課件僅作為學(xué)習(xí)交流之用，不能用 于商業(yè)用途 第二講 有限元基礎(chǔ)理論 及平面問(wèn)題有限元方法 講述以下問(wèn)題 - 1.有限元與力學(xué)關(guān)系 2.回顧 -材料力學(xué)研究對(duì)象與研究方法 3.強(qiáng)度 問(wèn)題 、 剛度 問(wèn)題、 穩(wěn)定性 問(wèn)題 4.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) -空間問(wèn)題 5.廣義 Hooke定律 6.彈性力學(xué)的基本方程 7.彈性力學(xué)問(wèn)題分類(lèi) 8.三大方程、三類(lèi)問(wèn)題、三種解法 9.平面問(wèn)題 10.平面問(wèn)題的有限元方法 1.有限元與力學(xué)關(guān)系 彈性力學(xué)與理論力學(xué)區(qū)別：理論力學(xué)研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì) 點(diǎn)系與 剛體（質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)與剛體力學(xué)） 。 材料力學(xué)與彈性力學(xué)研究 變形體 。 力學(xué)分支眾多： 材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、板殼力 學(xué)、塑性力學(xué)、 斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué) 、 結(jié) 構(gòu)穩(wěn)定性理論、振動(dòng)理論、流體力學(xué) 、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等 ; 有限元方法是以力學(xué)理論為基礎(chǔ)，是一種現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方 法，是一種解決工程實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算工具，是現(xiàn)代設(shè) 計(jì)與分析方法的支柱！ 2.回顧 -材料力學(xué)研究對(duì)象與研究方法 研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見(jiàn)的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件） : （ 1） 桿、桿系、梁、柱， （長(zhǎng) 寬和高） -材料力學(xué) （ 2） 板 (中厚板 )、殼， （厚 長(zhǎng)與寬） -扳殼力學(xué) （ 3） 三維體 ， -彈性力學(xué) 截面法是處理固體力學(xué)問(wèn)題的最基本的方法： 通過(guò)外力（作用力和約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)， 通過(guò)本構(gòu)（物理）關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變）， 最重要的是材料力學(xué)中的 平截面法 ，其中尤以梁的平截面假設(shè)最 為重要。 -簡(jiǎn)化計(jì)算！ 平截面假設(shè) 初始與梁的中性軸垂直的平面 ,在變形后仍垂直于 軸線 , 并且在垂直軸線方向上無(wú)變形； 梁的基本方程： 2 2 dx wd EI M 1 2 2 dx wd 2max 6 bh M )4(2 22 ayhIQ bh Q 2 3 max max max I yM 3.研究工程結(jié)構(gòu)在使用狀態(tài)下的 安 全性 、 可靠性、使用性等 ，實(shí)現(xiàn) 結(jié)構(gòu)的功能與性能。 強(qiáng)度 問(wèn)題 (應(yīng)力值不超過(guò)許用值 ) ； 剛度 問(wèn)題 (變形不太大 )； 穩(wěn)定性 問(wèn)題（不失穩(wěn)）； 振動(dòng) 問(wèn)題（量值在限制范圍）； 碰撞問(wèn)題（安全生存空間）； 4 .點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) -空間問(wèn)題 彈性問(wèn)題 應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過(guò)程無(wú)關(guān) 。 九個(gè)應(yīng)力分量，九個(gè)應(yīng)變分量（獨(dú)立變量各六個(gè)）。 單元體研究方法。 zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6.彈性力學(xué)的基本方程 -三大方程 物理方程 x=2Gx + xy = Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx 0 Xzyx zxyxx 0 Yzyx zyyxy 0 Zzyx zyzxz 平衡方程 x u x x v y u xy y v y y w z v yz z w z z u x w zx 幾何方程 5.