第 61 講幾何概型 ( 時間： 35 分鐘分值： 80 分 )基礎(chǔ)熱身12013 武漢武昌區(qū)調(diào)研在區(qū)間 1， 1 上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y k( x 2)與圓 x2 y2 1 相交的 概率為 ()1133A. 2 B.3 C. 3 D. 222013 衡水一中調(diào)研有四個游戲盤， 將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是()圖 K61 132013 石家莊質(zhì)檢 已知函數(shù) y sin x，x ， 與 x 軸圍成的區(qū)域記為M，若隨機(jī)向圓：x2y2 2 內(nèi)投入一米粒，則該米粒落在區(qū)域內(nèi)的概率是 ()OM4422A. 2B. 3C. 2 D. 3圖 K61 24為了測算如圖 K61 2 所示陰影部分的面積， 作一個邊長為 6 的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲 800 個點已知恰有 200 個點落在陰影部分， 據(jù)此， 可估計陰影部分的面積是_ 能力提升52013 邯鄲一模某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，則他等待時間不多于15分鐘的概率為 ()1123A. 2B.4C.3D.46已知長方形中， 4， 1， 為的中點， 則在此長方形內(nèi)隨機(jī)取一點，P與 M的距離小于ABCD ABBCMABP1 的概率為 ()A. 4B 1 4C.8D 1 81圖 K61 37201 3臨沂模擬 扇形 AOB的半徑為 1，圓心角為 90 . 點 C，D，E 將弧 AB等分成四份連接 OC， OD， OE，從圖 K613 中所有的扇形中隨機(jī)取出一個，面積恰為8 的概率是()3121A. 10 B.5 C.5 D.282013 汕頭質(zhì)檢已知實數(shù) x 1， 1 ， y0 ， 2 ，則點 P( x， y) 落在區(qū)域2 y20，xx 2y10， 內(nèi)的概率為 ()x y203331A. 16 B.8 C.4 D.292013 武漢調(diào)研有一根長為1 m的細(xì)繩子，隨機(jī)從中間將細(xì)繩剪斷，則使兩截的1長度都大于 8 m 的概率為 _圖 K61 410圖 K61 4(2) 中實線圍成的部分是長方體( 圖(1) 的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1 的正方形 若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖1內(nèi)的概率是 4，則此長方體的體積為_圖 K61 511如圖 K61 5，矩形 OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f ( x) sin x，x(0 ， ) 及直線 xa( a(0 ， ) 與 x 軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點，若落在陰影部分的概率為316，則 a 的值是 _x 1，12 (13 分)2013 吉林一模記不等式組x y20， 表示的平面區(qū)域為M.x y10(1) 畫出平面區(qū)域 M，并求平面區(qū)域 M的面積；(2) 若點 ( a，b) 為平面區(qū)域 M中任意一點， 求直線 y axb 的圖象經(jīng)過第一、 二、四象限的概率2圖 K61 6難點突破13 (12 分)2013 青島一模已知關(guān)于x 的一元二次函數(shù)f ( x) ax2 4 bx1.(1) 設(shè)集合 P 1 ， 2， 3 和 Q 1， 1， 2， 3， 4 ， 分別從集合P 和 Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為 a 和 b，求函數(shù) y f ( x) 在區(qū)間 1 ， ) 上是增函數(shù)的概率；xy80，(2) 設(shè)點 ( a ， b) 是區(qū)域x>0，內(nèi)的隨機(jī)點，y >0記 A y f ( x) 有兩個零點，其中一個大于 1，另一個小于 1 ，求事件 A發(fā)生的概率3課時作業(yè) ( 六十一 )【基礎(chǔ)熱身】1( 1) 2，圓 x2 y2 1 的圓1C 解析 由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為心為 (0 ， 0) ，要使直線 y k( x 2) 與圓 x2 y2 1 相交，則圓心到直線yk( x 2) 的距離23|2 k|333d k2 11，解得 3 k 3，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得所求的概率P 233 ，故選 C.32212 A 解析 利用幾何概型的概率公式，得P( A) 8， P( B) 8， P( C) 6， P( D) 