第 36 講基本不等式 ( 時間： 45 分鐘分值： 100 分 )基礎(chǔ)熱身1已知直角三角形的面積等于50，則兩直角邊的和的最小值是()A 25 B 20C 16 D 1022013 青島模擬 已知>0，>0，且 2 4，則1的最小值為 ()ababab11A. 4 B 4 C.2 D 232013 福建卷 下列不等式一定成立的是()21A lg x4 lg x( x 0)1x 2( x k ， k Z)B sin x sinC x212| x|( x R)1D. x2 11( x R)42013 鄭州質(zhì)檢 設(shè) a>0， b>0，若ab1 13是 3與 3的等比中項，則 a b的最小值為_能力提升5已知函數(shù)g( x) 2x ，且有 g( a) g( b) 2，若 a>0 且 b>0，則 ab 的最大值為 ()11A. 2 B. 4C 2 D 46下列函數(shù)中，最小值為2 的函數(shù)是 ()21A y x 2 x2 2B yx2 1xC yx(2 2 x)(0< x<22)Dx2 2x2 1ya72013 福州質(zhì)檢 設(shè) a>0，若關(guān)于 x 的不等式 x x 1 5 在 (1 ， ) 上恒成立，則 a 的最小 值為 ()1A 16 B 9C 4 D 2118已知向量a ( x， 1) ， b ( y 1， 1) ， x， yR ，若 ab，則 t x xy y的最小值是 ()A 4 B 5 C 6 D 89某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800 元若每批生產(chǎn)x 件，則平x1 元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費均倉儲時間為8天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A 60 件 B 80 件C 100 件 D 120 件10公差為 ，各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列中，若1 1， n 51，則nd的最小值等daa于 _112013寧波質(zhì)檢 已知點 A( m， n) 在直線 x 2y 1 0上，則 2m 4n 的最小值為_x 1，12已知不等式組 x y20，表示的平面區(qū)域為 ，其中k ，則當 的面積最0kx y0小時的 k 為_132013興化二模 已知 f ( x) log 2( x 2) ，若實數(shù) m， n 滿足 f ( m) f (2 n) 3，則 m n 的最小值為 _14 (10 分 ) 已知 a， b，c 都是正實數(shù)，且滿足 log 9(9 a b) log 3 ab，求使 4a b c 恒成立的 c 的取值范圍15(13 分)2013 煙臺一調(diào)某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20 元的書桌共 36 張，每批都購入x 張 ( x 是正整數(shù) ) ，且每批均需付運費4 元，儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值( 不含運費 ) 成正比 ，若每批購入4 張，則該月需用去運費和保管費共52 元，現(xiàn)在全月只有48 元資金可以用于支付運費和保管費(1) 求該月需用去的運費和保管費的總費用f ( x) ；(2) 能否恰當?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由2難點突破16(12 分)2013 江蘇卷 如圖 K361，建立平面直角坐標系xOy，x 軸在地平面上，y 軸垂直于地平面，單位長度為1 km，某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y kx 1 (1 k2) x2( k 0) 表示的曲線上， 其中 k 與發(fā)射方向有關(guān) 炮的射程是指炮彈落地點20的橫坐標(1) 求炮的最大射程；(2) 設(shè)在第一象限有一飛行物 ( 忽略其大小 ) ，其飛行高度為 3.2 km ，試問它的橫坐標 a 不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由圖 K36 13)4課時作業(yè) (三十六 )【基礎(chǔ)熱身】11 B 解析 設(shè)兩直角邊長為a，b，則 2ab 50，即 ab 100， a b2 ab 20，當且僅當 ab 10 時， a b 有最小值，最小值為 20，故選 B.142a b 111 11 12 C 解析 因為 a>0，b>0，則 4ab 2 ，即 .ab4ab2b4a2b 4aab2當且僅當 b 2a，即 a 1， b 2 時，等號成立，故選C.