綜合仿真練(一)1.如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OPOC，PAPD.求證：(1)PA平面BDE; (2)平面BDE平面PCD.證明：(1)連結(jié)OE，因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)EPA. 又因?yàn)镺E平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE. (2)因?yàn)镺EPA，PAPD，所以O(shè)EPD. 因?yàn)镺POC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)EPC. 又因?yàn)镻D平面PCD，PC平面PCD，PCPDP，所以O(shè)E平面PCD. 又因?yàn)镺E平面BDE，所以平面BDE平面PCD.2(2019南通市一中模擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x)B(A>0，>0)，部分自變量、函數(shù)值如下表.xx02f(x)24求：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間(2)函數(shù)f(x)在(0，內(nèi)的所有零點(diǎn)解：(1)由題意得解得 又解得 f(x)2sin2由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間為 (kZ)(2)f(x)2sin20，sin1.x(0，<2x2，2x，解得：x.函數(shù)f(x)在(0，內(nèi)的零點(diǎn)為.3(2019揚(yáng)州四模)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且AF5. (1)求橢圓C的方程；(2)已知圓M的圓心M，半徑為r，點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，若圓M與直線PA，PF都相切，求此時(shí)圓M的半徑r.解：(1)橢圓離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且AF5.解得b215，橢圓C的方程為：1.(2)由題意得：A(4,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則1當(dāng)x01時(shí)，直線PF：x1，與圓M相切，則R1，不妨取P，直線PA：y(x4)，即3x4y120，點(diǎn)M到直線PF的距離為r 直線PF與圓M相切當(dāng)r時(shí)，圓M與直線PA，PF都相切當(dāng)x04時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意；當(dāng)x01且x04時(shí)，直線PA：y(x4)，PF：y(x1)化簡(jiǎn)得：PA：y0x(x04)y4y00，PF：y0x(x01)yy00圓M與直線PA，PF都相切 ry00，又y15代入化簡(jiǎn)得：x122x01210，解得：x01或x01214<x0<4且x01 無(wú)解綜上：r.4.如圖，半圓AOB是某市休閑廣場(chǎng)的平面示意圖，半徑OA的長(zhǎng)為10.管理部門(mén)在A，B兩處各安裝一個(gè)光源，其相應(yīng)的光強(qiáng)度分別為4和9.根據(jù)光學(xué)原理，地面上某點(diǎn)處照度y與光強(qiáng)度I成正比，與光源距離x的平方成反比，即y(k為比例系數(shù))經(jīng)測(cè)量，在弧AB的中點(diǎn)C處的照度為130.(C處的照度為A，B兩處光源的照度之和)(1)求比例系數(shù)k的值；(2)現(xiàn)在管理部門(mén)計(jì)劃在半圓弧AB上，照度最小處增設(shè)一個(gè)光源P，試問(wèn)新增光源P安裝在什么位置？解：(1)因?yàn)榘霃絆A的長(zhǎng)為10，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB，ACBC10. 所以C處的照度為y130，解得比例系數(shù)k2 000. (2)設(shè)點(diǎn)P在半圓弧AB上，且P距光源A為x，則PAPB，由AB20，得PB(0x20)所以點(diǎn)P處的照度為y(0x20)所以y4 00020 000.由y0，解得x4. 當(dāng)0x4時(shí)，y0，y為減函數(shù)；當(dāng)4x20時(shí)，y0，y為增函數(shù)所以x4時(shí)，y取得極小值，也是最小值. 所以新增光源P安裝在半圓弧AB上且距A為4(距B為4)的位置5已知函數(shù)f(x)(a3)xa2ln x(aR)(1)若函數(shù)f(x)在(1，)上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)已知不等式f(x)3x0對(duì)任意x(0,1都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)法一：因?yàn)閒(x)a3(x>0), 當(dāng)a3時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減； 當(dāng)a3時(shí)，由f(x)0，得0x，f(x)在0，上單調(diào)遞減，由f(x)0，得x，f(x)在上單調(diào)遞增. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，)上為單調(diào)增函數(shù)，所以a3且1，所以a5, 所以實(shí)數(shù)a的最小值為5. 法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，)上為單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)a30在(1，)上恒成立， 所以a3在(1，)上恒成立， 又當(dāng)x1時(shí)，35, 所以a5，所以實(shí)數(shù)a的最小值為5. (2)令g(x)f(x)3xa(x1)2ln x，x(0,1，所以g(x)a. 當(dāng)a2時(shí)，由于x(0,1，所以2，所以g(x)0，g(x)在(0,1上單調(diào)遞減，所以g(x)ming(1)0，所以對(duì)任意x(0,1，g(x)g(1)0，即對(duì)任意x(0,1不等式f(x)3x0都成立，所以a2; 當(dāng)a2時(shí)，由g(x)0，得0x，g(x)在上單調(diào)遞減；由g(x)0，得x，g(x)在上單調(diào)遞增所以，存在(0,1)，使得gg(1)0，不合題意綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，26已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記集合Mn|n(n1)an，nN*，若M中有3個(gè)元素，求的取值范圍；(3)是否存在等差數(shù)列bn，使得a1bna2bn1a3bn2anb12n1n2對(duì)一切nN*都成立？若存在，求出bn；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)當(dāng)n1時(shí)，S12a11，得a11.當(dāng)n2時(shí)，由Sn2an1，得Sn12an11，得an2an1，即2(n2)因此an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n1. (2)由已知可得，令f(n)，則f(1)2，f(2)3，f(3)3，f(4)，f(5)， 下面研究f(n)的單調(diào)性，因?yàn)閒(n1)f(n)，所以，當(dāng)n3時(shí)，f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)，即f(n)單調(diào)遞減. 因?yàn)镸中有3個(gè)元素，所以不等式解的個(gè)數(shù)為3，所以2，即的取值范圍為.(3)設(shè)存在等差數(shù)列bn使得條件成立，則當(dāng)n1時(shí)，有a1b122121，所以b11.當(dāng)n2時(shí)，有a1b2a2b123224，所以b22.所以等差數(shù)列bn的公差d1，所以bnn. 設(shè)Sa1bna2bn1a3bn2anb1，S1n2(n1)22(n2)2n222n11，所以2S2n22(n1)23(n2)2n122n1，得Sn222232n12n n2n1n2，所以存在等差數(shù)列bn，且bnn滿足題意6