定義及其標準方程 第一課時 揭西縣河婆中學 韓永超 尊敬的評委、領導、老師們：大家好！ 我是來自揭陽市揭西縣河婆中學的韓永超， 今天我要跟大家共同探討的是普通高中課程標準 實驗教科書 數(shù)學 選修 2 1第二章第一節(jié) 橢 圓及其標準方程 的教學設計。我們知道，新一 輪的高中課改其顯著特征和核心任務是堅定不移 地推進教學方式和學習方式的轉變。新課程強調 學生的已有經(jīng)驗是教學的基礎，教學過程應當是 師生之間溝通與交流的過程。教學過程重結論， 更應重過程，應倡導積極主動、勇于探索的學習 方式。 基于對新課程理念的理解，本節(jié)課力圖貫 徹上述新課程理念，在突出學情意識，過程意 識和探究意識上對傳統(tǒng)教學內容進行大膽的創(chuàng) 新設計。下面請允許我具體跟大家說說我這節(jié) 課是如何突出這三種意識的。 一、學情意識分析 二、過程意識分析 三、探究意識分析 橢圓及其標準方程 一、 學情意識 學生已經(jīng)學習了有關直線與圓的知識 , 對曲線和方程的概念有了一定的了解，對 用坐標法研究幾何問題已經(jīng)有了初步的認 識，對探究點的軌跡問題已有一定的知識 基礎和學習能力。這有利于學生實現(xiàn)從 “舊知”向“新知”的遷移。 我們還意識到大部分學生課前有預習 的習慣，通過預習對本節(jié)的學習內容、研 究問題的方法、要解決的問題已有了初步 的認識 ,個別學生甚至通過自學就能掌握本 節(jié)的內容。 一、學情意識 但對大部分學生而言，畢竟他們對這一 模塊內容學習的時間不長、理解掌握的程度 也參差不齊，因此在學習過程中難免會有些 困難。具體可能會表現(xiàn)在對用坐標法解決軌 跡問題的具體步驟掌握不到位及在方程化簡 方面方法選擇不當，所以從研究圓到橢圓， 學生思維上會存在一些障礙。 二、過程意識 1、發(fā)現(xiàn)問題，引入新知 -定義的構建 請問：動點 P所滿足的幾何條件是什么 ? （ OP = r ） 實驗：取一條定長的沒有彈性的細繩，把它的兩端都 固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動 筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？ (把筆尖看作 動點 P) 圖 1 我們根據(jù)上面的幾何條件給圓下定義： 圓是到定點的距離等于定長的點的軌跡。 二、過程意識 這時候動點 P滿足的幾何條件又是什么？學生不難說 出動點到兩定點距離之和等于定長（常數(shù)）。 現(xiàn)在請同學們將細繩的兩端拉開一段距離，分別固 定在圓板的兩點 F1、 F2處，移動筆尖一周，看看這時筆 尖畫出的軌跡是什么圖形？ 圖 2 兩定點的距離不可能畫出橢圓，從而完成了對橢圓的定 義，且明確了定義中的附加條件是定義的一部分。 這時根據(jù)學生回答的情況結合 教具的演示讓學生直觀感知，假如 繩子的的長度（常數(shù)）小于或等于 所以我們將橢圓定義為：到兩個定點的距離 之和等于常數(shù)的點的軌跡 （ 二、過程意識 12| | | |P F P F F1F2 ） 設計意圖： 充分利用教具，不斷修正、完善對橢 圓定義的構建。讓學生通過實驗操作去直觀感知 新知，又通過類比，使學生對橢圓的定義的學習、 理解水到渠成。 二、過程意識 2、引導探究，構建新知 -標準方程的建立 在實際生活中，橢圓形的實物無處不在， 如盤子、油罐車的橫截面，還有人造衛(wèi)星繞地 球運行的軌跡等等，可見橢圓與圓一樣是無處 不在的，因而很有必要研究橢圓的幾何性質。 我們知道研究曲線及其性質的基本方法是坐標 法。