專項強化練(八)不 等 式A組題型分類練題型一一元二次不等式1(2019無錫模擬)已知aZ，關(guān)于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是_解析：設(shè)f(x)x26xa，其圖象為開口向上，對稱軸是x3的拋物線，如圖所示若關(guān)于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則即解得5a8，又aZ，故a6,7,8.則所有符合條件的a的值之和是67821.答案：212已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)>3的解集為_解析：當x>0時，2x1>3，解得x>2，當x0時，x24x>3，即x24x3<0，解得3<x<1，所以所求不等式的解集為x|x>2或3<x<1答案：x|x>2或3<x<13(2018鎮(zhèn)江高三期末)已知函數(shù)f(x)x2kx4，對任意的x1,3，不等式f(x)0恒成立，則實數(shù)k的最大值為_解析：由題意得x2kx40對任意的x1,3恒成立，所以kx對任意的x1,3恒成立，因為x4(當且僅當x2時取等號)，所以k4，故實數(shù)k的最大值為4.答案：44已知函數(shù)f(x)則關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2x)的解集是_解析：由x20，得f(x2)x21，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為f(2x)<x21，則當2x0，即x2時，由(2x)1<x21，得2<x<1，所以2<x<1；當2x<0，即x>2時，由(2x)21<x21，得x.綜上得，關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2x)的解集是x|2<x<1答案：x|2<x<1臨門一腳1一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點2不等式(xa)(xb)<0(a<b)的解集是(a，b)；不等式(xa)(xb)>0(a<b)的解集是(，a)(b，)3對于含參數(shù)的不等式ax2bxc<0的求解，應(yīng)注意對參數(shù)進行分類討論，分類討論的常見情況有：(1)二次項系數(shù)的符號(包含是否為0)；(2)計算判別式，判斷對應(yīng)方程根的情況：若有兩根，則需要比較兩根的大小題型二基本不等式1若x>1，則x的最小值為_解析：由x>1，得x1>0，則xx11415.當且僅當x1，即x3時等號成立故x的最小值為5.答案：52已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時x的值為_解析：由0<x<1，故33x>0，則x(33x)3x(33x)，當且僅當3x33x，即x時等號成立答案：3已知正數(shù)a，b滿足5，則ab的最小值為_解析：因為正數(shù)a，b滿足5，所以52，可化為()2560，解得6，即ab36，當且僅當，即a2，b18時取等號即ab的最小值為36.答案：364已知正數(shù)x，y滿足x24y2x2y24xy，則的最小值為_解析：由題意得(x2y)2(x2y)20，且x>0，y>0，所以0<x2y1，所以1(x2y)332，當且僅當即時，取得最小值32.答案：325(2018南京高三模擬)若正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則的最小值為_解析：由正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，知2bac，則，令5acm,2a4cn，m>0，n>0，則a，c，故，當且僅當mn時取等號，故的最小值為.答案：臨門一腳1利用基本不等式時，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正數(shù)；“定”，即不等式另一邊為定值；“等”，即當且僅當xy時取等號2利用基本不等式時，要注意“積定和最大，和定積最小”這一口訣，并且適當運用拆、拼、湊等技巧，但應(yīng)該注意，一般不要出現(xiàn)兩次不等號，若出現(xiàn)，則要看兩次等號成立的條件是否同時成立3利用基本不等式解決二元多項式之間的大小關(guān)系，符合極值定理時，才能夠求最值4求一元函數(shù)最值時如等號取不到時，要借助函數(shù)圖象，利用函數(shù)單調(diào)性求解最值題型三簡單的線性規(guī)劃問題1已知實數(shù)x，y滿足則目標函數(shù)zxy的最小值為_解析：根據(jù)題意，畫出可行域如圖所示，易知當目標函數(shù)zxy經(jīng)過點A(1,4)時，取得最小值3.答案：32(2018南京高三模擬)若實數(shù)x，y滿足則的取值范圍為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中點A(1,2)，B(5,2)，C.表示可行域內(nèi)的點(x，y)與原點O連線的斜率連接OA，OC，則kOA2，kOC，結(jié)合圖形可知的取值范圍是.答案：3設(shè)不等式表示的平面區(qū)域為M，若直線l：ykx2上存在M內(nèi)的點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示因為直線l：ykx2的圖象過定點A(0，2)，且斜率為k，由圖知，當直線l過點B(1,3)時，k取最大值5，當直線l過點C(2,2)時，k取最小值2，故實數(shù)k的取值范圍是2,5答案：2,54已知約束條件表示的平面區(qū)域為D，若區(qū)域D內(nèi)至少有一個點在函數(shù)yex的圖象上，那么實數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意作出約束條件表示的平面區(qū)域及函數(shù)yex的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象知，當x1時，ye，把點(1，e)代入axy0，則ae.