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專題四 函數(shù)的應用,函數(shù)的應用是安徽中考每年必考題型,成為安徽卷中的亮點題目,形式設置簡潔流暢,背景鮮活,體現(xiàn)初高中數(shù)學知識的銜接.尤其對函數(shù)的實際應用題,應注意第一步由實際問題抽象出數(shù)學問題;第二步解決數(shù)學問題,從而使實際問題得到解決.其間應注意對轉化、數(shù)形結合、方程、待定系數(shù)法等思想方法的靈活運用.如安徽2009年第23題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應用,2012年第21題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用,2013年第22題是復合型函數(shù)的綜合應用,2014年第20題是方程組與一次函數(shù)綜合題,2015年第22題,考查了二次函數(shù)在幾何圖形最值問題中的應用,2016年第20題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應用問題,第22題是二次函數(shù)與圖形面積最值問題相結合的綜合問題.預計2017年安徽中考仍會出現(xiàn)函數(shù)應用的綜合題,尤其是帶有圖象信息的綜合實際應用題.,函數(shù)的實際應用題是近年中考的熱點試題,這類題來源于生活和生產(chǎn)實踐,貼近生活,具有較強的操作性和實踐性,所以參考條件多,思維有一定的深度,解答方法靈活多樣,解決問題時要慎于思考.題型主要包括:根據(jù)實際意義建模;利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進行比較等. 安徽中考試卷以實際生活為背景命制題目,體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系.把數(shù)學問題轉化在生活背景中是近年來經(jīng)常出現(xiàn)的命題方式,無不體現(xiàn)數(shù)學在實際生活中的應用. 純函數(shù)型情境應用題:解決這類問題的關鍵是針對背景材料,設定合適的未知數(shù),找出相等關系,建立方程(組)、不等式、函數(shù)型模型來解決. 幾何背景下的函數(shù)情境應用題:解決這類問題的關鍵是在理解題意的基礎上,對問題進行恰當?shù)某橄笈c概括,建立恰當?shù)膸缀文Ｐ?從而確定某種幾何關系,利用相關幾何知識來解決.幾何求值問題,當未知量不能直接求出時,一般需設出未知數(shù),繼而建立方程(組),用解方程(組)的方法去求結果,這是解題中常見的具有導向作用的一種思想.,對于幾何圖形與函數(shù)圖象結合的綜合題型,解題的關鍵是利用幾何圖形的有關性質(zhì)確定點的坐標,聯(lián)想到點的坐標和線段長之間的轉化關系,一般作垂直于坐標軸的線段,構建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函數(shù)等相關知識求出點的坐標,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,結合圖象也可進一步解決幾何圖形的其他問題.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用 典例1 (2016·淮北三模)如圖,在第一象限內(nèi),一次函數(shù)y=k1x-2的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點A(4,a),與y軸、x軸分別相交于B,C兩點,且BC=CA. (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2)根據(jù)圖象,試求出在第一象限內(nèi),一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍; (3)若M(m,n)(0m4)為反比例函數(shù)y= 圖象上一點,過M點作MN⊥x軸交一次函數(shù)y=k1x-2的圖象于N點,若以M,N,A為頂點的三角形是直角三角形,求M點的坐標.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及垂直的性質(zhì).(1)過點A作AE⊥x軸于點E,通過證明△ACE≌△BCO得出AE=BO,求出線段BO的長度,從而得出點A的坐標,即可求出反比例函數(shù)的解析式;(2)由點A的坐標,結合兩函數(shù)的圖象即可求解;(3)由點A的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,由MN垂直x軸和直線AB的解析式即可得出點N的坐標,由△AMN為直角三角形可得出關于m的一元二次方程,解方程即可求出m值,將其代入點M的坐標即可得出結論.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【答案】 (1)過點A作AE⊥x軸于點E. ∵AE⊥x軸,BO⊥OC,∴∠AEC=∠BOC=90°, ∴△ACE≌△BCO,∴AE=BO. 令一次函數(shù)y=k1x-2中x=0,則y=-2,∴BO=AE=2. ∴點A的坐標為(4,2),,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)觀察函數(shù)圖象可知:當0x4時,一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方, ∴在第一象限內(nèi),一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍為0x4.,∵點A(4,2)在一次函數(shù)y=k1x-2的圖象上, ∴2=4k1-2,解得k1=1,∴一次函數(shù)的解析式為y=x-2. ∵MN⊥x軸交一次函數(shù)y=x-2的圖象于N點, ∴點N的坐標為(m,m-2). ∵以M,N,A為頂點的三角形是直角三角形, ∴只能是AM⊥AN,即 =-1, ∴m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4(舍去). ∴點M的坐標為(2,4).,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2 二次函數(shù)圖象的實際應用(拋物線型),題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查三角函數(shù)、運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識.