單輝祖 ,材料力學(xué)教程 1 第 5 章 彎曲內(nèi)力 直梁 彎曲內(nèi)力 載荷與彎曲內(nèi)力間的微分關(guān)系 剛架 彎曲內(nèi)力 本章主要研究 : 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 2 1 引言 2 梁的約束與類型 3 剪力與彎矩 4 剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖 5 FS , M 與 q 間的微分關(guān)系 6 剛架與曲梁的內(nèi)力 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 3 1 引 言 彎曲實例 彎曲及其特征 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 4 彎曲實例 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 5 彎曲及其特征 外力或外力偶的矢量垂直于桿軸 變形特征： 桿軸由直線變?yōu)榍€ 彎曲與梁： 以軸線變彎為主要特征的變形形式 彎曲 以彎曲為主要變形的桿件 梁 外力特征： 畫計算簡圖時，通常以軸線代表梁 計算簡圖： 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 6 2 梁的約束與類型 約束形式與反力 梁的類型 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 7 約束形式與反力 主要約束形式與反力 固定 鉸支座 ， 支反力 FRx 與 FRy 可動 鉸支座 ， 垂直于支承平面的支反力 FR 固定 端 ， 支反力 FRx , FRy與矩為 M 的支反力偶 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 8 梁的類型 簡支梁 ： 一端固定鉸支、另一端可動鉸支的梁 外伸梁 ： 具有一個或兩個外伸部分的簡支梁 懸臂梁 ： 一端固定、另一端自由的梁 常見靜定梁 靜不定梁 約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 9 3 剪力與彎矩 剪力與彎矩 正負符號規(guī)定 剪力與彎矩計算 例題 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 10 剪力與彎矩 FS 剪力 M 彎矩 剪力 作用線位于所切橫截面的內(nèi)力 彎矩 矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 11 正負 符號規(guī)定 使微段沿順時針方 向轉(zhuǎn)動的剪力為正 使微段彎曲呈凹 形的彎矩為正 使橫截面頂部受 壓的彎矩為正 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 12 一側(cè))( 1 S n i iFF 剪力與彎矩計算 FS 剪力 M 彎矩 0 0 S1 FFF,F Ayy 1S FFF Ay 故 0)( ,0 1 bFabFMM AyC )( 1 abFbFM Ay 故 一側(cè))( 1 n i CimM 在保留梁段上，方向 與切開截面正 FS 相反 的外力為正， 與正 M 相反的外力偶矩為正 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 13 假想地將梁切開，并任選一段為研究對象 畫所選梁段的受力圖， FS 與 M 宜均設(shè)為正 由 SFy = 0 計算 FS 由 SMC = 0 計算 M， C 為截面形心 計算方法與步驟 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 14 例 題 例 5-1 計算橫截面 E、 橫截面 A+與 D-的剪力與彎矩。 解 ： 0 ,0 S AyEy FFF FFAy 2 FFBy 3 FFF AyA 2S FMM AyA eFl FF D S 00 FM D FFF AyE 2S 2e lFMM AyE 0 02 ,0 eAyEC MlFMM 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 15 4 剪力、彎矩方程與圖 剪力與彎矩方程 剪力與彎矩圖 例題 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 16 剪力與彎矩方程 )(SS xFF )( xMM FS , M 沿桿軸（ x軸 ） 變化的解析表達式 剪力方程 彎矩方程 2 qlFF ByAy qxFF Ay S )(0 lx 2 xqxxFM Ay )(0 lx qxqlF 2S 222 xqxqlM 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 17 剪力與彎矩圖 表示 FS 與 M 沿桿軸 （ x軸 ） 變化情況 的圖線 ， 分別稱為 剪力圖 與 彎矩圖 2)( ,2( 0 ) SS qllFqlF 二次拋物線 直線 qxqlF 2S 222 xqxqlM 畫剪力圖 畫彎矩圖 土建等類技術(shù)部門畫法 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 18 例 題 例 5-2 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖 解 ： 1. 