綜合仿真練(一)(理獨)1本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答A選修42：矩陣與變換(2019江蘇高考)已知矩陣A.(1)求A2；(2)求矩陣A的特征值解：(1)因為A，所以A2.(2)矩陣A的特征多項式為f()254.令f()0，解得A的特征值11，24.B選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點和點，求圓C的極坐標(biāo)方程解：法一：因為圓心C在極軸上且過極點，所以設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為acos ， 又因為點在圓C上，所以3acos ，解得a6.所以圓C的極坐標(biāo)方程為6cos .法二：點的直角坐標(biāo)為(3,3)，因為圓C過點(0,0)，(3,3)，所以圓心C在直線為xy30上又圓心C在極軸上，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x3)2y29.所以圓C的極坐標(biāo)方程為6cos .C選修45：不等式選講(2019南通等七市一模)柯西不等式已知實數(shù)a，b，c滿足a2b2c21，求證：.證明：由柯西不等式，得(a21)(b21)(c21)29，所以.2(2019揚州期末)已知直線x2上有一動點Q，過點Q作直線l1垂直于y軸，動點P在l1上，且滿足0(O為坐標(biāo)原點)，記點P的軌跡為C.(1)求曲線C的方程；(2)已知定點M，N，A為曲線C上一點，直線AM交曲線C于另一點B，且點A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點D，求MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍解：(1)設(shè)點P(x，y)，則Q(2，y)，(x，y)，(2，y)，0，2xy20，即y22x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直線BD與x軸的交點為E，MBD內(nèi)切圓與MB的切點為T.設(shè)直線AM的方程為yk，聯(lián)立方程，得得k2x2(k22)x0，44k2>0，x1,2，x1x2且0<x1<x2，x1<<x2，直線AN的方程為y，與方程y22x聯(lián)立并整理得yx2y2x2x1xy0，化簡得2x1x2xx10，解得x或xx1，x3x2，直線BDx軸，設(shè)MBD的內(nèi)切圓圓心為H，連接HT，則H在x軸上且HTAB.法一：SMBD|2y2|，且MBD的周長為22|y2|，SMBDr|2y2|，r.令tx2，則t>1，r在(1，)上單調(diào)遞增，則r>，即r的取值范圍為(1，)法二：H(x2r,0)，直線BD的方程為xx2，直線AM的方程為y，即y2xyy20，且點H與點O在直線AB的同側(cè)，不妨設(shè)點B在x軸上方，r，解得r.令tx2，則t>1，r在(1，)上單調(diào)遞增，則r>，即r的取值范圍為(1，)法三：MTHMEB，即，解得r.令tx2，則t>1，r在(1，)上單調(diào)遞增，則r>，即r的取值范圍為(1，)3一條直路上依次有2n1棵樹，分別為T1，T2，T2n1(n為給定的正整數(shù))，一個醉漢從中間位置的樹Tn1出發(fā)，并按以下規(guī)律在這些樹之間隨機游走n分鐘：當(dāng)他某一分鐘末在樹Ti(2i2n)位置時，下一分鐘末他分別有，的概率到達Ti1，Ti，Ti1的位置(1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1i2n1)位置的概率；(2)設(shè)相鄰2棵樹之間的距離為1個單位長度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn1)之間的距離的數(shù)學(xué)期望(用關(guān)于n的最簡形式表示)解：(1)不妨假設(shè)2n1棵樹T1，T2，T2n1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個單位長度因為該醉漢下一分鐘末分別有，的概率到達Ti1，Ti，Ti1的位置，所以該醉漢將以的概率向左或向右走我們規(guī)定，事件“以的概率向左或向右走0.5個單位長度”為一次“隨機游走”，故原問題等價于求該醉漢從樹Tn1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走后處在樹Ti位置的概率為Pi.對某個i(1i2n1)，設(shè)從Tn1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走到達Ti的全過程中，向右走0.5個單位長度和向左走0.5個單位長度分別有k次和2nk次，則n1i，解得ki1，即在2n次中有i1次向右游走，2n(i1)次向左游走，而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi(1i2n1)(2)對i1,2，2n1，樹Ti與Tn1相距|n1i|個單位長度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學(xué)期望En1i|.而n1i|Cnj|C2(nj)C2C2C2n2nC2n(C)4nn(C22n)4nn(C22n)2n22n1nC，因此E.5