(1)過點P作PH⊥OA于點H,如圖,設PH=3x,運用三角函數(shù)可得OH=6x,AH=2x,根據(jù)條件OA=4可求出x,即可得到點P的坐標;(2)若水面上升1m后到達BC位置,如圖,運用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式,然后求出y=1時x的值,就可解決問題.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)若水面上升1 m后到達BC位置,如圖, 過點O(0,0),A(4,0)的拋物線的解析式可設為y=ax(x-4),,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型3 二次函數(shù)的實際應用 典例3 (2016·武漢)某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售,每年產(chǎn)銷x件.已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關信息如下表:,其中a為常數(shù),且3≤a≤5. (1)若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元,直接寫出y1,y2與x的函數(shù)關系式; (2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤; (3)為獲得最大年利潤,該公司應該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品?請說明理由.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查實際問題中利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值問題.(1)根據(jù)題意,直接寫出關系式即可;(2)在(1)的結論上,對y1和y2進行討論,求出兩種產(chǎn)品的最大年利潤;(3)可在(2)的結論上,對a進行分類討論,得出結論. 【答案】(1)y1=(6-a)x-20(00, ∴y1隨x的增大而增大. ∴當x=200時,(y1)max=1180-200a(3≤a≤5). 乙產(chǎn)品:y2=-0.05x2+10x-40(0x≤80), ∴當0x≤80時,y2隨x的增大而增大. ∴當x=80時,(y2)max=440. ∴產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元,產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)當1180-200a440,即3≤a3.7時,此時選擇甲產(chǎn)品; 當1180-200a=440,即a=3.7時,此時選擇甲、乙產(chǎn)品都可以; 當1180-200a440,即3.7a≤5時,此時選擇乙產(chǎn)品. ∴當3≤a3.7時,產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品年利潤最大; 當a=3.7時,產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品都可以; 當3.7a≤5時,產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品年利潤最大.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型4 二次函數(shù)背景下的簡單的幾何動點問題 典例4 (2016·湖北襄陽)如圖,已知點A的坐標為(-2,0),直線y=- x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點. (1)請直接寫出B,C兩點的坐標,拋物線的解析式及頂點D的坐標; (2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標; (3)設點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒),當t(秒)為何值時,存在△QMN為等腰直角三角形?,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題,涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)等知識.(1)分別令y=0和x=0,代入y=-x+3即可求出B和C的坐標,然后設拋物線的交點式為y=a(x+2)·(x-4),把點C的坐標代入即可求解;(2)若四邊形DEFP為平行四邊形,則DP∥BC,求出直線DP的解析式,聯(lián)立拋物線解析式和直線DP的解析式,即可求出P的坐標;(3)由題意可知,0≤t≤6,若△QMN為等腰直角三角形,則共有三種情況:①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°,分類討論求解即可.