3，P( A) P( C) P( D) P( B) ，故選 A.3B 解析 構(gòu)成試驗的全部區(qū)域為圓內(nèi)的區(qū)域， 面積為 3，正弦曲線 ysinx( x ， )與x軸圍成的區(qū)域記為MM的面積為S 2sin xdx，根據(jù)圖形的對稱性，得區(qū)域0 2cosx) 0 4，所以由幾何概型的計算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個點 A，則點 A 落在區(qū)域 M內(nèi)的概率 P 43，故選 B.4 9 解析 2001點落在陰影部分的頻率是800 4，由于是隨機(jī)的投擲點，點落在正方形1內(nèi)各點是隨機(jī)的，因此我們就有理由相信陰影部分的面積就是整個正方形面積的4，故陰影1部分的面積約為 4 36 9.【能力提升】5 B 解析 由題意知問題與時間長度有關(guān)，可作為幾何概型求解，因為電臺整點報時，則事件總數(shù)包含的時間長度是60，設(shè)事件 A表示“他等待的時間不多于15 分鐘”，事151件 A 包含的時間長度是 15，由幾何概型的概率公式得到P(A) 604，故選 B.6 C 解析 構(gòu)成試驗的全部區(qū)域為長方形ABCD的內(nèi)部，長方形ABCD的面積為 S41 4；以 M點為圓心，以1 為半徑在長方形ABCD中作半圓， 則該半圓內(nèi)的任一點與M的距離小于1，半圓的面積11212 S 2 1 2，因此 P 與 M的距離小于 1 的概率為4 8 ，故選 C.7 A 解析 依題意得知，圖中共有10 個不同的扇形，分別為扇形AOB， AOC， AOD，AOE， EOB，EOC，EOD， DOC， DOB， COB，其中面積恰為 8的扇形即相應(yīng)圓心角恰為4 的扇形共有 3 個 ( 即扇形 AOD， EOC，BOD)，因此所求的概率等于3，故選 .10A8.B 解析 所求概率為圖中陰影部分的面積與正方形面積的比值正方形的面積為4，41陰影部分的面積為正方形面積減去三個小直角三角形面積所得的差，其值為4 1 123，所以所求 概率為 P 3 4 3，故選 .228B39. 4解析 選擇長度為相應(yīng)測度，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為1，用 A 表示事件“兩截的長度都大于1 m”，則從中間將細(xì)繩剪斷，剪得兩段的長都大于1 m，臨界處為 18831 23，故使兩截的長度都大于143.的概率 P(A) 84 m8 m14103 解析 設(shè)長方體的高為h，則圖 (2) 中虛線圍成的矩形長為2 2h，寬為 1 2h，面 積 為 (2 2h)(1 2h)， 展 開 圖 的 面 積 為2 4h.由 幾 何 概 型 的 概 率 公 式 知24h1（2 2h）（ 1 2h） 4，得 h3，所以長方體的體積是V13 3.211.3 解析 構(gòu)成試驗的全部區(qū)域為長方形OABC的內(nèi)部，長方形OABC的面積為 S8asin xdx cosxa0 1 cosa，由幾何概型的概a a 8；陰影部分的面積S1)0率公式，得S131 cosa312S 16，即8 16，解得 cosa 2，則 a 的值是 3 .3112解： (1) 如圖， ABC 的內(nèi)部及其各條邊就表示平面區(qū)域M，其中 A 2， 2，B(1 ，3) ， C(1， 2) ，1525平面區(qū)域 M的面積為 2 2 5 4 .(2) 要使直線 y ax b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則a<0， b>0，又點 (a ， b) 的區(qū)域為 M，故使直線yax b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的點(a ， b)11的區(qū)域為第二象限的陰影部分，故所求的概率為2 2217P .25254【難點突破】13解： (1) 函數(shù) f(x) ax2 4bx 1 的圖象的對稱軸為x 2b，2 4bx 1a要使 f(x) ax在區(qū)間 1 ， ) 上為增函數(shù)，2b當(dāng)且僅當(dāng) a>0 且 a 1，即 2ba.當(dāng) a1 時， b 1；當(dāng) a 2 時， b 1，1；當(dāng) a3 時， b 1， 1.記 B 函數(shù) yf(x) 在區(qū)間 1 ， ) 上是增函數(shù) ，則事件 B 包含基本事件的個數(shù)是 12 2 5，55 1 P(B) 15 3.a b80，(2) 依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 （ a， b）a>0，b>01其面積 S 2 8 8 32，事件 A 構(gòu)成的區(qū)域a b80，ab80，A （ a， b）a>0， （ a， b）a>0，b>0，.b>0，f （ 1） <0a 4b 1<0a b 8 0，319由 a 4b 10， 得交點坐標(biāo)為5 ， 5 ，1131961 SA 8 ，24540SA961事件 A 發(fā)生的概率為 P(A) .S1 2806