專項強化練(七)平面向量A組題型分類練題型一平面向量的線性運算1已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若23，則的值為_解析：由23，得22，即2，所以.答案：2在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_(用a，b表示)解析：由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab3已知RtABC的面積為2，C90，點P是RtABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則的最大值是_解析：由條件可知|4，0，因為，故979|4|9712273，當且僅當9|4|，即|，|3時等號成立答案：73臨門一腳1對相等向量、零向量、單位向量等概念的理解要到位2用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應的三角形或平行四邊形；(3)運用法則找關系；(4)化簡結(jié)果3線性運算由于基底運用難度較大，能建立坐標系的時候，建系優(yōu)先4利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點5已知 (，為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是1.題型二平面向量的坐標表示1(2019錫山中學模擬)已知向量a，b滿足a2b(3,4)，2ab(4，2)，則a2b2_.解析：得a(1,0)，b(2,2)所以a2b2|a|2|b|21(2)2229.答案：92已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實數(shù)x的值是_解析：因為u(12x,4)，v(2x,3)，uv，所以84x36x，所以x.答案：3已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c_.解析：不妨設c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，對于(ca)b，有3(1m)2(2n)對于c(ab)，有3mn0.聯(lián)立，解得m，n.故c.答案：臨門一腳1解決向量的坐標運算問題，關鍵是掌握線性運算法則及坐標運算的特點一般地，已知有向線段兩端點的坐標，應先求出向量的坐標解題時注意利用向量相等(橫、縱坐標分別相等)建立方程(組)求解2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2x2y10.題型三平面向量的數(shù)量積1已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab與a2b垂直，則實數(shù)的值為_解析：依題意，ab(31，2)，a2b(1，2)，所以(ab)(a2b)710，.答案：2已知向量與的夾角為120，且|2，|3.若，且，則實數(shù)的值為_解析：由題意得，3，由()()0，得220，即34930，故.答案：3(2019丹陽中學月考)在直角坐標系中，已知三點A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O為坐標原點若向量與在向量方向上的投影相等，且10，則ab_.解析：因為向量與在向量方向上的投影相等，所以，3ab125b，即3a4b120，又(3a，b1)，(4,5)，所以4a5b710，即4a5b170，得ab5.答案：54(2018武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB2，AD1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足|，則的最小值為_解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0x2，2y0.|，|x|y|，xy.(x，1)，(2x，y1)，x(2x)(y1)x22xy1x2x12，當x時，取得最小值，為.答案：5在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點，若，則PBC面積的最小值為_解析：由于ABAC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2xyt0，所以點P到直線BC的距離為d，BC，所以PBC的面積為，當且僅當t時取等號答案：臨門一腳1若向量a，b，c滿足abac(a0)，則不一定有bc.2兩個向量a與b的夾角為銳角(鈍角)，則有ab>0(ab<0)，反之不成立(因為夾角為0()時不成立)3在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，是求模常用的公式4數(shù)量積的運算中，ab0ab，是對非零向量而言的，若a0，雖然有ab0，但不能說ab.5平面向量的求解常見方法有定義法、坐標法、轉(zhuǎn)化法、極化恒等式法、投影法B組高考提速練1(2019鹽城中學模擬)已知向量a(1,2)，b(3，m)，若a(2ab)，則a在b方向上的投影是_解析：2ab(2,4)(3，m)(5,4m)，因為a(2ab)，所以1(4m)250，所以m6，所以b(3，6)，所以a在b方向上的投影是.答案：2.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_.解析：因為ab，又3，所以(ab)，所以b(ab)ab.答案：ab3(2019白蒲中學模擬)在平行四邊形ABCD中，若xy，則xy_.解析：在平行四邊形ABCD中，所以，所以x1，y1，則xy2.答案：24已知|a|3，|b|4，且a與b不共線，若向量akb與akb垂直，則k_.解析：因為(akb)(akb)，所以(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又因為|a|3，|b|4，所以k2，即k.答案：5(2019啟東中學模擬)已知|6，|2，AOB30，若tR，則|t|的最小值為_ .解析：|t|t()|(1t)t|，則|t|2(1t)22t222(1t)t36(1t)212t22t(1t)6212(t23t3)，當t時，|t|取得最小值3.答案：36.如圖，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，則的值為_解析：由2，得(2)又，ABAC3，cosBAC，所以 (2)()(93)2.答案：27(2019揚州中學模擬)已知在等腰直角三角形ABC中，BABC2，若2，則_.解析： 如圖，()222|cos 1354222.答案：28將向量(1,1)繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到，則_.解析：法一：(1,1)，設(x，y)，則|，|cos 601，又由向量的坐標運算可知xy1，|，化簡得x2y22，因為點B在第二象限，故x<0，所以解得故.法二：因為|，直線OB的傾斜角為6045105，故點B的橫坐標xB|cos(6045)，縱坐標yB|sin(6045)，故.答案：9若向量a(cos 15，sin 15)，b(cos 75，sin 75)，則ab與a的夾角為_解析：ab(cos 15cos 75，sin 15sin 75)(cos 15sin 15，sin 15cos 15)，則(ab)acos 15(cos 15sin 15)sin 15(cos 15sin 15)12cos 15sin 151sin 30，|ab|，cosab，a，又ab，a0，所以ab，a.答案：10.(2019江都中學模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點，且ADDM，N是線段BD上的動點，過點N作AM的垂線，垂足為H，設12，則當最小時，12的值為_解析：|cos，由圖易知向量，所成的角為鈍角，所以cos，<0，因為NHAM，所以|.當最小時，的模最大，數(shù)形結(jié)合易知點N與點D重合時，的模最大，即最小，如圖因為ADDM，DHAM，所以H是AM的中點，則()，所以12.答案：11.如圖，等邊ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上移動，M為AB的中點，則的最大值為_解析：設OBC，因為BC2，所以B(2cos ，0)，C(0,2sin )，則(2cos ，2sin )，設(x，y)，因為ABC是邊長為2的等邊三角形，所以解得即(sin cos ，cos sin )，則(sin cos ，cos sin )，因為M為AB的中點，所以sin cos ，cos sin ，所以sin 2sin 2cos2sin 2cos 2sin(2)其中cos ，sin ，所以的最大值為.答案：12已知ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，重心為G，若2sin Asin B3sin C0，則cos B_.解析：設a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，由正弦定理得2ab3c0，則2ab3c3c()，即(2a3c)(b3c)0.又，不共線，所以由此得2ab3c，所以ab，cb，于是由余弦定理得cos B.答案：13已知平面向量，滿足|1，且與的夾角為120，則|的取值范圍為_解析：法一：由|1，且與的夾角為120，作向量，則，在OAB中，OAB60，OB1，則由正弦定理，得OAsinABO，即0<|.法二：設|u，|v，由|2|()|222()()2，得v2uvu210，再由關于v的一元二次方程有解，得u24(u21)0，又u>0，故0<u，即0<|.答案：14在平面直角坐標系xOy中，設點A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)m()()對任意實數(shù)a，b，c，d都成立，則實數(shù)m的最大值是_解析：原不等式可化為(ac)2(bd)2(m2)(acbd)mbc，即a2b2c2d2m(acbdbc)0，整理成關于實數(shù)a的不等式為a2mcab2c2d2mbdmbc0恒成立，從而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0，再整理成關于實數(shù)d的不等式為d2mbdb2c2mbcm2c20，從而2m2b240，再整理成關于實數(shù)b的不等式為(4m2)b24mcb4c2m2c20，從而解得1m1，所以m的最大值是1.答案：19