1 第三章 網(wǎng)絡(luò)方程的拓?fù)浞治?回路方程 3-1 割集方程與回路方程的拓?fù)浣?（ ZL是 L階非奇異系數(shù)方陣） 其中： Ilk是第 k回路的回路電流。若取基本回路，則 Ilk是 第 k連支的電流， Ulli是第 i回路的電壓源電壓； Zlik是行列 式 |Zl |的 ik余因式 。 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I slll UIZ 割集方程 sttt IUY （ Yt是 b-n+1階非奇異系數(shù)方陣） s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U 2 1、分母求法 其中： s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U Tfbft CYCY T fbft CYCY TT T fTTbf C)YC( 0 1 1 C TTTf 0 yyy)YC( jT2j1j jTTbf （ CfTT那些列對應(yīng)的支路能構(gòu)成一個 樹時，則 1成立） 當(dāng) T條支路構(gòu)成一樹時，行列式 |(Cf Yb)TT | 對于樹支導(dǎo)納 的乘積；若不構(gòu)成 樹時，則其值為 0。 T Y PNY t 所有樹 的網(wǎng)絡(luò) TYP: 樹支導(dǎo)納積 3 回路方程 其中： T fbfl BZBZ TT T fTTbf B)ZB( 0 1 1 B TTTf 0 ZZZ)ZB( jT2j1j jTTbf （ BfTT那些列對應(yīng)的支路能構(gòu)成一個 樹余時，則 1成立） 當(dāng) T條支路構(gòu)成一樹余時，行列式 |(Bf Zb)TT | 對于連支阻 抗的乘積；若不構(gòu)成 樹余時，則其值為 0。 L Z PNZ l 所有樹余 的網(wǎng)絡(luò) LZP: 連支阻抗積 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I T fbfl BZBZ 4 例 1： 求圖示拓?fù)鋱D的 |Yt |。 解： 621P1 643P 2 )425)(643)(621(PPP 321 )425)(4636262423161413( 245234235146126156124145134123135 選一個樹（ 1， 3， 5） 可得基本割集多項式： 425P 3 計算該多項式為基底的乘積 246456346236356246256 所以， 有 641621651421541431321531t yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyY 654643632653652542432532 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 5 例 2： 求圖示拓?fù)鋱D的 |Zl |。 解： 521P1 543P 2 )631)(543)(521(PPP 321 )631)(4535252423151413( 235125246234124236123156135146134136 選一個樹（ 1， 3， 5） 可得基本回路多項式： 631P 3 計算該多項式為基底的乘積 4 5 61 3 41 4 53 5 61 3 52 5 6 所以， 可得 432421632321651641431631l zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzZ 654431541653652532521642 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 6 2、分子求法 其中： Ytik =(-1)i+k |Ytik| 即從 Yt中消去 i行 k列之后留下的矩陣行列式，其符號 則為 (-1)i+k 。 要從 Yt中消去 i行 k列，只要在 (Cf Yb CfT） 中消去 i行 k列即可。 s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U T kfbifkitik CYC)1(Y T kfbif CYC 1T1T T kf1T1Tbif C)YC( C T Y PNNCYC sksiTkfbif 的和 CTYP: 共有樹 的導(dǎo)納 積 Nsi ：將原網(wǎng)絡(luò)第 i個樹支短路所得網(wǎng)絡(luò)。 Nsk ：將原網(wǎng)絡(luò)第 k個樹支短路所得網(wǎng)絡(luò)。 7 分子 Ytik求法 （ 1）若 i=k時， C T Y PNN)1( sksiki 的和 Ytik =(-1)i+k |Ytik| s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U （ 2）若 i k時， T Y PNY skt k k 的 C T Y PNN)1(Y sksikitik 的和 CTYP（ 共有樹導(dǎo)納積）的總符號由考察傳輸路徑來確定。 