專項強化練(九)數(shù)列A組題型分類練題型一等差、等比數(shù)列的基本運算1設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a27，S77，則a7的值為_解析：因為等差數(shù)列an滿足a27，S77，所以S77a47，a41，所以d4，所以a7a25d13.答案：132(2018鹽城高三模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn2ann(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為an_.解析：Sn2ann(nN*)，當(dāng)n1時，得a11，當(dāng)n2時，Sn12an1n1，得an2an2an11(n2)，即an12(an11)(n2)，則數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an122n12n，a11符合上式所以數(shù)列an的通項公式為an12n.答案：12n3已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，若a4a，a2a4，則a5_.解析：法一：設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1(a1>0)，公比為q(q>0)，由題意解得所以a5a1q4.法二：(整體思想)依題意由得16a16a250，即(4a25)(4a21)0，又等比數(shù)列an各項均為正數(shù)，所以a2，從而a4，從而由q2，又q>0，所以q，a5a4q.答案：臨門一腳1等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題2在等差、等比混合后考查基本量的計算容易造成公式和性質(zhì)混淆，從而造成計算失誤3等差、等比數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)dam(nm)d；等比數(shù)列an的通項公式為ana1qn1amqnm(a10，q0)4等差、等比數(shù)列的前n項和：(1)等差數(shù)列的前n項和為：Snna1dn2n(二次函數(shù))特別地，當(dāng)d0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0，即可設(shè)Snan2bn(a，b為常數(shù))(2)等比數(shù)列的前n項和為：Sn特別地，若q1，設(shè)a，則Snaaqn，要注意對q是否等于1討論題型二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1(2019東臺中學(xué)模擬)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a3a6a122 019，則S13_.解析：法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a3a6a122 019，所以(a12d)(a15d)(a111d)2 019，即a16d673，所以S1313(a16d)8 749.法二：因為a3a6a122 019，所以3a72 019，所以a7673，所以S1313a78 749.答案：8 7492設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若3，則_.解析：設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，.答案：3若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.解析：因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：504已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且an>0，若a1a2a100500，則a50a51的最大值為_解析：法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，由題意得，100a14 950d500，所以a1549.5d，所以a50a51(a149d)(a150d)(50.5d)(50.5d)0.25d225.又d0，所以當(dāng)d0時，a50a51有最大值25.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，50(a50a51)500，即a50a5110，所以由基本不等式得a50a51225，當(dāng)且僅當(dāng)a50a515時取等號，所以a50a51有最大值25.答案：255已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，若，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是_解析：由7.因此nN*，N*，故n12,3,4,6,12，即n共有5個答案：5臨門一腳1若序號mnpq，在等差數(shù)列中，則有amanapaq；特別的，若序號mn2p，則aman2ap；在等比數(shù)列中，則有amanapaq；特別的，若序號mn2p，則amana；該性質(zhì)還可以運用于更多項之間的關(guān)系2在等差數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，其公差為kd；其中Sn為前n項的和，且Sn0(nN*)；在等比數(shù)列an中，當(dāng)q1或k不為偶數(shù)時Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其中Sn為前n項的和(nN*)題型三數(shù)列的綜合問題1已知等比數(shù)列an的前4項和為5，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列，若bn，則數(shù)列bnbn1的前10項和為_解析：由4a1，a2，a2成等差數(shù)列，可得4a1a23a2，則2a1a2，則等比數(shù)列an的公比q2，則數(shù)列an的前4項和為5，解得a1，所以an2n1，bn，則bnbn1，其前10項和為.