三角形與全等三角形自學(xué) 附習(xí)題及答案考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系例1 下列各組數(shù)可能是一個三角形的邊長的是（）A1，2，4B4，5，9C4，6，8D5，5，11思路分析：看哪個選項(xiàng)中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可解：A、因?yàn)?+24，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯誤；B、因?yàn)?+5=9，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯誤；C、因?yàn)?-458+4，所以本組數(shù)可以構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)正確；D、因?yàn)?+511，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯誤；故選C點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構(gòu)成三角形對應(yīng)訓(xùn)練1如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（）A2B4C6D8考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角、外角的應(yīng)用例2 如圖，一副分別含有30和45角的兩個直角三角板，拼成如下圖形，其中C=90，B=45，E=30，則BFD的度數(shù)是（）A15B25C30D10思路分析：先由三角形外角的性質(zhì)求出BDF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論解：RtCDE中，C=90，E=30，BDF=C+E=90+30=120，BDF中，B=45，BDF=120，BFD=180-45-120=15故選A點(diǎn)評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則的度數(shù)是（）A165B120C150D135考點(diǎn)三：三角形全等的判定和性質(zhì)例3 如圖，已知ABCADE，AB與ED交于點(diǎn)M，BC與ED，AD分別交于點(diǎn)F，N請寫出圖中兩對全等三角形（ABCADE除外），并選擇其中的一對加以證明思路分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇一組證明即可解：AEMACN，BMFDNF，ABNADM選擇AEMACN，理由如下：ADEABC，AE=AC，E=C，EAD=CAB，EAM=CAN，在AEM和ACN中，AEMCAN（ASA）點(diǎn)評：本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角例4 如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB=AC，B=C，求證：BE=CD思路分析：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對公共角，進(jìn)而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得證證明：在ABE和ACD中，ABEACD（AAS），BE=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角等隱含條件的運(yùn)用對應(yīng)訓(xùn)練3如圖，ABC與CDE均是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D在AB上，連結(jié)BE請找出一對全等三角形，并說明理由4如圖，點(diǎn)D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE考點(diǎn)四：全等三角形開放性問題例5 如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB=AD請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使ABCADE（只能添加一個）（1）你添加的條件是 C=E（2）添加條件后，請說明ABCADE的理由思路分析：（1）可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；（2）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解：（1）AB=AD，A=A，若利用“AAS”，可以添加C=E，若利用“ASA”，可以添加ABC=ADE，或EBC=CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為C=E（或ABC=ADE或EBC=CDE或AC=AE或BE=DC）；故答案為：C=E；（2）選C=E為條件理由如下：在ABC和ADE中，ABCADE（AAS）點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相同對應(yīng)訓(xùn)練5（2013昭通）如圖，AF=DC，BCEF，只需補(bǔ)充一個條件 BC=EF，就得ABCDEF【聚焦中考】1（2013威海）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D已知A=EDF=90，AB=ACE=30，BCE=40，則CDF= 252（2013菏澤）如圖，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC（1）求證：ABECBD；（2）若CAE=30，求BDC的度數(shù)3（2013臨沂）如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF求證：AF=DC；4（2013東營）（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀【真題過關(guān)】一、選擇題1（2013泉州）在ABC中，A=20，B=60，則ABC的形狀是（）A等邊三角形B銳角三角形C直角三角形D鈍角三角形2（2013宜昌）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（）A1，2，6B2，2，4C1，2，3D2，3，43（2013衡陽）如圖，1=100，C=70，則A的大小是（）A10B20C30D804（2013河北）如圖1，M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成ABC，且B=30，C=100，如圖2則下列說法正確的是（）A點(diǎn)M在AB上B點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處C點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)D點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn)5（2013鐵嶺）如圖，在ABC和DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使ABCDEC，不能添加的一組條件是（）ABC=EC，B=EBBC=EC，AC=DCCBC=DC，A=DDB=E，A=D6（2013臺州）已知A1B1C1A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，則A1B1C1A2B2C2，對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（）A正確，錯誤B錯誤，正確C，都錯誤D，都正確7（2013河北）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若3=50，則1+2=（）A90B100C130D1808（2013陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（）A1對B2對C3對D4對二、填空題9（2013黔東南州）在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C滿足B-A=C-B，則B= 