專項(xiàng)強(qiáng)化練(三)選修45：不等式選講(理獨(dú))題型一含絕對值不等式1解不等式：|x2|x|x2|2.解：當(dāng)x2時(shí)，不等式化為(2x)x(x2)2，即x23x>0，解得3x2；當(dāng)2x2時(shí)，不等式化為(2x)x(x2)2，即x2x>0，解得2x1或0x2；當(dāng)x2時(shí)，不等式化為(x2)x(x2)2，即x23x4>0，解得x2.所以原不等式的解集為x|3x1或x02解不等式：|x2|x1|1.解：令f(x)|x2|x1|.當(dāng)x2時(shí)，f(x)(x2)(1x)3，此時(shí)f(x)|x2|x1|1恒成立；當(dāng)2<x<1時(shí)，f(x)(x2)(1x)2x1，令f(x)1，即2x11，解得x0，由于2<x<1，則有2<x0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)(x2)(x1)3，此時(shí)f(x)1不成立綜上所述，不等式|x2|x1|1的解集為(，03已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：因?yàn)閨x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1. 臨門一腳1形如|xa|xb|c(c)不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法，其步驟為：(1)求零點(diǎn)；(2)劃分區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值2絕對值不等式也可用|xa1|xa2|的幾何意義求解集3應(yīng)用絕對值不等式|a|b|ab|a|b|求最值，一定要寫出等號成立的條件題型二基本不等式的應(yīng)用1已知a，b是正數(shù)，求證：a24b24.證明：因?yàn)閍，b是正數(shù)，所以a24b24ab.所以a24b24ab2 4，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，且ab時(shí)取等號即a24b24.2已知a，b，c均為正數(shù)，求證：a2b2c226.證明：法一：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立法二：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，所以a2b2c2abbcca.同理.所以a2b2c22abbcca6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號所以原不等式成立臨門一腳1基本不等式應(yīng)用于證明關(guān)鍵是和積轉(zhuǎn)化，所以進(jìn)行證明前一定要觀察不等式兩邊式子結(jié)構(gòu)的特征系數(shù)、方次2要根據(jù)條件特征選擇使用三元還是兩元的基本不等式，等號成立條件一定要寫3多次使用基本不等式時(shí)要關(guān)注多個(gè)等號成立條件是否能夠同時(shí)成立題型三柯西不等式的應(yīng)用1求函數(shù)y3sin x2的最大值解：y3sin x23sin x4，由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，當(dāng)且僅當(dāng)4sin x3|cos x|，即sin x，|cos x|時(shí)等號成立，所以ymax5.所以函數(shù)y3sin x2的最大值為5.2已知a，b，cR,4a2b22c24，求2abc的最大值解：由柯西不等式，得(2a)2b2(c)2(2abc)2.因?yàn)?a2b22c24，所以(2abc)210.所以2abc，所以2abc的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c時(shí)等號成立3設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz1，求證：xyyzzx.證明：x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz1，由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.4設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1a2a3. 求證： 1.證明：法一：因?yàn)?a1a2)(a2a3)(a3a1)339，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3時(shí)等號成立又a1a2a3.所以29，所以1.法二：由柯西不等式得9(a1a2)(a2a3)(a3a1)222()2()2()229，當(dāng)且僅當(dāng)()2()2()2，即a1a2a3時(shí)取等號，所以1.臨門一腳1二元柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dR，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號成立2三元柯西不等式可以用向量形式記憶：即|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，得k時(shí)，等號成立3利用柯西不等式來證明不等式和基本不等式一樣也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次、等號成立條件，如果不能夠直接使用，要對所給條件進(jìn)行變形后才能使用4利用柯西不等式求最值等問題， 也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次，最后一定要寫出等號成立條件.4