答案：2(2019蘇州中學(xué)模擬)對于無窮數(shù)列an與bn，記Ax|xan，nN*，Bx|xbn，nN*，若滿足條件AB且ABN*，則稱數(shù)列an與bn是無窮互補數(shù)列已知數(shù)列an滿足a13，且對任意的i，jN*，都有aijaiaj，數(shù)列bn滿足對任意的nN*，都有bn<bn1.若數(shù)列an與bn是無窮互補數(shù)列，則b2 020_.解析：在數(shù)列an中，對任意的i，jN*，都有aijaiaj，令in，j1，則an1a1an.因為a13，所以an13an，所以數(shù)列an是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以an3n.因為36729<2 020,372 187>2 020，所以小于等于2 020的正整數(shù)中有6個是數(shù)列an中的項，所以由無窮互補數(shù)列的定義可知b2 0202 02062 026.答案：2 0263(2018南京四校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和Sn8nn2，令bnanan1an2(nN*)，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，當(dāng)Tn取得最大值時，n_.解析：法一：當(dāng)n1時，a17；當(dāng)n2時，anSnSn192n，經(jīng)檢驗，n1時也符合，故an92n，則bnanan1an2(92n)(72n)(52n)，當(dāng)Tn取得最大值時，應(yīng)滿足bn的前n項均為非負(fù)項令bn0得，n2.5或3.5n4.5，又nN*，所以n1,2,4，而T1105，T2120，T4120，故當(dāng)Tn取得最大值時，n2或4.法二：由Sn8nn2知，數(shù)列an為等差數(shù)列，且an92n，即7,5,3,1，1，3，5，7，枚舉知，T1105，T2120，T3117，T4120，T5105，故當(dāng)Tn取得最大值時，n2或4.答案：2或44在等差數(shù)列an中，首項a13，公差d2，若某學(xué)生對其中連續(xù)10項進行求和，在漏掉一項的前提下，求得余下9項的和為185，則此連續(xù)10項的和為_解析：由已知條件可得數(shù)列an的通項公式an2n1，設(shè)連續(xù)10項為ai1，ai2，ai3，ai10，iN，設(shè)漏掉的一項為aik,1k10，由aik185，得(2i32i21)52i2k1185，即18i2k66，即9ik33，所以349ik3343,3<i<5，所以i4，此時，由3633k得k3，所以aika715，故此連續(xù)10項的和為200.答案：200臨門一腳1數(shù)列求和的方法主要有錯位相減法、倒序相加法、公式法、拆項并項法、裂項相消法等2根據(jù)遞推關(guān)系式求通項公式的方法有累加法，累積法，待定系數(shù)法，取倒數(shù)、取對數(shù)等3數(shù)列單調(diào)性可以用定義研究，也可以構(gòu)造函數(shù)進行研究，要注意數(shù)列和所構(gòu)造函數(shù)的定義域的差別B組高考提速練1設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a21，a45，則S5_.解析：法一：由等差數(shù)列的通項公式，得512d，則d2，a11，S55(1)215.法二：S515.答案：152(2019連云港模擬)已知數(shù)列an中，a1a，a22a，an2an2，若數(shù)列an單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由an2an2可知數(shù)列an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別遞增，若數(shù)列an單調(diào)遞增，則必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故實數(shù)a的取值范圍為(0,1)答案：(0,1)3在等比數(shù)列an中，若a11，a3a54(a41)，則a7_.解析：法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a11，a3a54(a41)，所以q2q44(q31)，即q64q340，q32，所以a7q64.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 由a3a54(a41)得a4(a41)，即a4a440，所以a42，因為a11，所以q32，a7q64.答案：44記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.答案：45已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q3，S3S4，則a3_.解析：因為等比數(shù)列an的公比q3，所以S3S42S3a42a33a3a3，所以a33.答案：36設(shè)公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若S3a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，由S3a得3a2a，解得a20或a23.又由S1，S2，S4成等比數(shù)列可得SS1S4.若a20，則S1S2a10，S2S4a1，a2a3a43a30，a30，則d0，故a20舍去；若a23，則S13d，S26d，S4122d，有(6d)2(3d)(122d)(d0)，得d2，此時a10a28d19.