全等三角形的性質(zhì)和判定,考點(diǎn)精講 【例4】(2013珠海)如圖4-2-15，已知EC=AC，BCE=DCA, A=E.求證：BC=DC.,思路點(diǎn)撥：先求出ACB=ECD，再利用“角邊角”證明ABC和EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可. 證明：BCE=DCA， BCE+ACE=DCA+ACE， 即ACB=ECD. 在ABC和EDC中， ABCEDC(ASA). BC=DC.,解題指導(dǎo)：解此類題的關(guān)鍵是設(shè)法證出兩個(gè)三角形全等. 解此類題要注意以下要點(diǎn)： 判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)， 角必須是兩邊的夾角.,考題再現(xiàn) 1. (2014深圳)如圖4-2-16，ABC和DEF中，AB=DE, B=DEF，添加下列哪一個(gè)條件無法證明ABCDEF? ( ) A. ACDF B. A=D C. AC=DF D. ACB=F,C,2. (2014廣州)如圖4-2-17，ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB，CD分別相交于點(diǎn)E,F，求證： AOECOF.,證明：四邊形ABCD是平行四邊形， OA=OC，ABCD. EAO=FCO. 在AOE和COF中， AOECOF(ASA).,3. (2013湛江)如圖4-2-18，點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上， FB=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF.,證明：FB=CE， FB+FC=CE+FC. BC=EF. ABED，ACFD， B=E，ACB=DFE. 在ABC和DEF中， ABCDEF(ASA). AC=DF.,考題預(yù)測 4. 如圖4-2-19，已知ACEDBF，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有 ( ) AC=DB;AB=DC;1=2;AEDF;SACE=SDBF;BC=AE;BFEC. A. 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè),C,5. 如圖4-2-20，OP平分MON，PEOM于點(diǎn)E，PFON于點(diǎn)F，OA=OB，則圖中有 對全等三角形. 6. 如圖4-2-21，已知AD是ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使AEDAFD，需添加一個(gè)條件： .,AE=AF(答案不唯一),3,7. 如圖4-2-22，在RtABC中，AB=AC，D,E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且DAE=45°，將ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到AFB，連接EF.求證：AEDAEF.,證明：AFB是ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的， AD=AF，F(xiàn)AD=90°. 又DAE=45°， FAE=90°-DAE=90°-45° =45°=DAE. 在AED與AEF中， AEDAEF(SAS).,