2.3 特殊三角形,命題解讀,考綱解讀,了解等腰三角形和直角三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)和判定,理解等邊三角形的性質(zhì)和判定,掌握勾股定理及其逆定理.掌握角平分線性質(zhì)定理及其逆定理,并會利用它解決問題,掌握線段的垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理,并會利用它解決問題,掌握三角形中位線的性質(zhì),并能利用它解決幾何問題.,命題解讀,考綱解讀,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1 等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.等腰三角形的性質(zhì) (1)等腰三角形的兩個底角 相等 ,簡稱“等邊對等角”; (2)等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線 重合 ,簡稱“等腰三角形三線合一”; (3)等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線所在的直線就是它的對稱軸. 2.等腰三角形的判定 (1)按定義:有兩條邊相等的三角形就是等腰三角形; (2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形,簡稱“等角對等邊”.,等腰三角形“三線合一”是證明兩直線互相垂直的重要方法,也是處理等腰三角形問題中的常用輔助線作法.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,3.等邊三角形 (1)等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的三條邊都相等; 等邊三角形的三個角都是 60° . (2)等邊三角形的判定 按定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形; 三個角 都相等 的三角形是等邊三角形; 有兩個角是 60° 的三角形是等邊三角形; 有一個角是 60° 的等腰三角形是等邊三角形.,等邊三角形的四種判定方法都可以應(yīng)用,要根據(jù)不同的條件進行選擇,以使問題簡單化.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例1 (2016·廣西賀州)一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為 ( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20 【解析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰,則應(yīng)該分兩種情況進行分析.當(dāng)4為腰時,4+4=8,故此種情況不存在;當(dāng)8為腰時,8-488+4,符合題意.故此三角形的周長為8+8+4=20. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓(xùn)練】(2016·貴州安順)已知實數(shù)x,y滿足|x-4|+ =0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 ( B ) A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不對 【解析】根據(jù)非負數(shù)的意義列出關(guān)于x,y的方程并求出x,y的值,再根據(jù)x是腰長和底邊長兩 種情況討論求解.根據(jù)題意得 (1)若4是腰長,則三角形的三邊長為4,4,8,不能組成三角形;(2)若4是底邊長,則三角形的三邊長為4,8,8,能組成三角形,周長為4+8+8=20.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點2 直角三角形的性質(zhì)與判定 1.直角三角形的性質(zhì) (1)直角三角形的兩個銳角 互余 ; (2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的 一半 ; (3)直角三角形中,30°的角所對的直角邊等于斜邊的 一半 ;等于斜邊的一半的直角邊所對的角是 30° ; (4)勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.,已知直角三角形中的兩邊求第三邊(沒有明確誰是斜邊)時,一般要分類討論:所求邊是斜邊;已知兩邊中的較長邊是斜邊.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,2.直角三角形的判定 (1)有兩個角的和等于 90° 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:如果一個三角形的一邊的平方等于另兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角). 補充:一條邊上的中線等于這邊的 一半 的三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角). 3.直角三角形面積的求法,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例2 (2016·福建泉州)如圖,在RtABC中,E是斜邊AB的中點,若AB=10,則CE= . 【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得答案.由直角三角形的性質(zhì),得CE= AB=5. 【答案】 5,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓(xùn)練】(2016·湖北鄂州)如圖,AB=6,O是AB的中點,直線l經(jīng)過點O,1=120°,P是直 線l上一點,當(dāng)APB為直角三角形時,【解析】當(dāng)APB=90°時,分兩種情況討論,情況一:如圖1,AO=BO,PO=BO,1=120°,AOP=60°,AOP為等邊三角形,OAP=60°,PBA=30°,AP=,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點3 角的平分線的性質(zhì)與判定 1.定義 從角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩相等的角,這條射線叫做這個角的平分線. 2.性質(zhì) 角的平分線上的點到角的兩邊的距離 相等 . 3.判定 到角的兩邊距離 相等的點 在這個角的平分線上.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例3 (2016·湖南懷化)如圖,OP為AOB的角平分線,PCOA,PDOB,垂足分別是C,D,則下列結(jié)論錯誤的是 ( ) A.PC=PD B.CPO=DOP C.CPO=DPO D.OC=OD 【解析】OP為AOB的角平分線,PCOA,PDOB,垂足分別是C,D,PC=PD,故A正 確;在RtOCP與RtODP中, OCPODP(HL), CPO=DPO,OC=OD,故C,D正確.不能得出CPO=DOP,故B錯誤. 【答案】 B,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓(xùn)練】(2016·江蘇淮安)如圖,在RtABC中,C=90°,以頂點A為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心,大于 MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則ABD的面積是 ( B ) A.15 B.30 C.45 D.60,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點4 線段的垂直平分線 1.