共有樹恰在指定的輸入和輸出之間提供了這個傳輸路徑： 若兩樹支方向箭頭連接成頭對頭，則 CTYP的符號為正； 若兩樹支方向箭頭連接成頭對尾，則 CTYP的符號為負(fù)。 8 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D以支路 2， 3， 5為樹， 求 解： 33t,32t,31t YYY 短路第一樹支（支路 2），得 Ns1 短路第二樹支（支路 3），得 Ns2 短路第三樹支（支路 5），得 Ns3 Ns1的樹： （ 3+4）（ 1+4+5） =13+14+34+35+45 Ns2的樹： Ns3的樹： （ 1+2）（ 1+4+5） （ 1+2）（ 3+4） =12+14+15+24+25 =13+14+23+24 )yyyy(Y 413131t )yyyy(Y 424132t 4232413133t yyyyyyyyY 245124145235234123135134 T 2 4 51 2 42 3 52 3 41 2 3)2( T 235234123135134)3 245145235135)5( T 9 分子 Zlik求法 其中： Zlik =(-1)i+k |Zlik| 即從 Zl中消去 i行 k列之后留下的矩陣行列式，其符號 則為 (-1)i+k 。 要從 Zl中消去 i行 k列，只要在 (Bf Zb BfT） 中消去 i行 k列即可。 T kfbifkilik BZB)1(Z T kfbif BZB 1T1T T kf1T1Tbif B)ZB( C L Z PNNBZB okoiTkfbif 的和 CLZP: 共有樹 余的阻 抗積 Noi ：將原網(wǎng)絡(luò)第 i個連支開路所得網(wǎng)絡(luò)。 Nok ：將原網(wǎng)絡(luò)第 k個連支開路所得網(wǎng)絡(luò)。 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I 10 分子 Zlik求法 （ 1）若 i=k時， C T Y PNN)1( okoiki 的和 Zlik =(-1)i+k |Zlik| （ 2）若 i k時， L Z PNZ okl k k 的 C L Z PNN)1(Z okoikilik 的和 CLZP（ 共有連支阻抗積）的總符號由考察傳輸路徑來確定。 移去共有連支觀察 Noi與 Nok 第 i個連支與第 k個連支傳輸回路： 若兩連支方向箭頭連接成頭對尾，則 CLZP的符號為正； 若兩連支方向箭頭連接成頭對頭，則 CLZP的符號為負(fù)。 11 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D以支路 2， 3， 5為樹， 求 解： 22l,21l ZZ 開路第一連支（支路 1），得 No1 開路第二連支（支路 4），得 No2 No1的連支集： 3， 4， 5 No2的連支集： 1， 2， 5 521l zZ 52122l zzzZ No1與 No2的共有連支： 5 移去共有連支 5，觀察第 1個連支與第 2個連支傳輸回路： 兩連支連接成頭對頭，故 CLZP的符號為負(fù)。 12 3-2 驅(qū)動點函數(shù)的拓?fù)涔?在有限網(wǎng)絡(luò)中，零狀態(tài)情況下，某響應(yīng)的拉式變換 與某激勵的拉式變換之比。 1、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)： 2、 網(wǎng)絡(luò)的接入點 )s(F )s(Y)s(H 鉗入 (Pliers):把網(wǎng)絡(luò)的一個支路切斷造成一對端子。 驅(qū)動點函數(shù)： 激勵與響應(yīng)在同一端口 傳輸函數(shù)： 激勵和響應(yīng) 不 在同一端口 焊入 (S0lder):在網(wǎng)絡(luò)的兩個節(jié)點連接引線造成一對端子。 鉗入電壓源 鉗入電流源 焊入電壓源 焊入電流源 激勵接入： 13 3、 驅(qū)動點函數(shù)的拓?fù)浯_定法 lk lkp kk U IY （ 1）鉗入法： 選一個樹，在某一連支鉗入電壓源，則 鉗入導(dǎo)納 l lkk Z Z LZPN LZPN ok 的 的 L Z PN L Z PNZ ok p kk 的 的 鉗入阻抗 （ 2）焊入法： 選一個樹，在某一樹支焊入電流源，則 焊入阻抗 t t k ks kk Y YZ T Y PN T Y PN sk 的 的 焊入導(dǎo)納 T Y PN T Y PNY sk s kk 的 的 T Y PN T Y PN ok 的 的 L Z PN L Z PN sk 的 的 14 例： 求在第 1支路圖鉗入的驅(qū)動點阻抗和驅(qū)動點導(dǎo)納； 求在第 5支路圖焊入的驅(qū)動點阻抗和驅(qū)動點導(dǎo)納。 