答案：197在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an的前n項和，若Sn取得最大值，則n_.解析：因為3a47a7，所以3(a13d)7(a16d)，所以a1d>0，所以d<0，所以ana1(n1)d(4n37)，當(dāng)n9時，an>0，當(dāng)n10時，an<0，所以使Sn取得最大值的n9.答案：98我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈_盞解析：每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13.答案：39(2019泰州中學(xué)模擬)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a12 014，6，則S2 019_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列設(shè)其公差為d，則6d6，d1.故2 018d2 0142 0184，S 2 01942 0198 076.答案：8 07610設(shè)數(shù)列滿足a11，(1an1)(1an)1(nN*)，則(akak1)的值為_解析：因為(1an1)(1an)1，所以anan1anan10，從而1，1，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以1n1n，所以an，故anan1，因此(akak1)1.答案：11已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若存在mN*，滿足9，則數(shù)列an的公比為_解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，若q1，則2，與題中條件矛盾，故q1.因為qm19，所以qm8.所以qm8，所以m3，所以q38，所以q2.答案：212(2019金陵中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，2 010.若SmSpSr504(正整數(shù)m，p，r互不相等)，對于滿足條件的m，p，r，mpr的值構(gòu)成的集合為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，a1d.因為2 010，所以1 005d2 010，所以d2，所以an2n1，Snn2.因為SmSpSr504為偶數(shù)，所以m，p，r中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)或m，p，r均為偶數(shù)若m，p，r中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，不妨設(shè)m2x1，p2y1，r2z，其中x，yN，zN*，則(2x1)2(2y1)24z2504，所以2(x2xy2yz2)251，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾若m，p，r均為偶數(shù)，不妨設(shè)m2m1，p2p1，r2r1，其中m1，p1，r1N*，則mpr126，繼續(xù)奇偶分析知m1，p1，r1中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)或m1，p1，r1均為偶數(shù)易得當(dāng)m1，p1，r1均為偶數(shù)時，不成立當(dāng)m1，p1，r1中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)時，不妨設(shè)m12m21，p12p21，r12r2，其中m2，p2N，r2N*，則mm2pp2r31，因為m2(m21)p2(p21)為偶數(shù)，所以r2為奇數(shù)，且r2的所有可能取值為1,3,5.不妨設(shè)0m2<p2，當(dāng)r21時，mm2pp230，得m20，p25；當(dāng)r23時，mm2pp222，得m21，p24；當(dāng)r25時，mm2pp26，得m20，p22.綜上所述，S2S4S22504，S6S12S18504，S2S10S20504.所以對于滿足條件的m，p，r，mpr的值構(gòu)成的集合為28,32,36答案：28,32,3613設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，an>0，若S62S35，則S9S6的最小值為_解析：法一：當(dāng)q1時，S62S30，不合題意，所以q1，從而由S62S35得5，從而得<0，故1q<0，即q>1，故S9S6(q6q9)，令q31t>0，則S9S6520，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即q32時等號成立法二：因為S6S3(1q3)，所以由S62S35得S3>0，從而q>1，故S9S6S3(q6q31)S3(q31)S3q6，以下同法一答案：2014已知數(shù)列bn的每一項都是正整數(shù)，且b15，b27<b3，數(shù)列an是公差為d(dN*)的等差數(shù)列，且有a76，則使得數(shù)列abn是等比數(shù)列的d的值為_解析：法一：ab1a562d，ab2a76，易知d3，等比數(shù)列abn的公比q，abn(62d)n1，又abn6(bn7)d，所以6(bn7)d(62d)n1，所以6(b37)d(62d)2，即6(b37)d，由b3>7，得3d>0，由dN*得d1或2，當(dāng)d1時，bn4n11，不合題意，當(dāng)d2時，bn3n14，符合題意，所以所求d的值為2.法二：由數(shù)列abn是等比數(shù)列得ab1ab3a2b2，而abna7(bn7)d，所以，由b15，b27得，(62d)6(b37)d36，易知d3，解得b37>0，由dN*得，d1或2，當(dāng)d1時，bn4n11，不合題意，當(dāng)d2時，bn3n14，符合題意，所以所求d的值為2.答案：29