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(2)當DP∥BC時,四邊形DEFP是平行四邊形, 設直線DP的解析式為y=mx+n,,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)由題意可知0≤t≤6, 設直線AC的解析式為y=m1x+n1, 把A(-2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,得,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,如圖3,當∠NQM=90°時, 過點Q作QE⊥MN于點E,過點M作MF⊥x軸于點F,則四邊形EQFM是正方形. 設QE=a,,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,題型5 一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用,(1)求k值; (2)當t=1時,求AB的長,并求直線MP與拋物線L的對稱軸之間的距離; (3)把拋物線L在直線MP左側部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G,用t表示圖象G最高點的坐標.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題、待定系數(shù)法、平移等知識.(1)設點P(x,y),只要求出xy即可解決問題;(2)先求出A,B坐標,再求出對稱軸以及點M坐標即可解決問題;(3)根據(jù)對稱軸的位置即可判斷,當對稱軸在直線MP左側,L的頂點就是最高點,當對稱軸在MP右側,L與MP的交點就是最高點. 【答案】 (1)設點P(x,y),則MP=y,由OA的中點為M可知OA=2x,代入OA·MP=12, 得到2x·y=12,即xy=6,∴k=xy=6.,題型2,題型1,題型3,題型4,題型5,(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴L的對稱軸為x=t-2, ∴L的頂點坐標是(t-2,2),2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)由函數(shù)圖象可知,當y1y2時,x-3或- x0. (2)過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥y軸于點F, ∵mn=pq=k,p=-n, ∴m=-q,即AE=BF,OE=OF, ∴△OAE≌△OBF, ∴∠AOC=∠BOD.,2,1,3,4,5,6,7,8,2.(2016·合肥包河中學模擬)小明家飲水機中原有水的溫度為20 ℃,通電開機后,飲水機自動開始加熱(此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)滿足一次函數(shù)關系),當加熱到100 ℃時自動停止加熱,隨后水溫開始下降(此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)成反比例關系),當水溫降至20 ℃時,飲水機又自動開始加熱,…,重復上述程序(如圖所示),根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題: (1)當0≤x≤8時,求水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式; (2)求圖中t的值; (3)若小明在通電開機后即外出散步,請你預測小明散步45分鐘回到家時,飲水機內(nèi)水的溫度約為多少℃?,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)當0≤x≤8時,設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為y=kx+b, 故此函數(shù)關系式為y=10x+20. (2)在水溫下降過程中,設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為,(3)因為45-40=58, 當x=5時,y=10×5+20=70, 所以小明散步45分鐘回到家時,飲水機內(nèi)水的溫度約為70 ℃.,2,1,3,4,5,6,7,8,3.(2016·山東青島)如圖,需在一面墻上繪制幾個相同的拋物線型圖案.按照圖中的直角坐標系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知拋物線上B,C兩點到地面的距離均 為 (1)求該拋物線的函數(shù)關系式,并求圖案最高點到地面的距離; (2)若該墻的長度為10 m,則最多可以連續(xù)繪制幾個這樣的拋物線型圖案?,2,1,3,4,5,6,7,8,∴圖案最高點到地面的距離為1 m. (2)令y=0,即-x2+2x=0,∴x1=0,x2=2, ∴10÷2=5, ∴最多可以連續(xù)繪制5個這樣的拋物線型圖案.,2,1,3,4,5,6,7,8,4.為滿足市場需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn):當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒. (1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關系式. (2)當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P(元)最大?最大利潤是多少? (3)為穩(wěn)定物價,有關管理部門限定:這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒? 解:(1)由題意得,y=700-20(x-45)=-20x+1600(x≥45). (2)P=(x-40)(-20x+1600)=-20x2+2400x-64000=-20(x-60)2+8000, ∵x≥45,a=-200, ∴當x=60時,P最大值=8000, 即當每盒售價定為60元時,每天銷售的利潤P(元)最大,最大利潤是8000元.,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)由題意得-20(x-60)2+8000=6000, 解得x1=50,x2=70. ∵拋物線P=-20(x-60)2+8000的開口向下, ∴當50≤x≤70時,每天銷售粽子的利潤不低于6000元. 