專項(xiàng)強(qiáng)化練(十二)橢圓、雙曲線和拋物線A組題型分類練題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1PF243，則PF1F2的面積為_解析：因?yàn)镻F1PF214，又PF1PF243，所以PF18，PF26.因?yàn)镕1F210，所以PF1PF2.所以SPF1F2PF1PF28624.答案：242一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓方程為_解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由點(diǎn)(2，)在橢圓上，知1.又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1PF22F1F2，即22c2a，又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26.故橢圓方程為1.答案：1臨門一腳1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)如若不能確定焦點(diǎn)的位置，則兩種情況都要考慮，這一點(diǎn)一定要注意，不要遺漏，此時(shí)設(shè)所求的橢圓方程為一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若AB，則焦點(diǎn)在x軸上；若AB，則焦點(diǎn)在y軸上2橢圓的定義中一定滿足“PF1PF22a，且ac”，用橢圓的定義求解a，b，c有時(shí)比用方程簡(jiǎn)便題型二橢圓的幾何性質(zhì)1橢圓1的離心率是_解析：根據(jù)題意知，a3，b2，則c，橢圓的離心率e.答案：2橢圓x2my21的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m_.解析：由題意可得， ，所以m4.答案：43已知圓C1：x22cxy20，圓C2：x22cxy20，橢圓C：1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是_解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于圓C2的右頂點(diǎn)(2c,0)，上頂點(diǎn)(c，c)在橢圓內(nèi)部，只需0<.答案：4已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為_解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點(diǎn)到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e .答案：臨門一腳1弄清楚a，b，c，e的幾何意義，以及相關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo)、線的方程的表示2求解幾何性質(zhì)之前方程應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)式，否則會(huì)混淆a，b.3離心率求解主要是根據(jù)幾何條件建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式題型三雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF1|8，則PF1F2的周長(zhǎng)為_解析：由雙曲線的方程可知a3，b，所以c4，則|PF2|PF1|2a2，|F1F2|2c8，據(jù)此可知PF1F2的周長(zhǎng)為82818.答案：182已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，其一條漸近線方程為yx，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)雙曲線的方程為y2(0)，則12，解得1，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.答案：y213(2018柳州模擬)設(shè)雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|AF2|BF2|的最小值為_解析：|AF2|BF2|2a|AF1|2a|BF1|4a|AB|4a4316.答案：164設(shè)雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：法一：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232a25，故所求雙曲線的方程為1.法二：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則a2b29，又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的方程為1.法三：設(shè)雙曲線的方程為1(27<<36)，由于雙曲線過點(diǎn)(，4)，故1，解得132，20，經(jīng)檢驗(yàn)132，20都是分式方程的根，但0不符合題意，應(yīng)舍去，所以32.故所求雙曲線的方程為1.答案：1臨門一腳1先確定焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為(0)，再根據(jù)條件求的值2雙曲線的定義運(yùn)用時(shí)，首先要分清楚點(diǎn)在雙曲線的哪一支上或可能在兩支上，否則會(huì)出錯(cuò)題型四雙曲線的幾何性質(zhì)1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1的離心率為_解析：由已知得，a，b，則c3，所以e.答案：2(2019常州期末)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為2，直線xy20經(jīng)過雙曲線C的焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為_解析：由題意可得直線xy20與x軸的交點(diǎn)(2,0)為雙曲線C的焦點(diǎn)，所以c2，又雙曲線C的離心率為2，所以a1，b，所以雙曲線C的漸近線方程為yxx.答案：yx3(2018南京高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為_解析：由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a得b2a，則該雙曲線的離心率e .答案：4已知F是雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_解析：由題意得E(a,0)，不妨設(shè)A，B，顯然ABE是等腰三角形，故當(dāng)ABE是銳角三角形時(shí)，AEB90，從而ac，化簡(jiǎn)得c2ac2a20，即e2e20，解得1e2，又e1，故1e2.答案：(1,2) 臨門一腳1雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求根據(jù)漸近線方程求離心率時(shí)要注意有兩解2在解析幾何中，解決求范圍問題，一般可從以下幾個(gè)方面考慮：(1)與已知范圍聯(lián)系，通過求函數(shù)值域或解不等式來完成；(2)通過一元二次方程的根的判別式的符號(hào)建立不等關(guān)系；(3)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)部建立不等式關(guān)系；(4)利用解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如a2，|a|，等的非負(fù)性來完成范圍的求解題型五拋物線1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y24x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是_解析：因?yàn)閽佄锞€方程為y24x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x1，設(shè)PAl，A為垂足，所以PFPAxP(1)3，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2.答案：22若點(diǎn)P到直線y1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是_解析：由題意可知點(diǎn)P到直線y3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的拋物線，且p6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y.答案：x212y3一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線y22x上的正三角形的面積為_解析：如圖，根據(jù)對(duì)稱性：A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，故AOx30.直線OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐標(biāo)為(6,2)，所以AB4.故正三角形OAB的面積為4612.