第17課時(shí) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),12015·蘭州下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是( ) 2在下列二次函數(shù)中，其圖象對(duì)稱軸為x2的是 ( ) Ay(x2)2 By2x22 Cy2x22 Dy2(x2)2,小題熱身,C,A,3對(duì)于二次函數(shù)y2(x1)(x3)，下列說法正確的是( ) A圖象的開口向下 B當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小 C當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小 D圖象的對(duì)稱軸是直線x1 4在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線yx24先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為( ) Ay(x2)22 By(x2)22 Cy(x2)22 Dy(x2)22,C,B,Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2,B,一、必知5 知識(shí)點(diǎn) 1二次函數(shù)的概念 定義：一般地，形如_(a，b，c是常數(shù)，a0)的函數(shù)叫二次函數(shù),考點(diǎn)管理,【智慧錦囊】 二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征是：等號(hào)左邊是函 數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次整式，x的最高次數(shù)是2； 二次項(xiàng)系數(shù)a0.,yax2bxc,用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)yax2bxc的步驟： (1)用配方法化成_的形式； (2)確定圖象的開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (3)在對(duì)稱軸兩側(cè)利用對(duì)稱性描點(diǎn)畫圖,ya(xm)2k(a0),【智慧錦囊】 (1)|a|的大小決定拋物線的開口大小|a|越大，拋物線的開口越 小，|a|越小，拋物線的開口越大； (2)畫拋物線yax2bxc的草圖，要確定五點(diǎn)：開口方 向；對(duì)稱軸；頂點(diǎn)；與y軸交點(diǎn)；與x軸交點(diǎn),3二次函數(shù)的性質(zhì),4二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)yax2bxc與一元二次方程ax2bxc0有著密切的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式b24ac的符號(hào)判定 (1)有兩個(gè)交點(diǎn)_ (2)有一個(gè)交點(diǎn)_ (3)沒有交點(diǎn)_,b24ac0,方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,b24ac0,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,b24ac0,方程沒有實(shí)數(shù)根,5二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線yax2bxc(a0)用配方法化成_的形式，而任意拋物線_均可由yax2平移得到，具體平移方法如下：,ya(xm)2k(a0),ya(xm)2k(a0),二、必會(huì)2 方法 1用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法 (1)設(shè)一般式_： 若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為yax2bxc，將已知條件代入，求出a，b，c的值 (2)設(shè)頂點(diǎn)式_： 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值(最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為_，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式,yax2bxc(a0),ya(xm)2k,ya(xm)2k,(3)設(shè)兩根式_： 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為ya(xx1)(xx2)，將第三點(diǎn)(m，n)的坐標(biāo)(其中m，n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般形式 2數(shù)形結(jié)合思想 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合最好的體現(xiàn)，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象特征與a，b，c及判別式b24ac的符號(hào)之間的關(guān)系如下：,ya(xx1)(xx2)(a0),特殊值：當(dāng)x1，yabc；當(dāng)x1時(shí)，yabc.若abc0，即x1時(shí)，y0.若abc0，即x1時(shí)，y0.,三、必明3 易錯(cuò)點(diǎn) 1注意二次函數(shù)ya(xm)2k的圖形平移，一般按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”即“左加右減，上加下減”，容易出現(xiàn)移動(dòng)方向弄反 2求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是令y0解關(guān)于x的方程；求函數(shù)與y軸交點(diǎn)的方法是令x0得y值，容易出現(xiàn)求與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，令x0，求與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，令y0的錯(cuò)誤,3根據(jù)a，b，c確定函數(shù)的大致圖象易錯(cuò)點(diǎn)： (1)c的大小決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，c0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)，c0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸，c0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),類型之一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2014·濱州已知二次函數(shù)yx24x3. (1)用配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減情況； (2)求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及ABC的面積 解：(1)yx24x3x24x41(x2)21， 函數(shù)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，1)， 當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而增大；,12015·樂山二次函數(shù)yx22x4的最大值為( ) A3 B4 C5 D6 【解析】 y(x1)25， a10， 當(dāng)x1時(shí)，y有最大值，最大值為5.,C,C,32015·紹興如果拋物線yax2bxc過定點(diǎn)M(1，1)，則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線 (1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式小敏寫出了一個(gè)答案y2x23x4，請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案； (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線yx22bxc1，求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式，請(qǐng)你解答,解：(1)依題意，選擇點(diǎn)(1，1)作為拋物線的頂點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)是1， 根據(jù)頂點(diǎn)式得yx22x2； (2)定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b，cb21)，且12bc11， c12b， 頂點(diǎn)縱坐標(biāo)cb2122bb2(b1)21， 當(dāng)b1時(shí)，cb21最小，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小，此時(shí)c1， 拋物線的解析式為yx22x.,【點(diǎn)悟】 (1)從函數(shù)圖象上可知二次函數(shù)圖象的以下特征：開口方向；對(duì)稱軸；頂點(diǎn)坐標(biāo)；與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(2)求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法：配方法；頂點(diǎn)公式法,類型之二 二次函數(shù)的平移 2015·成都將拋物線yx2向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為( ) Ay(x2)23 By(x2)23 Cy(x2)23 Dy(x2)23 【解析】 拋物線yx2平移后的拋物線解析式為y(x2)23.,A,12014·麗水在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)y2x24x3的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A(3，6) B(1，4) C(1，6) D(3，4) 【解析】 函數(shù)y2x24x3的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到圖象y2(x2)24(x2)31，即y2(x1)26，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，6),C,2拋物線yx2bxc圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為yx22x3，則b，c的值為 ( ) Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2 【解析】 先配方為y(x1)24，逆向思考把y(x1)24先左移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位得到解析式為y(x12)243(x1)21，化為一般式是yx22x，故選擇B.,B,【點(diǎn)悟】 (1)二次函數(shù)圖象的平移實(shí)際上就是頂點(diǎn)位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出平移后二次函數(shù)的解析式(2)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減,類型之三 二次函數(shù)的解析式的求法 2014·寧波如圖171，已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象過A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三點(diǎn) (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線yx1，并寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值,圖171,2015·遵義如圖172，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(4，0)，B(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2) (1)求拋物線的解析式； (2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積 圖172,變式跟進(jìn)答圖,【點(diǎn)悟】 (1)當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式時(shí)，一 般采用一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)； (2)當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸或最大、最小值)求解析式 時(shí)，一般采用頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xm)2k；(3)當(dāng)已知拋物線與x軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用兩根式 ya(xx1)(xx2),類型之四 二次函數(shù)與方程的關(guān)系 2015·寧波已知拋物線y(xm)2(xm)，其中m是常數(shù) (1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；,12015·蘇州若二次函數(shù)yx2bx的圖象的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(2，0)且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2bx5的解為 ( ) Ax10，x24 Bx11，x25 Cx11，x25 Dx11，x25,D,D,32015·瀘州若二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，且其對(duì)稱軸為x1，則使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍是 ( ) Ax4或x2 B4x2 Cx4或x2 D4x2 【解析】 二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，且其對(duì)稱軸為x1， 二次函數(shù)的圖象與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為(4，0)， a0，拋物線開口向下， 則使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍是4x2.,D,類型之五 二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c之間的關(guān)系 2015·遂寧二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖173所示，下列結(jié)論： 2ab0，abc0，b24ac0， abc0，4a2bc0， 其中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A2 B3 C4 D5,圖173,B,對(duì)于，易得a0，對(duì)稱軸在y軸的右邊，故b0，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方，則c0，所以abc0，故錯(cuò)誤； 對(duì)于，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b24ac0，故正 確； 對(duì)于，當(dāng)x1時(shí)，顯然y的值為正，所以yabc0， 故錯(cuò)誤； 對(duì)于，當(dāng)x2時(shí)，顯然y的值為負(fù)， 所以y4a2bc0，故正確,12015·涼山二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖174所示，下列說法：2ab0；當(dāng)1x3時(shí)，y0；若(x1，y1)，(x2，y2)在函數(shù)圖象上，當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2；9a3bc0.其中正確的是( ) A B C D,圖174,B,22015·珠海已知拋物線yax2bx3的對(duì)稱軸是直線x1. (1)求證：2ab0； (2)若關(guān)于x的方程ax2bx80的一個(gè)根為4，求方程的另一個(gè)根,【點(diǎn)悟】 二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向，與x軸有無交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)及對(duì)稱軸的位置入手，確定a，b，c及b24ac的符號(hào)，有時(shí)也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號(hào),類型之六 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用 2015·武威如圖175，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M. (1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸； (2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P， 使PAB的周長最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 【解析】 (1)利用兩根式法設(shè)拋物線的 解析式為ya(x1)(x5)，代入A(0，4)；,圖175,(2)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，4)，連結(jié)BA交對(duì)稱 軸于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)PAB的周長最小，可求出直線BA 的解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),(2)P點(diǎn)存在理由如下： 點(diǎn)A(0，4)，拋物線的對(duì)稱軸是x3， 點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，4)， 例6答圖 如答圖，連結(jié)BA交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)PAB的周 長最小,如圖176，二次函數(shù)yx22xm的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C. (1)求m的值； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x，y) (其中x0，y0)，使SABDSABC， 求點(diǎn)D的坐標(biāo),圖176,【解析】 (1)將A(3，0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式 yx22xm；(2)令y0，解一元二次方程； (3)由于SABDSABC，則C，D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱 解：(1)將A(3，0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式， 得322×3m0，解得m3； (2)二次函數(shù)解析式為yx22x3， 令y0， 得x22x30，解得x3或x1， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)；,(3)SABDSABC，點(diǎn)D在第一象限， 點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等， 點(diǎn)C，D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱 由二次函數(shù)解析式可得其對(duì)稱軸為x1， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3),二次函數(shù)圖象平移方向弄反 (臨沂中考)要將拋物線yx22x3平移后得到拋物線yx2， 下列平移方法正確的是 ( ) A向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 B向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 C向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 【錯(cuò)解】錯(cuò)成A或B或者C,【錯(cuò)因】yx22x3(x1)22，又yx2(x11)222，要得到拋物線yx2則平移的方法可以是：將拋物線yx22x3向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位錯(cuò)解中把左右，上下平移方向弄反了 【正解】D,