解： L Z PN L Z PNZ 1o p 11 的 的 543 5453524232514131 zzz zzzzzzzzzzzzzzzz T Y PN T Y PNY 1op 11 的 的 T Y PN yyyyyyyyzyyy 542153214321 的 T Y PN T Y PNY 3s s 55 的 的 42324131 yyyyyyyy T Y PN 的 T Y PN T Y PNZ ss 的 的 3 55 LZPN zzzzzzzzzzzz 542532541531 的 15 3-3 傳輸函數(shù)的拓?fù)涔?li lkp ik U IY l lik Z Z LZPN C L Z PNN)1( okoiki 的 的和 p ik p ik Y 1Z ti tks ik I UZ 1、傳輸阻抗和傳輸導(dǎo)納的拓?fù)浯_定法 s ik s ik Z 1Y t tik Y Y T Y PN C T Y PNN)1( sksiki 的 的和 C L Z PNN)1( LZPN okoi ki 的和 的 T Y PN C T Y PNN)1( sksiki 的 的和 16 2、基爾霍夫第三定律 D V U IY li lk ik 設(shè)有 b條支路 n個節(jié)點的無耦合網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)鋱D是連通的，則 網(wǎng)絡(luò)的傳輸導(dǎo)納 D為網(wǎng)絡(luò) N的連支阻抗積之和； 每個阻抗積的符號，要看所留回路中 Uli電壓升的方向 與 Ilk 的方向是否一致，若一致取正，反之取負(fù)。 1njb3j2j j 1j zzzzD nb,h3h2h h 1h zzzzV V求法：從網(wǎng)絡(luò) N中移去 L-1個支路，使留下的子圖中只出 現(xiàn)一個回路，且包含 Uli與 Ilk 在內(nèi)。然后對所有能形成這 種情況的阻抗積求和。 17 例： 求圖示網(wǎng)絡(luò)的 解： 5453524232514131 zzzzzzzzzzzzzzzzD 5453524232514131 5 s 4 zzzzzzzzzzzzzzzz z U I s 1 s 4 U I, U I 拓?fù)鋱D如右。由 基爾霍夫第三定律 ，有 D V U I s 4 D為網(wǎng)絡(luò) N的連支阻抗積之和 V求法：從網(wǎng)絡(luò) N中 1個支路，使留下的子圖中只出現(xiàn)一個包 含 Us與 I4回路，則只能移去支路 5。所留回路中 Us與 I4方向不 一致，故取負(fù)。 5zV 5453524232514131 543 s 1 zzzzzzzzzzzzzzzz zzz U I 18 3、基爾霍夫第四定律 D V I UZ ti tk ik 設(shè)有 b條支路 n個節(jié)點的無耦合網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)鋱D是連通的，則 網(wǎng)絡(luò)的傳輸阻抗 D為網(wǎng)絡(luò) N的樹支導(dǎo)納積之和； V求法：網(wǎng)絡(luò) Nsi與 Nsk移共有樹的導(dǎo)納積之和。 1jn3j2j j 1j yyyyD 2n,h3h2h h 1h yyyyV 注意式中： Iti為僅有的電流源，焊入于第 i樹支； Utk為第 k樹支電壓。 19 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)，求 解： 542532432541531431521421 42 15 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy yyz ss I Uz I Uz 1 11 5 15 , 拓?fù)鋱D如右。由 基爾霍夫第四定律 ，有 D為網(wǎng)絡(luò) N的樹支導(dǎo)納積之和 網(wǎng)絡(luò) Ns1： 42 yyV 542532432541531431521421 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyD D V I Uz s 5 15 網(wǎng)絡(luò) Ns5： 4535342524P 1s 2423141312P 5s 共有樹： 24 542532432541531431521421 5453435242 11 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyz 20 3-4 節(jié)點方程的拓?fù)浣?1、不含受控源情況 （ Yn是 n階非奇異系數(shù)方陣） ni T 1i n i k n nk IYY 1U nnn IUY 節(jié)點方程 T Y PNY