解析對于A選項，當x1時，lgx2 1lg x；所以A不一定正確；B選項，3 C 24需要滿足當sin x>0 時，不等式成立，所以B 也不正確； C 選項顯然正確； D 不正確， x2111， 0< x2 1 1，所以正確的是 C.4 4 解析 由3是 3a 與 3b 的等比中項，得 3a 3b (3) 2，即a 1，bb a ab ( a b) a b 2a b1111ba111 2 2a b 4，當且僅當 a b 2時，等號成立，即ab的最小值為 4.【能力提升】aba bb215 B 解析 a2 2 2 2， 1， ，故選 B.abab246D 解析 這 是用基本不等式求最值的問題，選項A 中等號成立時的方程x2 21x<0 時，函數(shù)沒有最小值；選項C 中函數(shù)沒有最小值；所以只有選無解；選項 B 中，x2 2項 D 正確，故選 D.7 C 解析 由 x(1 ， ) ，得 x 1>0，aa x 1 x 12 a，當且僅當 x 1 x1，即 x1a時，等號成立，則 2a 4，即 a4，故選 C.8 B 解析 由已知可得 x y 1，利用基本不等式可得1111x y112 5. 故選 B.t x x y y 1 y x1 xy 1 xy 1x y29B 解析 若每批生產(chǎn) x 件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是800x，倉儲費用是，x8總的費用是800x2800x800xx 80，故選 B.xx 20，當且僅當時取等號，得88x810 16 解析 由a 51，得a1 ( 1) 51，即 ( 1)d 50，ndnn n d n 1d12 （ n 1） d 1 10 21，當且僅當 n 1 d 時，等號成立，又數(shù)列各項為整數(shù)，則公差也是整數(shù)，故d 5， 11 時， d有最小值，最小值等nn于 16.11 22 解析 由點 A( m， n) 在直線 x2y 1 0 上，得2 1，mnmnm2nm 2n2 42 2 2 2 2 2 2，1mn當且僅當 m 2n 2時，等號成立，故2 4 的最小值為 22.12 1 解析 表示 的是三角形，其頂點坐 標分別為(1 ， k) ， (1 ， 3) ，522k1212k 1， 1 ，則面積 S2k 11( k 3) k 11( k1) 2k21414 2 4 k 1（ k1） 2 4 2k 1（ k 1） 4，4當且僅當 k 1k 1，即 k 1 時等號成立13 7 解析 由f( ) (2) 3，m fn得 log 2( m 2) log 2(2 n 2) 3，即 ( m 2)( n 1) 4( m>2， n>1) ， m n ( m 2) ( n 1) 32 （ m 2）（ n 1） 3 7，當且僅當 m 2 n 1，即 m 4，n 3 時，等號成立，故 mn 的最小值 為 7.14解：因為，b都是正實數(shù)， log 9(9a) log 3，則abablog(9 ab) log913( ab) ，得 9a b ab，即 b a 1，3 4a (4a )911336a b36a bba 13 2 25，即 4 25，bbb ab aa b36ab當且僅當 b a，即 b6a 時等號成立而 c>0，所以要使4a b c 恒成立， c 的取值范圍為 0<c25.15解： (1) 設(shè)題中比例系數(shù)為k，若每批購入x 張，則共需分36批，每批價值為 20xx元，36由題意 f ( x) x 4 k20x.16 1由 f (4) 52 得 k 80 5，144* f ( x) x 4x(0< x36， x N ) 144*(2) 由 (1) 知 f ( x) x 4x(0< x36， xN ) ，144 f ( x) 2x 4x 48( 元 ) ，當且僅當1444x，即 x6 時，上式等號成立x故每批購入6 張書桌，可以使資金夠用【難點突破】12216解： (1) 令 y 0，得 kx 20(1 k ) x 0，由實際意義和題設(shè)條件知x>0， k>0，故 x20k2020 10，當且僅當 k 1 時取等號1 k212k k所以炮的最大射程為10 km.(2) 因為 a>0，所以122炮彈可擊中目標 ?存在 k>0，使 3.2 ka20(1 k ) a成立222? 關(guān)于 k 的方程 ak 20aka 64 0 有正根? 判別式 ( 20)2 4a2( a264) 0a? a 6.6所以當 a 不超過 6 km 時，可擊中目標7