各向同性彈性體 廣義 Hooke定律 EE zyx x xyxy E 12 EE xzy y yzyz E 12 EE yxz z zxzx E 12 彈性力學(xué)有 15個(gè)基本方程 ： 3個(gè)平衡方程； 6個(gè)幾何方程； 6個(gè)本構(gòu)方程； 15個(gè)基本未知量 ： 3個(gè)位移分量； 6個(gè)應(yīng)力分量； 6個(gè)應(yīng)變分量； * 加適當(dāng)邊界條件。 彈性力學(xué)問(wèn)題解法 -三種解法（位移法、應(yīng)力法、混合法） 物理方程 應(yīng)力 平衡微分方程 靜力邊界條件 變形 (位移與應(yīng)變 ) 變形協(xié)調(diào)方程 (或位移單值連續(xù) ) 位移邊界條件 以位移作為未知數(shù) 幾何方程求應(yīng)變 物理方程求應(yīng)力 位移解法 聯(lián)立求解 彈性力學(xué)問(wèn)題分類(lèi) -三類(lèi)邊界問(wèn)題 靜力邊界問(wèn)題 位移邊界問(wèn)題 混合邊界問(wèn)題 S u S ( X , Y , Z ) ( X ,Y ,Z ) 由位移表示的平衡微分方程 其中 是 Lplace算子 靜力邊界條件使用位移表示 位移邊界條件 0)( XxGuG 2 0)( YyGvG 2 0)( ZGwG 2 z 2 2 2 2 2 22 zyx 9. 平面問(wèn)題 平面應(yīng)變 物體是一柱體，軸向方向很長(zhǎng) 所有外力（體積力和面力）都平行 于橫截面作用，且沿軸線大小不變 平面應(yīng)力 沿 z方向的厚度 t均勻且很小 所有外力均作用在板的周邊和板內(nèi)， 平行于板面作用，且沿厚度不變 x y z y t/ 2t/ 2 z x y 平面應(yīng)變特點(diǎn) （ 1）位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （ 2）應(yīng)變 平面內(nèi)， x、 y、 xy 0，均為 x、 y的函數(shù)； 平面外， z=xz=yz =0； （ 3）應(yīng)力 z=(x+y) 平面問(wèn)題的協(xié)調(diào)方程 01 )( yxzz E yx r xy xyyx 2 2 2 2 2 2 平面應(yīng)力特點(diǎn) （ 1）應(yīng)力 在 z = 的面上各點(diǎn)沒(méi)有任何應(yīng)力 z=zx =zy =0 在面內(nèi)： x、 y、 xy 0 （ 2）應(yīng)變 2 t xyxyyxyyxx E EE EE 12 yxz E xz=yz=0 （ 3) 位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0 平面問(wèn)題平衡微分方程 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 平面問(wèn)題幾何方程 y v y x v y u xy x u x 10. 有 限 元 方 法 概 念 平面問(wèn)題的有限元法 用彈性力學(xué)經(jīng)典解法解決實(shí)際問(wèn)題的主要困難在于求解偏微分方程 的復(fù)雜性 ， 而有限元方法則將原來(lái)連續(xù)的彈性體離散化 ， 其中最簡(jiǎn) 單的就是采用三角形單元對(duì)彈性體進(jìn)行劃分 。 把整個(gè)求解區(qū)域分成許多個(gè)有限小區(qū)域 ， 這些小區(qū)域稱(chēng)之為單元 。 在每個(gè)單元上構(gòu)造近似位移函數(shù) ， 即進(jìn)行所謂的分片插值 。 在每一個(gè)單元上求勢(shì)能 。 將所有單元上的勢(shì)能加起來(lái)得彈性體的總勢(shì)能 。 最后應(yīng)用最小勢(shì)能原理求解單元節(jié)點(diǎn)位移 。 對(duì)每個(gè)三角形單元選擇最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)為位移模式， 單元中任一點(diǎn)的位移可以通過(guò) 3個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)行插值運(yùn) 算，這樣整個(gè)區(qū)域中無(wú)限多個(gè)未知位移量就可以用有限 個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，從而避免了求解覆蓋整個(gè)區(qū)域的位移函 數(shù)的困難。平面問(wèn)題的有限元法，不僅可用來(lái)解決實(shí)際 問(wèn)題，而且通過(guò)其相對(duì)簡(jiǎn)單的概念，可以詳細(xì)了解用有 限元法對(duì)一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法步 驟，了解有限元法的性能特點(diǎn)，使用中應(yīng)注意的問(wèn)題， 從而為學(xué)習(xí)后續(xù)各章節(jié)打下基礎(chǔ)。 i j m x y ( x , y ) u v 下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念 單元位移模式 每個(gè)節(jié)點(diǎn)在單元平面內(nèi)有兩個(gè)位移分量 ， 相應(yīng)有兩個(gè)自由度： 一個(gè)三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，共 6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，其單元節(jié)點(diǎn)位移 列陣可表示為： 位移模式可取為最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，包含 6個(gè)待定常數(shù) 、 。 