60度10（2013柳州）如圖，ABCDEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x= 2011（2013巴中）如圖，已知點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，1=2，BC=EF，要使ABCDEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 CA=FD（只需寫出一個）12（2013郴州）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使ABEACD，需添加的一個條件是 B=C（答案不唯一）（只寫一個條件即可）13（2013達(dá)州）如圖，在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得A1；A1BC和A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則A2013= 度 三、解答題14（2013玉林）如圖，AB=AE，1=2，C=D求證：ABCAED15（2013湛江）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF16（2013佛山）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需要通過推理的方法證實(shí)（1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS；（2）證明推論AAS要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號表達(dá)已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù)17（2013隨州）如圖，點(diǎn)F、B、E、C在同一直線上，并且BF=CE，ABC=DEF能否由上面的已知條件證明ABCDEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使ABCDEF，并給出證明提供的三個條件是：AB=DE；AC=DF；ACDF18（2013內(nèi)江）已知，如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90，D為AB邊上一點(diǎn)求證：BD=AE19（2013舟山）如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50，求EBC的度數(shù)？20（2013荊門）如圖1，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上（1）求證：BE=CE；（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BFAC，垂足為F，BAC=45，原題設(shè)其它條件不變求證：AEFBCF能力拓展：如圖（1）所示，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形 請你參考這個作全等三角形方法，解答下列問題： （1）如圖（2），在ABC中，ACB=90，B=60，AC、CE分別是BAC，BCA的平分線交于F，試判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系 （2）如圖（3），在ABC中，若ACB90，而（1）中其他條件不變，請問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由 三角形與全等三角形1B2A3解：ACEBCDABC和ECD都是等腰直角三角形，ECD=ACB=90，ACE=BCD（都是ACD的余角），在ACE和BCD中，ACEBCD4證明：AB=AC，B=C，在ABD與ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE5BC=EF【聚焦中考】1252 （1）證明：ABC=90，D為AB延長線上一點(diǎn)，ABE=CBD=90，在ABE和CBD中，ABECBD（SAS）；（2）解：AB=CB，ABC=90，CAB=45，CAE=30，BAE=CAB-CAE=45-30=15，ABECBD，BCD=BAE=15，BDC=90-BCD=90-15=75；3 證明：AFBC，AFE=DBE，E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，AE=DE，BD=CD，在AFE和DBE中AFEDBE（AAS），AF=BD，AF=DC 4證明：（1）BD直線m，CE直線m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均為等邊三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（sas），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF為等邊三角形【真題過關(guān)】一、選擇題1D2D3C4C5C6A7B8C二、填空題960102011CA=FD12B=C（答案不唯一）13三、解答題14證明：1=2，1+EAC=2+EAC，即BAC=EAD，在ABC和AED中，ABCAED（AAS）15證明：FB=CE，F(xiàn)B+FC=CE+FC，BC=EF，ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AC=DF16解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（2）已知：在ABC與DEF中，A=D，C=F，BC=EF求證：ABCDEF證明：如圖，在ABC與DEF中，A=D，C=F（已知），A+C=D+F（等量代換）又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形內(nèi)角和定理），B=E在ABC與DEF中，ABCDEF（ASA）17解：不能；選擇條件：AB=DE；BF=CE，BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在ABC和DFE中，ABCDFE（SAS）18證明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACD=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），BD=AE19（1）證明：在ABE和DCE中，ABEDCE（AAS）；（2）解：ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=2520證明：（1）AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，BAE=EAC，在ABE和ACE中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45，BFAF，ABF為等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，EAF+C=90，BFAC，CBF+C=90，EAF=CBF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）能力拓展（1）FE=FD （2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立 在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG 證AEFAGF得AFE=AFG，F(xiàn)E=FG 由B=60，AD、CE分別是BAC，BCA的平分線 得DAC+ECA=60 所以AFE=CFD=AFG=60，所以CFG=60 由BCE=ACE及FC為公共邊 可證CFGCFD， 所以FG=FD，所以FE=FD