綜合仿真練(六)1.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAB平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EAEB，點M，N分別是AE，CD的中點求證：(1)MN平面EBC；(2)EA平面EBC.證明：(1)取BE中點F，連結(jié)CF，MF，又M是AE的中點，所以MF綊AB.又N是矩形ABCD邊CD的中點，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC. (2)在矩形ABCD中，BCAB，又平面EAB平面ABCD，平面ABCD平面EABAB，BC平面ABCD，所以BC平面EAB.又EA平面EAB，所以BCEA.又EAEB，BCEBB，EB平面EBC，BC平面EBC，所以EA平面EBC.2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角，的頂點為坐標原點O，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O的交點分別為P，Q.已知點P的橫坐標為，點Q的縱坐標為.(1)求cos 2的值；(2)求2的值解：(1)因為點P的橫坐標為，點P在單位圓上，為銳角，所以cos ，所以cos 22cos21.(2)因為點Q的縱坐標為，點Q在單位圓上，所以sin .又為銳角，所以cos .因為cos ，且為銳角，所以sin ，因此sin 22sin cos ，所以sin(2).因為為銳角，所以0<2<.又cos 2>0，所以0<2<，又為銳角，所以<2<，所以2.3.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解：(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點P的坐標為.設(shè)在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當t(5,10)時，g(t)<0，g(t)是減函數(shù)；當t(10，20)時，g(t)>0，g(t)是增函數(shù)從而，當t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.答：當t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米4.如圖，已知橢圓E：1(a>b>0)的左頂點A(2,0)，且點在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點過點A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點B，直線BF2交橢圓E于點C.(1)求橢圓E的標準方程；(2)若CF1F2為等腰三角形，求點B的坐標；(3)若F1CAB，求k的值解：(1)由題意得解得橢圓E的標準方程為1.(2)CF1F2為等腰三角形，且k>0，點C在x軸下方，若F1CF2C，則C(0，)；若F1F2CF2，則CF22，C(0，)；若F1CF1F2，則CF12，C(0，)，C(0，)直線BC的方程y(x1)，由得或B.(3)設(shè)直線AB的方程為yk(x2)，由消去y，得(34k2)x216k2x16k2120，xAxB2xB，xB，yBk(xB2)，B.若k，則B，C，F(xiàn)1(1,0)，kCF1，F(xiàn)1C與AB不垂直；k，F(xiàn)2(1,0)，kBF2，kCF1，直線BF2的方程為y(x1)，直線CF1的方程為y(x1)，由解得C(8k21，8k)由點C在橢圓上，得1，即(24k21)(8k29)0，即k2，k>0，k.5數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn4an.(1)求證：數(shù)列an為等比數(shù)列，并求通項公式an；(2)是否存在自然數(shù)c和k，使得1成立？若存在，請求出c和k的值； 若不存在，請說明理由解：(1)當n1時，S1a14，得a12, 由Sn4an，得Sn14an1，得，Sn1Snanan1，即an1an, 所以，且a12，所以數(shù)列an是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且an. (2)法一：因為an，所以ak1，Sk4， 要使>1成立，只要使<0(*)成立，當c4時，不等式(*)不成立； (也可以根據(jù)Sk4>c，且2Sk4，所以c的可能取值為0,1,2,3)當c0時，1<2k<，不存在自然數(shù)k使(*)成立；當c1時，<2k<2，不存在自然數(shù)k使(*)成立；當c2時，2<2k<3，不存在自然數(shù)k使(*)成立；當c3時，4<2k<6，不存在自然數(shù)k使(*)成立綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立. 法二：要使1，只要>2，即只要<0，因為Sk4<4，所以Sk2Sk>0，故只要Sk2cSk. 因為Sk1Sk，所以Sk2S121.又Sk4，故要使成立，c只能取2或3. 當c2時，因為S12，所以當k1時，cSk不成立，從而不成立當k2時，因為S22>c，由SkSk1，得Sk2Sk12，故當k2時，Sk2c，從而不成立. 當c3時，因為S12，S23，所以當k1，k2時，cSk不成立，從而不成立因為S32>c，又Sk2Sk12，所以當k3時，Sk2c，從而不成立. 綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立6(2019南通中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)ax6，其中a為實常數(shù)(1)若f(x)>3x在(1，)上恒成立，求a的取值范圍；(2)已知a，P1，P2是函數(shù)f(x)圖象上兩點，若在點P1，P2處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；(3)設(shè)定義在區(qū)間D上的函數(shù)ys(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為l：yt(x)，當xx0時，若>0在D上恒成立，則稱點P為函數(shù)ys(x)的“好點”試問函數(shù)g(x)x2f(x)是否存在“好點”若存在，請求出所有“好點”坐標，若不存在，請說明理由. 解：(1)法一：f(x)>3x在(1，)上恒成立，即為(a3)x26x2>0在(1，)上恒成立，a3時，結(jié)論成立；a>3時，函數(shù)h(x)(a3)x26x2圖象的對稱軸為x<0，所以函數(shù)h(x)(a3)x26x2在(1，)單調(diào)遞增，依題意h(1)>0，即a>5，所以a>3；a<3不合要求，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a3. 法二：f(x)>3x在(1，)上恒成立等價于a>3，令h(x)322因為x>1，所以0<<1，故5<h(x)<3，所以a3.(2)f(x)，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，過點P1，P2的兩切線互相平行，則，所以x1x2(舍去)，或x1x2，過點P1的切線l1：yy1f(x1)(xx1)，即f(x1)xyf(x1)x1f(x1)0，過點P2的切線l2：f(x2)xyf(x2)x2f(x2)0兩平行線間的距離是d，因為x25，所以d4，即兩平行切線間的最大距離是4. (3)g(x)x2f(x)ax36x22x，設(shè)g(x)存在“好點”P(x0，y0)，由g(x)3ax212x2，得h(x)g(x0)(xx0)g(x0)，依題意>0對任意xx0恒成立，因為a(x2x0xx)6(xx0)2(3ax12x02)ax2(ax06)x(2ax6x0)，所以ax2(ax06)x(2ax6x0)>0對任意xx0恒成立，若a0，ax2(ax06)x(2ax6x0)>0不可能對任意xx0恒成立，即a0時，不存在“好點”；若a>0，因為當xx0時，ax2(ax06)x(2ax6x0)0，要使ax2(ax06)x(2ax6x0)>0對任意xx0恒成立，必須(ax06)24a(2ax6x0)0，(ax02)20，所以x0，綜上可得，當a0時，不存在“好點”；當a>0時，存在惟一“好點”為.8