支反力計算 2. 建立剪力與彎矩方程 )(0 , 1S1 axlbFFF Ay )(0 , 2S2 bxlaFFF By )(0 , 1111 axxlbFxFM Ay )(0 , 2222 bxlaFxFM By AC 段 CB 段 lbFFAy l aFFBy 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 19 3. 畫剪力與彎矩圖 11 xl bFM 22 xl aFM l bFF S1 l aFF S2 剪力圖 : 彎矩圖 : 最大值 : l F a bM m a x 時）（ m a xS, abl bFF 4. 討論 在 F 作用處 , 左右橫截面上 的 彎矩相同 , 剪力值突變 FFF 左右 SS 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 20 解 ： 1. 支反力計算 2 2qaM,qaF CCy 2. 建立剪力與彎矩方程 AB 段 BC 段 )(0 11S1 axqxF )(0 2S2 axqaF )(0 2 1211 axqxM )(0 2 2222 axqaq a xM 例 5-3 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 21 3. 畫剪力與彎矩圖 4. 討論 在 Me 作用處， 左右橫截面 上 的 剪力相同，彎矩值突變 eMMM 左右 1S1 qxF qaF S2 2 2 11 qxM 2 2 22 qaq a xM 剪力圖： 彎矩圖： 剪力彎矩最大值 : 2 2 m ax qaM m axS qaF 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 22 例 5-4 載荷可沿梁移動，求梁的最大剪力與最大彎矩 解 ： 1. FS 與 M 圖 l FlF Ay )( l FlFF Ay )()( S lFFM Ay 1)( 2. FS 與 M 的最大值 FFF )0(Sm a xS, 42m a x FllMM lF M 21 d )(d 0 2 l 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 23 5 載荷集度、剪力與彎矩間 的微分關(guān)系 FS , M 與 q 間的 微分關(guān)系 利用 微分關(guān)系畫 FS 與 M 圖 例題 微分關(guān)系法要點 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 24 FS, M 與 q 間的 微分關(guān)系 (a ) 0)d(d 0 SSS FFxqF,F y ( b ) 0d2ddd 0 S MxFxxqMM,M C qxF dd S Sdd FxM qxM 22dd q 向上為正 x 向右為正 注意： 梁微段平衡方程 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 25 均布載荷下 FS 與 M 圖特點 直線 2次凹曲線 2 次凸曲線 qxF dd S Sdd FxM qxM 22dd 利用 微分關(guān)系畫 FS 與 M 圖 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 26 2. 計算支反力、剪力與彎矩 lMFF ByAy e q=0， FS 圖 水平直線， M 圖 直線 求 FSA+ 畫 FS 圖 求 MA+ 與 MB- 畫 M 圖 應(yīng)用 利用微分關(guān)系畫梁的剪力與彎矩圖 1. 問題分析 l MFF AyA eS eMM A 0BM 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 27 l MF A eS eMM A 0BM 3. 畫剪力圖 4. 畫彎矩圖 FS 圖 水平直線 M 圖 斜直線 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 28 例 題 例 5-5 畫剪力與彎矩圖 斜線 ql/8 0 ql2/16 ql/8 -3ql/8 ql2/16 0 解 ： 1. 形狀判斷 2. FS 與 M 計算 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 29 1 3 2 D D xl x 8 3lx D 2 8328383 lqlqlM D 9ql2/128 3. 畫 FS與 M圖 1289 2qlM D 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 30 例 5-6 畫組合梁的剪力與彎矩圖 解 ： 1. 問題分析 組合梁 ,需拆開 ,以分析梁的受力 承受集中載荷 , FS 與 M 圖 由 直線 構(gòu)成 2 FFF CyAy 2 3FF Dy 2 3 FaM D 2. 受力分析 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 31 特點 ：鉸鏈傳力不傳力偶矩 ， 與鉸相連 的兩橫截面上 , M = 0 , FS 不一定為零 3. 