2019.62019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（I卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知集合，則A. B. C. D. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則A. B. C. D. 3. 已知，則A. B. C. D. 4. 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5. 函數(shù)的圖像大致為A. B. C.D. 6. 我國(guó)古代典籍周易用卦描述萬(wàn)物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A. B. C. D. 7. 已知非零向量a，b滿足|a| = 2|b|，且(a - b)b，則a與b的夾角為A. B. C. D. 8. 右圖是求的程序框圖，圖中空白框應(yīng)填入A.B.C.D.9. 記Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。已知S4 = 0，= 5，則A. B. C. D. 10. 已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若，則C的方程為A. B. C. D. 11. 關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：是偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增在有4個(gè)零點(diǎn)的最大值為2A. B. C. D. 12. 已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA = PB = PC，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，則球O的體積為A. B. C. D. 2、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi)。14. 記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則_。15. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）。 根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6， 客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是_。16. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近 線分別交于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為_(kāi)。3、 解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（1） 必考題：共60分。17. （12分）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，設(shè)。（1） 求A；（2） 若ADBECNA1B1D1C1M18. （12分）如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1 = 4，AB = 2，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點(diǎn)。（1） 證明：MN / 平面C1DE；（2） 求二面角A-MA1-N的正弦值。19. （12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A、B，與x軸的交點(diǎn)為P。（1） 若，求l的方程；（2） 若。20. （12分）已知函數(shù)。證明：（1） 存在唯一極大值點(diǎn)；（2） 有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。21. （12分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥，一輪的治療效果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 -1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 -1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。（1） 求X的分布列；（2） 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最 終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中 。假設(shè)。（i） 證明：為等比數(shù)列；（ii） 求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì) 分。22. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。（1） 求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2） 求C上的點(diǎn)到l距離的最小值。23. 選修45：不等式選講（10分）已知a、b、c為正數(shù)，且滿足abc = 1。證明：（1）（2）