Tiii vu ),( mji TmmjjiiTTmTjTie vuvuvu 1 6 3321 321 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii 一種簡(jiǎn)單的線性位移函數(shù)為： 式中 、 、 為 6個(gè)待定常數(shù) ， 可以由單元的節(jié)點(diǎn)位移確定 。 設(shè)節(jié)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ( ， )、 （ ， ） 、 （ ， ） ， 其節(jié)點(diǎn)位移為 ， ， 將它們代入上式得： 聯(lián)立求解上述公式左邊的 6個(gè)方程，可以求出待定常數(shù) : 整理后得 ： yxv yxu 654 321 1 6 ix iy jx jy mx my ),(),(),( mmjjii vuvuvu 、 3321 321 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii )()()(2 1 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(2 1 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv 單元形函數(shù) 函數(shù) 表示單元內(nèi)部的位移分布形態(tài)，故 可稱(chēng)為單元的形態(tài)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為形函數(shù)。 得到由節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值公 式，即位移模式的另一形式。 )()()(2 1 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(2 1 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv ),()(2 1 mjiycxbaAN iiii ),( mjivNvNvNv uNuNuNu mmjjii mmjjii iN iN jN mN 單元應(yīng)變和應(yīng)力 m m j j i i mmjjii mji mji xy y x v u v u v u bcbcbc ccc bbb A 000 000 2 1 eB mji BBBB ee SBD mji SSSBDS ),( 2/)1(2/)1()1(2 2 mji bc cb cb A EBDS ii ii ii ii 單元平衡方程 整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，所劃分出的 一個(gè)小單元體同樣處于平衡狀態(tài)，而結(jié)構(gòu) 的平衡條件可通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。 有限元的任務(wù)就是要建立和求解整個(gè)彈性 體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方 程。為此首先要建立每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位 移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方程。單元平 衡方程可以利用最小勢(shì)能原理建立，也可 以利用虛功原理求解。 單元節(jié)點(diǎn)力列陣 ： 單元節(jié)點(diǎn)虛位移列陣： 單元內(nèi)部引起的虛應(yīng)變 ： 根據(jù)虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功 。 所以節(jié)點(diǎn)力 在節(jié)點(diǎn)的虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng) 變上所作的虛功 。 這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的 條件 ， 即單元的平衡條件 。 Tmmjjiie YXYXYXF Tmmjjii vuvuvu * Tzyx * t d xd yF TeeT * eTe t d x d yBDBF eee kF t dx dyBDBk Te e mmmjmi jmjjji imijii mji T m T j T i e kkk kkk kkk AtBBBD B B B k 單元?jiǎng)偠染仃?利用虛功方程來(lái)建立剛度方程，其實(shí)質(zhì)就是 單元的平衡方程 。 單元?jiǎng)偠染仃嚲哂幸韵滦再|(zhì)： (1) 單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義。其物理意 義是單位節(jié)點(diǎn)位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力。例如， 是表示 當(dāng)單元第 n個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移而其它自由度固定時(shí)， 在第 m個(gè)自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。 (2) 是對(duì)稱(chēng)矩陣。其元素之間有如下關(guān)系： ，這個(gè)特 性是由彈性力學(xué)中功的互等定理所決定的。 （ 3） 是奇異矩陣。其每一行每一列元素之和均為零，物 理意義就是：在無(wú)約束的條件下，單元可作剛體運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為零。 mnk srrs kk ek ek 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷 外載荷必須作用在節(jié)點(diǎn)上，而實(shí)際的 外載荷又往住并不是通過(guò)節(jié)點(diǎn)作用的。 因此，必須將這些非節(jié)點(diǎn)載荷按一定原 則移置到節(jié)點(diǎn)上，即所謂等效節(jié)點(diǎn)載荷 處理。這種移置必須滿足靜力等效原則 。 處理單元內(nèi)的集中力、體力和單元邊界上 的分布力 ，慣性力則作用在整個(gè)結(jié)構(gòu)上。 總剛度矩陣 當(dāng)以有限個(gè)單元通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)連接而成的組 合體來(lái)代替實(shí)際的連續(xù)體結(jié)構(gòu)而受力變形時(shí)，顯然 它們必須滿足整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件。 在整體分析中，利用節(jié)點(diǎn)為分析對(duì)象，根據(jù)各 節(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，即可建立起組合體所有節(jié)點(diǎn) 的靜力平衡方程式。把它們匯集在一起，得到的平 衡方程組就代表了整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件。進(jìn)行整體 分析，即是將各個(gè)單元的平衡方程集合在一起，得 到結(jié)構(gòu)的整體平衡方程。 K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，一般稱(chēng)為總剛度矩陣， 其維數(shù)為 2n 2n?？蓪?xiě)成分塊形式。 RK TTnTTT 321 TTnTTT RRRRR 321 解題步驟與算例 (1)首先繪出結(jié)構(gòu)幾何簡(jiǎn)圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。平面問(wèn)題 采用三角形單元 (其他形狀單元以后講述 )，所以其離散就是將 計(jì)算對(duì)象劃分成許多三角形單元。包括：進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)、單元 編號(hào)，任選一直角坐標(biāo)系，定出所有節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值等等。確定 載荷和邊界約束條件，將各單元所受的非節(jié)點(diǎn)載荷，包括體力、 面力以及可能有的集中力按虛功等效原則移置到節(jié)點(diǎn)上，并將 各節(jié)點(diǎn)上的這些載荷（包括直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中載荷）分 別按相同方向 疊加等。 (2)其次進(jìn)行單元分析、組集總剛度矩陣、求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。 前處理 計(jì)算 后處理 nnnnn n n R R R nKKK KKK KKK 2 1 2 1 21 22221 11211 平面問(wèn)題的離散化 單元類(lèi)型的選擇 單元的大小 單元有密有疏 不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線 平面問(wèn)題的有限元法，不僅有實(shí)際意義， 而且通過(guò)其相對(duì)簡(jiǎn)單的概念，可以詳細(xì)了解用 有限元法對(duì)一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原 理和方法步驟，了解有限元法的性能特點(diǎn)，使 用中應(yīng)注意的問(wèn)題，從而為學(xué)習(xí)以后各章打下 基礎(chǔ)。 有限元解法的三個(gè)主要步驟就是： 離散化、單元分析、整體分析 。 平面高階單元 四節(jié)點(diǎn)矩形單元： 為了提高有限單元法計(jì)算結(jié)果的精 度，除了增加單元數(shù)目外，還常采用具有較高次位移函數(shù)的單元。 等參數(shù)單元： 三角形單元和矩形單元的位移模式和坐換 變換式都采用了相同的形函數(shù)。例平面四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參單 元。 xyyxyxv xyyxyxu 8765 4321 )( )( ， ， i i i uNu 4 1 )()( ， i i i vNv 4 1 )()( ， 合肥工業(yè)大學(xué) 車(chē)輛工程系 第二講結(jié)束語(yǔ) 溫故而知新