用坐標法研究曲線有兩個基本環(huán)節(jié)，一是 建立坐標系，二是建立方程。 二、過程意識 圓有一般方程，而橢圓有沒有一般方 程呢？教材是怎樣建系的？教材為什么要 這樣建系？要解決這個問題我們得探究一 下其它的建系法的結果是怎樣的？這個環(huán) 節(jié)給學生充分的時間，讓他們探究、推導、 比較、交流?？梢韵胂螅瑢W生得出的方程 形式會比較復雜，大多數(shù)可能沒有經(jīng)過配 方，甚至是錯誤的 ,這時讓學生對不同的結 果進行判斷、比較、選擇。 通過學生的探究、推導，老師的點撥、提煉 得出下是幾種不同建系法對應的橢圓的方程： X Y F 1 F 2 22 22 () 1x a y ab 22 22 () 1x a y ab 22 22 xy 1 ab 2 22 2 1y x ab 圖 3 a b c d 二、過程意識 二、過程意識 從中可以看出，同一個橢圓，因建系的不同， 所得的方程也不同，但不同的方程對應的橢圓是 不變的，我們要通過方程來研究橢圓的幾何性質， 那當然是方程的形式越簡單越好。最后經(jīng)過分析、 比較不難得出坐標原點選在橢圓的中心時得出的 方程形式最簡單，這樣的方程我們把它稱為橢圓 的標準方程。其中 a、 b、 c是確定橢圓大小、形狀 的特征量，且滿足： ， 進一步分清兩個標準方程的聯(lián)系和區(qū)別從而完成 了對橢圓標準方程的構建（圖 3a、 b）。 0ab 2 2 2a b c 二、過程意識 說明： 在里對橢圓的標準方程的建立沒有墨守成 規(guī)按教材給出的建系做 ，而是積極鼓勵學生用 不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，以 便了解學生的思維起點，讓他們在自己認為簡 潔的坐標系下建立橢圓的方程。通過展示推導 過程，比較化簡結果，讓學生明白哪種坐標系 更合適，不用老師叮囑，在以后的建系中，他 自然會注意到平衡對稱對簡化問題的作用。這 樣，學生可以在對比、觀察、思維的基礎上提 升自己的思維，使新知識與舊知識盡可能產生 的聯(lián)系，而不是被動地接受正確的結果，也就 是說我們教學不但重結課，更重過程。 二、過程意識 3、練習鞏固，感悟新知 -知識的運用 （ 1）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程（課本 P40） a=4， b=1，焦點在 x軸上 a=4， c= ，焦點在 y軸上 如果該橢圓上一點 P到焦點 F1的距離等于 6，那么 P到 另一個焦點 F2距離是 - （ 2）已知橢圓兩個焦點的坐標分別為 ，并 且經(jīng)過點 ， 則方程是 - 15 ( 2 , 0) , ( 2 , 0) 53( , ) 22 二、過程意識 （ 3） 在橢圓中，已知 a+b=10， c=2 ，則橢圓 標準方程為 - A. B. C. 或 D. 5 22 1 3 6 1 6 yx 2 2 13 6 1 6y x 22 13 6 1 6yx 2 2 1 3 6 1 6 y x 22 16 4 4yx 二、過程意識 （ 4）如圖：畫出所給的橢圓的焦點的位 置，并說明理由。（補充練習） y o x 二、過程意識 說明： 這個環(huán)節(jié)結合教學目標對教材例題、習 題進行了重組和加工，以學生的練習、感悟為 主，不預設例題，那個題目需要分析、講解由 課堂實際而定，另外練習盡可能體現(xiàn)題形多樣 性和層次性，以滿足不同層次的學生的需要。 分析解答中注意發(fā)現(xiàn)學生思維的閃光點，注意 不同思維、方法的碰撞。 