故實數(shù)a的取值范圍為e，)答案：e，)臨門一腳1簡單的線性規(guī)劃問題解題步驟：一畫二移三算四答，充分挖掘目標對象的幾何意義，通常與直線的縱截距、斜率，圓的半徑或半徑的平方有關(guān)2畫可行域要特別注意邊界能否取到，當區(qū)域不包含邊界時，取值范圍中等號取不到，如果忽視這一點，容易在等號上出錯B組高考提速練1不等式<2的解集為_解析：<2，2<0，即<0，<0等價于x(x1)0，解得x0或x1，不等式<2的解集為x|x0或x1答案：x|x0或x12(2019丹陽中學(xué)模擬)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線l：mxym10分為面積相等的兩部分，則m_.解析：由題意可畫出可行域為ABC及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，如圖所示聯(lián)立可行域邊界所在直線方程，可得A(1,1)，B，C(4,6)因為直線l：ym(x1)1過定點A(1,1)，直線l將ABC分為面積相等的兩部分，所以直線l過邊BC的中點D，易得D，代入mxym10，得m. 答案：3已知函數(shù)f(x)4x(x0，a0)在x2時取得最小值，則實數(shù)a_.解析：當x2時，函數(shù)f(x)4x有最小值，由基本不等式知取等號的條件為4x，即42，得a16.答案：164(2019金陵中學(xué)模擬)對于實數(shù)x，當且僅當nxn1(nN*)時，xn，則關(guān)于x的不等式4x236x450的解集為_解析：由4x236x450，得x，又當且僅當nxn1(nN*)時，xn，所以x2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集為2,8)答案：2,8)5若a，b均為大于1的正數(shù)，且ab100，則lg alg b的最大值為_解析：因為a>1，b>1，所以lg a>0，lg b>0.lg alg b1.當且僅當ab10時取等號，故lg alg b的最大值為1.答案：16不等式x2ax4<0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為不等式x2ax4<0的解集不是空集，所以a244>0，即a2>16.所以a>4或a<4.答案：(，4)(4，)7若關(guān)于x的不等式ax26xa2<0的解集是(1，m)，則m的值為_解析：根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax26xa20的一個根，即a2a60，解得a2或a3，當a2時，不等式ax26xa2<0的解集是(1,2)，符合要求；當a3時，不等式ax26xa2<0的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去故m2.答案：28(2019揚州中學(xué)模擬)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前n項和是Sn，若a1d1，則的最小值是_解析：由題意ana1(n1)dn，Sn，所以，當且僅當n4時取等號，所以的最小值是.答案： 9(2019南通等七市一模)在平面四邊形ABCD中，AB1，DADB，則3，2，則|2|的最小值為_解析：以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A，B.設(shè)D(0，b)，C(m，n)，則(1,0)m3，解得m，(3，n)nb2，得nb，易得2(4，n2b)，則|2|2，當且僅當n2b時取等號，故|2|的最小值為2.答案：210已知點P是ABC內(nèi)一點(不包括邊界)，且mn，m，nR，則(m2)2(n2)2 的取值范圍是_解析：因為點P是ABC內(nèi)一點(不包括邊界)，且mn，所以m，n滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示因為(m2)2(n2)2表示的是區(qū)域內(nèi)的動點(m，n)到點A(2,2)的距離的平方因為點A到直線mn1的距離為，故2(m2)2(n2)2OA2，即(m2)2(n2)2的取值范圍是.答案：11若關(guān)于x的不等式(ax1)(ln xax)0在(0，)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：(ax1)(ln xax)00或設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出它們的圖象如圖所示，由圖象可得實數(shù)a的取值范圍是e答案：e12已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項am，an使得 4a1，則的最小值為_解析：設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，由a7a62a5，得q2q20，解得q2(q1，舍去)，由4a1，即24，得2mn224，即mn6.故(mn)，當且僅當即m2，n4時等號成立，即的最小值為.答案：13(2019南師附中模擬)已知x，y滿足z2xy的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足abm，則的最小值為_解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z2xy的幾何意義為直線2xyz0在y軸上的截距，由圖可知，當直線過點M時，直線2xyz0在y軸上的截距最大，即目標函數(shù)z2xy取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值為2306，即m6，所以ab6，故(ab)，當且僅當，即b4，a2時等號成立答案：14(2019南京鹽城二模)在ABC中，若sin C2cos Acos B，則cos2Acos2B的最大值為_解析：因為sin C2cos Acos B，所以sin(AB)2cos Acos B，化簡，得tan Atan B2.cos2Acos2B，令3tan Atan Bt，因為tan Atan B21，所以t2，所以cos2Acos2B，當且僅當t2時取等號故cos2Acos2B的最大值為.答案：10