畫 FS 圖 水平直線 4. 畫 M 圖 直線 2 3 m axS FF 2 3 m a x FaM 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 32 利用微分關(guān)系，確定各梁段 剪力、彎矩 圖的 形狀 計算各梁段 起點 、 終點 與 極值點 等 截面的 剪力 與彎矩 將上述二者結(jié)合，繪制梁的 剪力與彎矩 圖 在集中載荷作用下，梁的剪力與彎矩 圖一定由 直 線所構(gòu)成 均布載荷作用梁段，剪力圖為斜線，彎矩圖為二 次拋物線，其凹凸性由載荷集度的正負而定 微分關(guān)系法要點 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 33 合力大小： 非均布載荷的合力 BAxx xxqF d)(R R R d)( F xxxq x B A x x 合力作用線位置 : 載荷集度 圖的面積 載荷集度圖 形心橫坐標(biāo) 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 34 線性分布載荷集度的一般表達式為 線性分布載荷梁的內(nèi)力 baxxq )( qxF dd S Sdd FxM qxM 22dd ( a、 b 為常數(shù)） FS 為 x 的二次函數(shù)， FS 圖為拋物線 M 為 x 的三次函數(shù)， M 圖為三次曲線 M 圖的凹凸，由 q 的正負確定 線性分布載荷 線性分布載荷梁內(nèi)力 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 35 解 : 1. 外力分析 20R lqF 60 lqF Ay 30lqFBy 例 5-7 建立剪力彎矩方程 , 畫剪力彎矩圖 , 用微分關(guān)系校核 2. 建立剪力與彎矩方程 l xqxlqF 00 S 26 326 00 x l xqxxlqM 200S 26 xlqlqF 300 66 xlqxlqM 例 題 l xqxq 0)( 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 36 200S 26 xlqlqF 300 66 xlqxlqM 3. 畫剪力與彎矩圖 2 次拋物線 3 次曲線 q 0l2/(9 3) 026 200S xlqlqF 3966 2 0300 lqxlqxlqM CCC 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 37 4. 利用微分關(guān)系檢查 FS 與 M 圖 FS 圖 二次拋物線 M 圖 三次曲線 x q x F d d d d 2S 2 q 漸減， q 0 FS 圖 凸曲線 0dd 22 qxM M 圖 凸曲線 FS = 0 處 , M 圖存在極值； q = 0 處 , FS 圖存在極值 baxq 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 38 6 剛架與曲梁的內(nèi)力 剛架內(nèi)力 曲梁內(nèi)力 例題 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 39 剛架內(nèi)力 剛架 用剛性接頭連接的桿系結(jié)構(gòu) 限制相連桿端截面間的相 對線位移與角位移 可傳力，也可傳遞力偶矩 剛架內(nèi)力 一般存在三內(nèi)力分量 軸力 FN; 剪力 FS ; 彎矩 M 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 40 例 題 解 ： 1. 外力分析 0 ,0 ,0 yAx FMF /2 , qaFFqaF AyCyAx 2. 建立內(nèi)力方程 BC 段： ,2S1 qaF AB 段： ,2S2 qxF 2N2 qaF 11 2 x qaM 222 22 xqaqaM 例 5-8 試畫剛架的內(nèi)力圖 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 41 3. 畫內(nèi)力圖 2S2S1 ,2 qxF qaF 2 ,0 N2N1 qaFF 22211 22 ,2 xqaqaMxqaM 彎矩圖畫法：與彎矩對應(yīng)的點，畫在所在橫截面彎曲時受壓一側(cè) 彎矩圖特點 ： 如剛性接頭處無外力偶，則彎矩連續(xù) 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 42 曲梁內(nèi)力 曲梁 軸線為平面曲線、且橫截面的縱向?qū)ΨQ軸均位于軸線 平面的桿件，稱為平面曲桿。 以彎曲為主要變形的平面曲桿，稱為平面曲梁。 曲桿內(nèi)力 一般存在三內(nèi)力分量 軸力 FN; 剪力 FS ; 彎矩 M c o sS FF s inFRM s in N FF 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 43 例 題 解 ：在 AB與 BC段分別選取坐標(biāo)， AB桿的彎矩方程為： 2)( 2qx xM BC桿的彎矩方程： s in2)( 2 aqaqaM )s in21(2 2 qa 例 5-9 試畫剛架的彎矩圖 單輝祖 ,材料力學(xué)教程 44 本章結(jié)束 ！