定義 過線段的中點且與這條線段垂直的直線,叫做線段的垂直平分線. 2.性質(zhì) 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離 相等 . 3.判定 到一條線段的兩端的距離 相等的點 ,在這條線段的垂直平分線上.,解題時常要把垂直平分線上的點與線段兩端點連接,利用垂直平分線的性質(zhì)解題.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例4 (2016·山東德州)如圖,在ABC中,B=55°,C=30°,分別以點A和點C為圓心,大于 AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點D,連接AD,則BAD的度數(shù)為 ( ) A.65° B.60° C.55° D.45° 【解析】由題意可得MN是AC的垂直平分線,則AD=DC,故C=DAC,C=30°,DAC=30°,B=55°,BAC=95°,BAD=BAC-DAC=65°. 【答案】 A,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓(xùn)練】(2016·廣州)如圖,已知ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點D,連接CD,則CD= ( D ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 【解析】AB=10,AC=8,BC=6,BC2+AC2=AB2,ABC是直角三角形,DE是AC的垂直平分線,AE=EC=4,DEBC,AD=BD,CD是RtABC斜邊上的中線,CD= AB=5.,備課資料,考點掃描,1.直角三角形與等腰三角形的綜合 典例1 如圖,在RtABC中,ABC=90°,點D是AC的中點,作ADB的角平分線DE交AB于點E. (1)求證:DEBC; (2)若AE=3,AD=5,點P為BC上的一動點,當(dāng)BP為何值時,DEP為等腰三角形.請直接寫出所有BP的值.,備課資料,考點掃描,【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD= AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DEAB,再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行即可證明;(2)利用勾股定理列式求出DE的長,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE=AE,然后分DE=EP,DP=EP,DE=DP三種情況討論求解. 【答案】 (1)ABC=90°,點D是AC的中點,BD=AD= AC, DE是ADB的角平分線,DEAB, 又ABC=90°, DEBC.,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,2.等腰三角形與角平分線的綜合 典例2 如圖,B,C的平分線相交于點F,過點F作DEBC,交AB于點D,交AC于點E,那么下列結(jié)論正確的是 ( ) BDF,CEF都是等腰三角形;DE=BD+CE; ADE的周長為AB+AC;BD=CE. A. B. C. D. 【解析】DEBC,DFB=FBC,EFC=FCB,BF是ABC的平分線,CF是ACB的平分線,FBC=DBF,FCE=FCB,DBF=DFB,EFC=ECF,DFB,FEC都是等腰三角形.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,ADE的周長為AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,3.等邊三角形與全等三角形的綜合 典例3 在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且AE=BD. (1)當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,求證:EC=ED; (2)當(dāng)點E不是AB的中點時,如圖2,過點E作EFBC,求證:AEF是等邊三角形; (3)在第(2)小題的條件下,EC與ED還相等嗎,請說明理由.,備課資料,考點掃描,【解析】(1)根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得ECB=30°,ABC=60°,根據(jù)AE=EB=BD,可得EDB=DEB= ABC=30°,根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)證得AEF=ABC=60°,AFE=ACB=60°,即可證得結(jié)論;(3)先求得BE=FC,然后證得DBEEFC即可. 【答案】 (1)在等邊ABC中,AB=BC=AC,ABC=ACB=A=60°, EDB=ECB,EC=ED. (2)EFBC,AEF=ABC=60°,AFE=ACB=60°, AEF為等邊三角形.,備課資料,考點掃描,(3)EC=ED.理由如下: AFE=ABC=60°, EFC=DBE=120°, AB=AC,AE=AF, AB-AE=AC-AF,即BE=FC, DBEEFC(SAS),ED=EC.,命題點,命題點 特殊三角形的性質(zhì)及判定(高頻) 1.(2016·安徽第10題)如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足PAB=PBC.則線段CP長的最小值為 ( B ),【解析】本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識.ABC=90°,ABP+PBC=90°,PAB=PBC,BAP+ABP=90°,APB=90°,點P在以AB為直徑的O上,連接OC交O于點P,此時CP最小.在RtBCO中,OBC=90°,BC=4,OB=3,OC= =5,CP=OC-OP=5-3=2,CP最小值為2.,命題點,2.(2014·安徽第8題)如圖,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90°,將ABC折疊,使A點與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為 ( C ) 【解析】本題考查實踐操作中的三角形折疊問題,對稱性的性質(zhì)以及勾股定理.設(shè)BN=x,則AN=DN=9-x,點D是CB的中點,則BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x)2=x2+9,解得x=4,即BN=4.,命題點,3.(2012·安徽第22題)如圖1,在ABC中,D,E,F分別為三邊的中點,G點在邊AB上,BDG與四邊形ACDG的周長相等.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c. (1)求線段BG的長; (2)求證:DG平分EDF; (3)連接CG,如圖2,若BDG與DFG相似,求證:BGCG.,命題點,命題點,FG=DF,FDG=FGD. 又DEAB,EDG=FGD,FDG=EDG, DG平分EDF. (3)在DFG中,FDG=FGD,DFG是等腰三角形. BDG與DFG相似, BDG是等腰三角形. B=BGD,BD=DG,CD=BD=DG, B,C,G三點在以D為圓心的圓上,且BC為直徑, BGC=90°,BGCG.,