設計意圖： 不同于以往，這個環(huán)節(jié)通過放手讓 學生自己練習、感悟，讓學生在“游泳中學會 游泳”， 以增強對學生能力培養(yǎng)的針對性和實 效性。 二、過程意識 4、作業(yè)（ 1） P46習題 2.1A組 （ 1）、如果點 在運動過程中，總滿足關系式： 那么點 M的軌跡是什么曲 線？為什么？寫出它的方程。 （ 2）、寫出適合下列條件的橢圓的標準程： 焦點在 x軸上，焦距為 4，并且經(jīng)過點 P（ 3， - ）； 焦點的坐標分別為 ， a=5； a+c=10, a-c=4。 ),( yxM 2 2 2 2x ( y 3 ) x ( y 3 ) 10 26 ( 0 , 4) , ( 0 , 4) 設計意圖： 鞏固所學知識，形成技能，為下節(jié)課的教 法、學法的確定提供依據(jù)。 二、過程意識 5、歸納小結，內化新知 我們最后選擇了坐標原點在橢圓的 中心去建系是因為得出的方程形式最簡 單，由這種建系方法得到的方程叫橢圓 的標準方程。在用橢圓的標準方程解決 問題時，要注意分清不同的“型”和 “形”，要注意定義的靈活運用。 二、過程意識 設計意圖 ： 這個環(huán)節(jié)不是對這節(jié)課所學 知識的簡單羅列，而是通過思想方法的 滲透以及對學生在分析、探究的過程中 出現(xiàn)的問題的剖析，來加深學生對所學 知識的理解，使本節(jié)課的知識得到進一 步內化。 三、探究意識 1、對橢圓定義的探究 借助實驗，讓學生從實踐中體會橢圓上的點所滿足的 條件，逐漸把圖形語言轉化為文字語言。當學生定義不準 確、不嚴謹時，不是否定學生，而是保護學生的自尊心， 保留學生的自信心，繼續(xù)設計情境，引導學生自主探索。 通過實驗發(fā)現(xiàn)：當兩定點近得不能再近時畫出的是圓，當 兩定點遠得不能再遠時畫出的是線段。通過的實踐，學生 對條件 2a2c的理解水到渠成。這樣，不僅完善了橢圓的 定義，也有助于培養(yǎng)學生質疑、勤于動腦的良好思維習慣。 有助于幫助學生自主學習，學會學習。 三、探究意識 2、對橢圓標準方程的探究 在這節(jié)課的教學設計中，我沒有墨守成規(guī)按 教材給出的建系方法探究方程，而是鼓勵學生用 不同的建系方法去建立方程。 其意圖是希望通過 一系列的質疑、判斷、比較、選擇，通過多種觀 點、不同方法的碰撞，使學生真正理解橢圓的標 準方程。更重要的是通過探究式的教學過程，可 培養(yǎng)學生的問題意識和創(chuàng)新精神，使學生的“自 主、合作、探究”活動成為可能。這是對傳統(tǒng)教 學內容進行創(chuàng)新設計的嘗試。 三、探究意識 3、課外探究 （ 1）如圖 4，將圓上所有的點的縱坐標壓縮為原來 的一半，橫坐標不變，所得的曲線是什么曲線？壓 縮為原來的， ， ， ， （ ）呢？ （探究工具，手段不限） （ 2）如果已知圓的方程為 ，你能分別 求出按（ 1）壓縮后所得的曲線的方程嗎？ 1 3 14 1 5 1 n n , n 2N 22x y 1 6 三、探究意識 x y o p 設計意圖： 通過創(chuàng)造性的使用 教材 ,一方面使針對教材內容所 開展的探究性活動成為一種真 實的可能；另一方面通過這樣 的設計可逐漸培養(yǎng)學生自主學 習、自我探索的良好習慣，并 最終從根本上轉變學生的學習 方式，同時為對學生數(shù)學學習 的過程性評價找到一種比較好 的形式和一個很好的落腳點。 課外探究 (2) 三、探究意識 各位專家、老師，我認為我這節(jié)課 的教學設計具有以上三方面的特色，還 有其它方面比如這節(jié)課的教學目標及難 重點等方面，請各位評委、老師看看我 的教案，謝謝！