數(shù)學(xué)推理與證明M1合情推理與演 推理16， 2014 福建卷 已知集合2； c0 有且只有一個正確， a， b， c 0 ， 1，2 ，且下列三個關(guān)系：100a 10bc 等于 _a 2； b16 201解析 (i)若正確， 不正確，由不正確得c 0，由正確得a1，所以b 2，與不正確矛盾，故不正確(ii) 若正確， 不正確，由不正確得a 2，與正確矛盾，故不正確(iii) 若正確， 不正確， 由不正確得 a 2，由不正確及正確得 b 0，c 1，故正確則 100a 10b c 100 2 10 0 1 201.142014 全國新 卷 甲、乙、丙三位同學(xué)被 到是否去 A，B，C 三個城市 ，甲 ：我去 的城市比乙多，但沒去 B 城市乙 ：我沒去 C 城市丙 ：我 三人去 同一城市由此可判斷乙去 的城市 _14 A 解析 由甲沒去 B 城市，乙沒去 C 城市，而三人去 同一城市，可知三人去 城市 A，又由甲最多去 兩個城市，且去 的城市比乙多，故乙只去 A 城市x， x 0，若 f114 2014 西卷陜 已知 f(x) 1 x(x) f(x)， fn 1(x) f( fn(x) ， n N， f2014(x)的表達(dá)式 _14.x解析 由 意，得 f 1x，12014x(x) f(x)1xxf2(x)1 xxx，x， f3(x)1 2x1 3x11 x由此 推理可得f2014(x)x.12014xM2直接 明與 接 明21、 2014 湖南卷 已知函數(shù) f(x)xcos x sin x 1(x 0)(1)求 f(x)的 區(qū) ；(2)記 xi 為 f(x)的從小到大的第 i(i N * )個零點， 明： 一切 n N*，有 121212x1x2xn23.21 解：(1)f(x)cos x xsin x cos x xsin x.令 f(x) 0，得 x k (k N* )當(dāng) x (2k， (2k 1) )(k N) ， sin x>0，此 f (x)<0;當(dāng) x (2k 1)， (2k 2) )(k N ) ， sin x<0，此 f(x)>0.故 f(x) 的 減區(qū) (2k， (2k1) )( k N)， 增區(qū) (2k 1)， (2k 2) )( kN ) 0，故 x1.(2)由 (1) 知， f(x)在區(qū) (0， )上 減又 f22當(dāng) nN * ，因 f(n )f（ n 1） ( 1)n n 1( 1)n 1(n 1) 1 0，且函數(shù) f(x)的 像是 不斷的， 所以 f(x)在區(qū) (n，(n 1) )內(nèi)至少存在一個零點 又f(x)在區(qū) (n， (n 1) )上是 的，故n xn 1 (n 1) .因此，當(dāng) n1 ， 1 4 2；x12 23當(dāng) n2 ， 12 12 12 (4 1)2；x1x23當(dāng) n3 ，12 12 12<141121212xn 22（ n 1）xx15111 2（ n 2）（ n 1）21 25 11 11 11223n 2n 112 61 622.n13 上所述， 一切n N* ，1 11 2x2x22.12x3nM3數(shù)學(xué) 法23、 2014 江 卷 已知函數(shù)0sin xnn 1*.f ( x)x(x>0) ， f(x)為 f(x)的 數(shù)， n N(1)求 2f12 2 f22的 ；(2) 明： 任意的nN * ，等式nfn 1fn2都成立444223 解：(1)由已知，得10sin x cos x sin x，f(x) f(x)xxx2于是 f2(x) f1 (x)cos xsin xxx2 sin x 2cos2x2sin3x，xxx所以 f142， f2216223.故 2f1 2 2 f22 1.(2) 明：由已知得，xf (x) sin x，等式兩 分 x 求 ，得 f (x) xf (x) cos x，000即 f0(x) xf1(x) cos x sin x 2. 