答案：124在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y26x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足若直線AF的斜率k，則線段PF的長(zhǎng)為_解析：拋物線方程為y26x，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x.直線AF的斜率為，直線AF的方程為y，當(dāng)x時(shí)，y3，由此可得A點(diǎn)坐標(biāo)為.PAl，A為垂足，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，PFPA6.答案：6臨門一腳1一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向，即“對(duì)稱軸看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向”2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式要記清楚，求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置和開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3求解幾何性質(zhì)時(shí)，首先要把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其次拋物線方程的p幾何意義要明確B組高考提速練1(2019揚(yáng)州期末)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率為_解析：雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y，又該雙曲線的一條漸近線方程為x2y0，即yx，所以，a2b，則cb，則該雙曲線的離心率e.答案：2在矩形ABCD中，AB4，BC3，則以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為_解析：依題意得AC5，所以橢圓的焦距為2cAB4，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2aACBC8，所以短軸長(zhǎng)為2b224.答案：43拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線截圓x2y22y10所得的弦長(zhǎng)為2，則p_.解析：拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，而圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)22，圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以21()2，解得p2.答案：24已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓1(a>b>0)上的一點(diǎn)，若120，tanPF1F2，則此橢圓的離心率為_解析：因?yàn)?20，tanPF1F2，所以12，sinPF1F2，cosPF1F2.所以PF1c，PF2c，則PF1PF2c2a，所以e.答案：5(2019海門中學(xué)模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F2，過F2且與x軸垂直的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，T是雙曲線的左頂點(diǎn)，若TMN為直角三角形，則該雙曲線的漸近線方程為_解析：由題意可得TMN為等腰直角三角形，且MTN為直角，故MF2TF2.由1，解得y，所以MF2.因?yàn)門F2ac，所以ac，得b2a2ac，即c2a2a2ac，得c2a，所以ba，所以該雙曲線的漸近線方程為xy0.答案：xy06已知橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)M，N與F構(gòu)成正三角形，則此橢圓的方程為_解析：由FMN為正三角形，得cOFMNb1.解得b，a2b2c24.故橢圓的方程為1.答案：17(2019如皋中學(xué)模擬)已知雙曲線C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且兩條漸近線的夾角為60，過點(diǎn)F1作x軸的垂線，交雙曲線C的左支于M，N兩點(diǎn)，若MNF2的面積為4，則雙曲線C的方程為_解析：因?yàn)殡p曲線C的兩條漸近線的夾角為60，a>b>0，所以.易知F1(c,0)，所以直線MN的方程為xc，代入雙曲線的方程得y，所以MN，所以MNF2的面積SF1F2MN2c4，又a2b2c2，所以由得a3，b，c2，故雙曲線C的方程為1.答案：18(2018鎮(zhèn)江高三期末)已知雙曲線y21的左焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為_解析：由題意知雙曲線y21的左焦點(diǎn)為(3,0)，所以a28，因此雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x.答案：x9(2019常州期初)已知橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為_解析：由于橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3a25.設(shè)橢圓M：y21與圓Cx2y26a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0，y0)，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為y0y1，圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)答案：(3,5) 10已知拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)F是橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_解析：設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題意，p2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入橢圓方程，可得1，整理可得e46e210，0e1，e1.答案：111.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_解析：連結(jié)AF1，依題意得AF1AF2，AF2F130，AF1c，AF2c，因此該雙曲線的離心率e1.答案：112.如圖，已知過橢圓1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(a,0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若AOP是等腰三角形，且2，則橢圓的離心率為_解析：法一：因?yàn)锳OP是等腰三角形，所以O(shè)AOP，故A(a,0)，P(0，a)，又2，所以Q，由點(diǎn)Q在橢圓上得1，解得，故離心率e .法二：因?yàn)锳OP是等腰三角形，所以O(shè)AOP，故直線AP的方程為yxa，與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(a2b2)x22a3xa2c20，從而(a)xQ，即xQ，又由A(a,0)，P(0，a)，2，得xQ，故，即5c24a2，e2，故e.答案：13(2018南京四校聯(lián)考)已知右焦點(diǎn)為F的雙曲線的離心率為，過點(diǎn)F且與一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)A，AF2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：法一：由e知，雙曲線的漸近線方程為yx，不妨設(shè)直線l：yxc，聯(lián)立得解得A，AF2，解得c28，又由e知，a2b24，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：由e知，雙曲線的漸近線方程為yx，且兩條漸近線互相垂直，此時(shí)AF2ba，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：114.如圖所示，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，離心率為，點(diǎn)P為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)若SPF1ASPF1F221，則直線PF1的斜率為_解析：由題意知，即a2c，則A(0，b)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)直線PF1的方程為yk(xc)(k0)，因?yàn)镾PF1AS21，即S2SPF1F2，即|PF1|2|PF1|，所以|kcb|4|kc|，解得b3kc(舍去)或b5kc，又a2b2c2，即a225k2c2c2，所以4c225k2c2c2，解得k2，k.答案：11