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1、三角形與全等三角形自學 附習題及答案 考點一：三角形三邊關系 例1 下列各組數可能是一個三角形的邊長的是（　?。? A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11 思路分析：看哪個選項中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可． 解：A、因為1+2＜4，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤； B、因為4+5=9，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤； C、因為9-4＜5＜8+4，所以本組數可以構成三角形．故本選項正確； D、因為5+5＜11，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤； 故選C． 點評：本題主要考查了三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第

2、三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構成三角形． 對應訓練 1．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 考點二：三角形內角、外角的應用 例2 如圖，一副分別含有30和45角的兩個直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90，∠B=45，∠E=30，則∠BFD的度數是（　　） A．15 B．25 C．30 D．10 思路分析：先由三角形外角的性質求出∠BDF的度數，根據三角形內角和定理即可得出結論． 解：∵Rt△CDE中，∠C=90，∠E=30， ∴∠BDF=∠C+∠E=90+30=120， ∵△BDF中，∠

3、B=45，∠BDF=120， ∴∠BFD=180-45-120=15． 故選A． 點評：本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵． 對應訓練 2．一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數是（　?。? A．165 B．120 C．150 D．135 考點三：三角形全等的判定和性質 例3 如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明． 思路分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇

4、一組證明即可． 解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM． 選擇△AEM≌△ACN， 理由如下： ∵△ADE≌△ABC， ∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB， ∴∠EAM=∠CAN， ∵在△AEM和△ACN中， ， ∴△AEM≌△CAN（ASA）． 點評：本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角． 例4 如圖：已知D、E分別在AB、AC上

5、，AB=AC，∠B=∠C，求證：BE=CD． 思路分析：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應相等，觀察圖形可得出一對公共角，進而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應邊相等可得證． 證明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴BE=CD（全等三角形的對應邊相等）． 點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角等隱含條件的運用． 對

6、應訓練 3．如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并說明理由． 4．如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE． 考點四：全等三角形開放性問題 例5 如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）． （1）你添加的條件是 ∠C=∠E ． （2）添加條件后，請說明△ABC≌△ADE的理由． 思路分析：（1）可以根據全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；

7、 （2）根據全等三角形的判定方法證明即可． 解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A， ∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E， 若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE， 若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC， 綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）； 故答案為：∠C=∠E； （2）選∠C=∠E為條件． 理由如下：在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 點評：本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的

8、條件也不相同． 對應訓練 5．（2013?昭通）如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF． 【聚焦中考】 1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經過點D．已知∠A=∠EDF=90，AB=AC．∠E=30，∠BCE=40，則∠CDF= 25 ． 2．（2013?菏澤）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結AE、DE、DC． （1）求證：△ABE≌△CBD； （2）若∠CAE=30，求∠

9、BDC的度數． 3．（2013?臨沂）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF． 求證：AF=DC； 4．（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成

10、立，請說明理由． （3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【真題過關】 一、選擇題 1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20，∠B=60，則△ABC的形狀是（　　） A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 2．（2013?宜昌）下列每組數分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　?。? A．1，2，6 B．2，2，4 C．

11、1，2，3 D．2，3，4 3．（2013?衡陽）如圖，∠1=100，∠C=70，則∠A的大小是（　?。? A．10 B．20 C．30 D．80 4．（2013?河北）如圖1，M是鐵絲AD的中點，將該鐵絲首尾相接折成△ABC，且∠B=30，∠C=100，如圖2．則下列說法正確的是（　?。? A．點M在AB上 B．點M在BC的中點處 C．點M在BC上，且距點B較近，距點C較遠 D．點M在BC上，且距點C較近，距點B較遠 5．（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（　　） A

12、．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 6．（2013?臺州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周長相等，現有兩個判斷： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2， 對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（　　） A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①，②都錯誤 D．①，②都正確 7．（2013?河北）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50，則∠1+∠2=（　　

13、） A．90 B．100 C．130 D．180 8．（2013?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有（　?。? A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 二、填空題 9．（2013?黔東南州）在△ABC中，三個內角∠A、∠B、∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B= 60 度． 10．（2013?柳州）如圖，△ABC≌△DEF，請根據圖中提供的信息，寫出x= 20 ． 11．（2013?巴中）如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF

14、，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 CA=FD ．（只需寫出一個） 12．（2013?郴州）如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只寫一個條件即可）． 13．（2013?達州）如圖，在△ABC中，∠A=m，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點A2013，則∠A2013=

15、 度． 三、解答題 14．（2013?玉林）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D． 求證：△ABC≌△AED． 15．（2013?湛江）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF． 16．（2013?佛山）課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需要通過推理的方法證實． （1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS； （2）證明推論AAS． 要求：敘述推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據． 17．（2013?隨州

16、）如圖，點F、B、E、C在同一直線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明． 提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF． 18．（2013?內江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90，D為AB邊上一點．求證：BD=AE． 19．（2013?舟山）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：△ABE≌DCE； （2）當∠

17、AEB=50，求∠EBC的度數？ 20．（2013?荊門）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上． （1）求證：BE=CE； （2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF． 能力拓展： 如圖（1）所示，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形． 請你參考這個作全等三角形方法，解答下列問題： （1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，AC、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線交于F

18、，試判斷FE與FD之間的數量關系． （2）如圖（3），在△ABC中，若∠ACB≠90，而（1）中其他條件不變，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由． 三角形與全等三角形 1．B 2．A 3．解：△ACE≌△BCD． ∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD=∠ACB=90， ∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角）， 在△ACE和△BCD中， ∵， ∴△ACE≌△BCD． 4．證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD與△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS

19、）， ∴AD=AE． 5．BC=EF 【聚焦中考】 1．25 2． （1）證明：∵∠ABC=90，D為AB延長線上一點， ∴∠ABE=∠CBD=90， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵AB=CB，∠ABC=90， ∴∠CAB=45， ∵∠CAE=30， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45-30=15， ∵△ABE≌△CBD， ∴∠BCD=∠BAE=15， ∴∠BDC=90-∠BCD=90-15=75； 3． 證明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線， ∴AE

20、=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中 ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∴AF=DC． 4．證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180-α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和

21、△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（sas）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 【真題過關】 一、選擇題 1

22、．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空題 9．60 10．20 11．CA=FD 12．∠B=∠C（答案不唯一） 13． 三、解答題 14．證明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD， ∵在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）． 15．證明：∵FB=CE， ∴FB+FC=CE+FC， ∴BC=EF， ∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE， ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴A

23、C=DF． 16．解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等． （2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF． 求證：△ABC≌△DEF． 證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知）， ∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）． 又∵∠A+∠B+∠C=180，∠D+∠E+∠F=180（三角形內角和定理）， ∴∠B=∠E． ∵在△ABC與△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 17．解：不能； 選擇條件：①AB=DE； ∵BF=CE， ∴BF+BE=CE

24、+BE， 即EF=CB， 在△ABC和△DFE中，， ∴△ABC≌△DFE（SAS）． 18．證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD=∠DCE=90， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE． 19．（1）證明：∵在△ABE和△DCE中 ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50， ∴∠EBC=

25、25． 20．證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45，BF⊥AF， ∴△ABF為等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，點D是BC的中點， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ∴△AEF≌△BCF（ASA）． 能力拓展 （1）FE=FD （2）（1）中的結論FE=FD仍然成立． 在AC上截取AG=AE，連結FG． 證△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，FE=FG． 由∠B=60，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線 得∠DAC+∠ECA=60． 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60，所以∠CFG=60． 由∠BCE=∠ACE及FC為公共邊． 可證△CFG≌△CFD， 所以FG=FD，所以FE=FD．