似可得2f1(x) xf2( x) sin x sin(x )，3f2(x) xf3( x) cos x sin x3 ，24f3(x) xf4( x) sin x sin(x 2 )下面用數(shù)學(xué) 法 明等式nfn 1nn 所有的 nN * 都成立(x)xf(x) sin x 2(i) 當(dāng) n1 ，由上可知等式成立(ii) 假 當(dāng) nk 等式成立，即 kf(x) xf(x) sin xkk12 .k因 kfk 1( x) xfk(x) kfk 1 (x) fk(x) xfk( x) (k1)fk(x) xfk1(x)，sin xk cos xk xk sin x（ k1），2222（ k1）所以 (k 1)fk(x) xfk 1(x) sin x2，因此當(dāng) n k 1 ，等式也成立 合 (i)(ii) 可知，等式 nfn1(x) xfn(x) sin x n 所有的 n N* 都成立2n令 x 4，可得 nfn14 4 fn4 sin 42(n N* )，所以 nfn1 fn(n N* )444M4單元 合5 2014 南 郡中學(xué)月考湖記 Sk 1k 2k 3k nk，當(dāng) k 1， 2，3， ， 察121131211413121514131n，下列等式： S1n n， S2n n n， S3 n n n， S4n n n 3022326424523516155426n2n12n An ，由此可以推 A _S1 解析 根據(jù)所 等式可知， 各等式右 的各 系數(shù)之和 1，所以 1 1 5 5 1262121A 1，解得 A12.62014 照一中月考日 二 空 中 的一 度(周 )l 2 r，二 度 (面 )Sr 2， 察 S l；三 空 中球的二 度 (表面 )S 4r 2，三 度 (體 )V 4 r 3，3 察 V S.已知四 空 中“超球”的三 度V 8 r 3，猜想其四 度W _.6 2 r 4 解析 因 W 8 r 3，所以 W 2 r4.7 2014 天水一中期末甘 察下列等式：(1 1) 2 1；(2 1)(2 2) 22 1 3；(3 1)(3 2)(3 3) 23 13 5.照此規(guī)律，第n個等式為_ 7 (n 1)(n 2)(n 3) (nn) 2n 1 3 5 (2n1)解析 察等式 律可知第n 個等式 (n 1)(n 2)(n 3) (nn)2n 1 35 (2n 1)8 2014 南昌 研 已知整數(shù) 的序列 (1，1) ，(1， 2)， (2 ，1)， (1，3) ，(2， 2)， (3，1)， (1，4)， (2， 3)， (3， 2)， (4， 1)，(1 ，5)， (2， 4)， 第57 個數(shù) 是 _8 (2， 10) 解析 由 意， 所 序數(shù)列有如下 律：(1， 1)的和 2，共 1 個；(1， 2)， (2， 1)的和 3，共 2個；(1， 3)， (2， 2)， (3， 1)的和 4，共 3個；(1， 4)， (2， 3)， (3， 2)，(4 ，1) 的和 5，共 4個；(1， 5)， (2， 4)， (3， 3)，(4 ，2) ，(5， 1)的和 6，共 5 個由此可知， 當(dāng)數(shù) 中兩個數(shù)字之和 n ，有 n 1 個數(shù) 易知第 57 個數(shù) 中兩數(shù)之和 12，且是兩數(shù)之和 12 的數(shù) 中的第2 個數(shù) ，故 (2， 10)92014 福州模 已知點 A(x1， ax1) ，B(x2， ax2)是函數(shù) y ax(a>1) 的 像上任意不同的兩點，依據(jù) 像可知， 段AB 是位于 A， B 兩點之 函數(shù) 像的上方，因此有 1212成立運用 比的思想方法可知，若點A(x1ax axx x1222>a2， sin x )， B(x ， sin x )是函數(shù) ysin x(x (0， ) 的 像上任意不同的兩點， 似地有_ 成立sin x1 sin x2x1 x2 解析 依據(jù)函數(shù) y sinx(x(0， )的 像可知， 段 AB9.2<sin2sin x sin xx x2 是位于 A， B 兩點之 函數(shù) 像的下方，所以有1212<sin2.