n 所有樹 的網(wǎng)絡(luò) T bn AAYY TTTTTb A)AY( 當(dāng) 不含受控源時 ，節(jié)點導(dǎo)納矩陣的行列式 |Yn| 為 21 分子求法 niT 1i n i k n nk IYY 1U T kbikin i k AYA)1(Y 1T1TTk1T1Tbiki A)YA()1( C T Y PNNAYA irkrTkbi 的和 Nkr ：將原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點 k與參考節(jié)點 r短路所得網(wǎng)絡(luò) Nir ：將原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點 i與參考節(jié)點 r短路所得網(wǎng)絡(luò) C T Y PNNY irkrn i k 的和 22 2、含受控源情況 (1) 不定導(dǎo)納矩陣和伴隨有向圖 在 網(wǎng)絡(luò)之外選一個參考點，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點方程： nni n d IUY Yind稱為不定導(dǎo)納矩陣 Tabai n d AYAY 例： 寫出圖示網(wǎng)絡(luò)的 不定導(dǎo)納矩陣 ecce eccebecb eeeeebcb bbbb i n d gGGg0 )gG(GgG)gg(G )gg(g)gg(ggg 0GggG Y 23 不定導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)： （ 1） Yind每行元素之和等于零，每列元素之和等于零，稱 作“零和特性” 。 （ 2） Yind所有的一階代數(shù)余子式都相等。 （ 3） 去掉 Yind中的第 k行和第 k列，則得到以節(jié)點 k為參考節(jié) 點的節(jié)點導(dǎo)納矩陣 Yn。 不定導(dǎo)納矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式 ： 1n 1k nk2n1n n2 n 2k 1k k221 n112 n 2k k1 i n d yyy yyy yyy Y 標(biāo)準(zhǔn)形式的不定導(dǎo)納矩 陣可導(dǎo)出伴隨有向圖。 24 (2) 不定導(dǎo)納矩陣的伴隨有向圖 ： 有 n個頂點的加權(quán)有向圖 。 頂點的標(biāo)號與網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點標(biāo)號一一對應(yīng)； 若元素 yij0， 則從頂點 i到 j之間有一個有向邊，該邊的權(quán) 就是 yij 。 ecce eccebecb eeeeebcb bbbb i n d gGGg0 )gG(GgG)gg(G )gg(g)gg(ggg 0GggG Y 例： 畫出所示 不定導(dǎo)納矩陣 的伴隨 有向圖 。 所對應(yīng)的不定導(dǎo)納矩陣 的伴隨有向圖如右圖所示。 25 (3) 有向樹矩陣 T(Gd) ： n階方陣 主對角線元素 tii為 Gd中節(jié)點 i射出邊的度數(shù)； 非主對角線元素 tij為 Gd中從節(jié)點 i指向節(jié)點 j的邊數(shù)的負(fù)值。 2110 1311 1131 0112 )G(T d 例： 寫出所示 伴隨有向圖的矩陣 T(Gd) 。 有向樹矩陣 T(Gd) 之第 i行的任一元素的代數(shù)余子式的數(shù)值 等于 Gd 之中以節(jié)點 i為參考節(jié)點的有向樹的數(shù)目。 26 (4)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的行列式 |Yn |求法 T Y PTY rT rn 所有 的 節(jié)點導(dǎo)納矩陣的行列式，即 Yind的一階代數(shù)余子式， 等于以任一節(jié)點 r為參考點的有向樹樹支導(dǎo)納積之和。 rT r )y(T ( ) Ynik 的求法 Ynik是 不定導(dǎo)納矩陣 Yind的二階代數(shù)余子式。 u un i k PY r,ik 2 T r,ik 2 )y(T rikT ,2 以節(jié)點 r為參考點 ,以 i,k為兩分離部分的 2-樹。 27 習(xí)題三 、 圖 3-1所示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D ， 以支路 2、 3、 5、 7為樹 ， 求 |Yt|和余 因式 Yt22、 Yt21。 圖 3-1 2、寫出圖 3-2所示網(wǎng)絡(luò)的 不定導(dǎo)納矩陣 ；作出 伴隨有向圖 Gd ； 求出有向樹矩陣 T(Gd)； 求出以節(jié)點 1為參考點的 有向樹的數(shù)目 。 圖 3-2