又∵x≤58,∴50≤x≤58. ∵在y=-20x+1600中,k=-200, ∴y隨x的增大而減小, ∴當x=58時,y最小值=-20×58+1600=440, 即超市每天至少銷售粽子440盒.,2,1,3,4,5,6,7,8,5.某玉米種子的價格為a元/千克,如果一次購買2千克以上的種子,超過2千克部分的種子價格打8折,某科技人員對付款金額和購買量這兩個變量的對應關系用列表法做了分析,并繪制出了函數(shù)圖象,以下是該科技人員繪制的圖象和表格的不完整資料,已知點A的坐標為(2,10),請你結合表格和圖象:,(1)指出付款金額和購買量哪個變量是函數(shù)的自變量x,并寫出表中a,b的值; (2)求出當x2時,y關于x的函數(shù)關系式; (3)甲農(nóng)戶將8.8元錢全部用于購買玉米種子,乙農(nóng)戶購買了4165克該玉米種子,分別計算他們的購買量和付款金額.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得:購買量是函數(shù)的自變量x,且a=10÷2=5,b=(3-2)×5×0.8+10=14. (2)當x2時,設y與x的函數(shù)關系式為y=kx+m, ∵y=kx+m經(jīng)過點(2,10),且x=3時,y=14, ∴當x2時,y與x的函數(shù)關系式為y=4x+2. 當x=4.165時,y=4×4.165+2=18.66, ∴甲農(nóng)戶的購買量為1.76千克,乙農(nóng)戶的付款金額為18.66元.,2,1,3,4,5,6,7,8,6.如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5 m的A處正對球門踢出(點A在y軸上),足球的飛行高度y(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間滿足函數(shù)關系y=at2+5t+c.已知足球飛行0.8 s時,離地面的高度為3.5 m. (1)足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飛行的水平距離x(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間具有函數(shù)關系x=10t.已知球門的高度為2.44 m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28 m,他能否將球直接射入球門?,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,7.(2016·北京海淀區(qū)二模)對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)p,當其自變量的值為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如,如圖所示的函數(shù)有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1. (1)分別判斷函數(shù)y=x-1,y= ,y=x2有沒有不變值?如果有,直接寫出其不變長度. (2)函數(shù)y=2x2-bx. ①若其不變長度為零,求b的值; ②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)∵函數(shù)y=x-1,令y=x,則x-1=x,無解, ∴函數(shù)y=x-1沒有不變值; ∵函數(shù)y=x2,令y=x,則x=x2,解得x1=0,x2=1, ∴函數(shù)y=x2的不變值為0或1,q=1-0=1.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)①函數(shù)y=2x2-bx,令y=x,則x=2x2-bx, ∵1≤b≤3,∴1≤x2≤2, ∴1-0≤q≤2-0, ∴1≤q≤2.,2,1,3,4,5,6,7,8,8.在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y)和點Q(x,y'),給出如下定義:如果y'= 那么稱點Q為點P的“媯川伴侶”.例如:點(5,6)的“媯川伴侶”為點(5,6),點(-5,6)的“媯川伴侶”為點(-5,-6). (1)①點(2,1)的“媯川伴侶”為 ; ②如果點A(3,-1),B(-1,3)的“媯川伴侶”中有一個在函數(shù)y= 的圖象上,那么這個點是 .(填“點A”或“點B”) (2)①點M*(-1,-2)的“媯川伴侶”點M的坐標為 ; ②如果點N*(m+1,2)是一次函數(shù)y=x+3圖象上點N的“媯川伴侶”,求點N的坐標. (3)如果點P在函數(shù)y=-x2+4(-2x≤a)的圖象上,其“媯川伴侶”Q的縱坐標y'的取值范圍是-4y'≤4,求實數(shù)a的取值范圍.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)①(2,1). ②點A(3,-1)的“媯川伴侶”為(3,-1),點B(-1,3)的“媯川伴侶”為(-1,-3), 則點B的“媯川伴侶”在函數(shù)y= 的圖象上. (2)①(-1,2). ②當m+1≥0,即m≥-1時,由題意得N(m+1,2). ∵點N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上, ∴m+1+3=2,解得m=-2(舍去); 當m+10,即m-1時,由題意得N(m+1,-2). ∵點N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上, ∴m+1+3=-2,解得m=-6, ∴N(-5,-2).,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)如果點P在函數(shù)y=-x2+4(-2x≤a)的圖象上, 當-2x0時,0y4,∴-4y'0,此時-2a0; 當x≥0時,y=y',即-4y≤4,,