華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science 突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降 低為 t并保持不變；壁 表面與介質(zhì)之間的表面 傳熱系數(shù)為 h。 兩側(cè)冷卻情況相同 、 溫 度分布對稱 。 中心為原 點 。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 31 導(dǎo)熱微分方程： 2 2 x tat 初始條件： ,0 0tt 邊界條件： (第三類 ) 0 ,0 xtx )(- , tthxtx 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 32 2 2 x tat ,0 0tt )(- , 0 ,0 tthxtx xtx 過余溫度 ),( txt 2 2 xa 00 ,0 -tt 0 ,0 xx xhxx - , 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 33 采用分離變量法求解：令 )()( TxX 2 2 xa 00 ,0 -tt x hxx xx - , 0 ,0 Ddx XdXddTaT 2 211 只能為常數(shù)： 2 211 dx Xd Xd dT aT 只為 的函數(shù) 只為 x的函數(shù) 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 34 對 積分 DT aT 1 得到 aDeCT 1 式中 C1是積分常數(shù) ， 常 數(shù)值 D的正負可以從物 理概念上加以確定 。 當時間 趨于無窮大時，過程達到穩(wěn)態(tài)， 物體達到周圍環(huán)境溫度，所以 D必須為負 值 ，否則物體溫度將無窮增大。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 35 令 2D 21 d dT aT 則有 以及 2 2 2 1 dX X d x 以上兩式的通解為： 21 aeCT )s i n ()c o s ( 32 xCxCX 于是 )s i n()c o s (),( 2 xBxAex a 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 36 常數(shù) A、 B和 可由邊界條件確定。 00 ,0 -tt x hxx xx - , 0 ,0 (1) (2) (3) 由邊界條件（ 2）得 B=0 )s i n()c o s (),( 2 xBxAex a （ a） 邊界條件（ 3）代入 (b) 得 (c) htg )( （ a）式成為 (b) )c o s (),( 2 xAex a 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 37 將 右端整理成： htg )( Bihh 1 注意，這里 Bi數(shù)的尺度 為平板厚度的一半。 顯然， 是兩曲線交點 對應(yīng)的所有值。式 (c) 稱為 特征方程。 稱為 特征值。分別為 1、 2 n。 y 2 23 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 38 )c o s (),( 111 21 xAex a )c o s (),( 222 22 xAex a )c o s (),( 2 xAex nnan n . 1 )c o s (),( 2 n nn a xAex n 將無窮個解疊加： 至此，我們獲得了無窮個特解： 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 39 利用初始條件 求 An 00 ,0 -tt 1 )c o s (),( 2 n nn a xAex n )c o s ()s i n ( )s i n (2 0 nnn n nA 解的最后形式為： )e x p ()c o s ()c o s ()s i n ( )s i n (2),( 2 1n 0 nn nnn n axx 令 n=n )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 40 xA n n n c os 1 0 x dxxAx dx mn n nm c osc osc os 0 100 0 0 2 0 c o s 2 s in s in c o s( c o s ) n n n n n nn x d x A x d x 由初始條件可得： 上式兩邊乘于 cosmx，并在 (0, )范圍內(nèi)對積分得： 考慮式 (3-25)和三角函數(shù)的性質(zhì)，上式右端當 m n 時均為零，故得： 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 41 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 2Fo a 傅里葉準則 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 2 1n0 nn nnn n Foxx 2Fo a hBi x 無量綱距離 ) ,Fo B i ,(),( 0 xfx 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 42 定義無量綱的熱量 0Q Q 其中 Q為 0時間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量（內(nèi)熱能的改 變量） VcQ 00 為 至無窮 時間內(nèi)的總傳導(dǎo)熱量 （物體內(nèi)能改變總量） 設(shè)從初始時刻至某一時刻 所傳遞的熱量為 Q: )( ),( 0 0 0 ttcV dVxttc Q Q V dVtt ttttV V 0 0 )(1 0 1 dV V V 0 11 dVttV V )(1 是 時刻物體的平均過余溫度。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 43 2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段 當 Fo 0.2時，采用級數(shù)的第一項計算偏差小 于 1%，故當 Fo 0.2時 : xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 其中 1是第一特征值，是 Bi的函數(shù)。 Bi 0.01 0.05 0.1 0.5 1.0 5.0 10 50 100 1 0.0998 0.2217 0.3111 0.6533 0.8603 1.3138 1.4289 1.5400 1.5552 1.5708 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 44 為了分析這時溫度分布的特點，將式取對數(shù)得： xFo 1 111 12 1 0 c o sc o ss i ns i n2ln)(ln 式右邊第一項是時間 的線性函數(shù) ， 的系數(shù)只 與 Bi有關(guān) ， 即只取決于第三類邊界條件 、 平壁 的物性與幾何尺寸 。 右邊第二項只與 Bi、 x/ 有關(guān) ， 與時間 無關(guān) 。 上式說明 ， 當 Fo 0.2,平壁內(nèi)所有各點過余溫 度的對數(shù)都隨時間線性變化 ， 并且變化曲線的 斜率都相等 ,這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 的正規(guī)狀況階段 。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 45 ln( / 0 ) Fo 0. 2 正規(guī)狀況階段 x / = 0 x / = 1 ln( / 0 ) 正規(guī)狀況階段 xx m )(c o s)( ),( 1 這時比值與 無關(guān)，僅與幾何位置 (x/)及邊界 條件 (Bi數(shù) )有關(guān)。即初始條件的影響已經(jīng)消失。 無論初始分布如何，無量綱溫度都是一樣的。 這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀態(tài)或充分發(fā)展階段。 當 Fo 0.2時任一點過余溫 度與中心過余溫度之比為 xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 46 xx m )(c o s)( ),( 1 令 x = 可以計算平壁表面溫度和中心溫度的 比值 。 又由 表 3-1可知 ， 當 Bi 0.1時 ， 1 0.95。 即當 Bi 0.1時 ， 平壁表 面溫度和中心溫度的差別小于 5%， 可以近似 認為整個平壁溫度是均勻的 。 這就是 3-2節(jié) 集 總參數(shù)法的界定值定為 Bi 10， 即 Bi0.1時 ， 所有曲線上的過余溫度差值小于 5%， 這時可 以用集總參數(shù)法求解而誤差不大 。 一般為了 得到更高精確度 ， 可使 Bi0.01為下限 ， 誤差 極微 。 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 55 例 3-2：一塊厚 100mm的鋼板放入溫度為 1000 的爐 中加熱。鋼板一面加熱，另一面可認為是絕熱。初始 溫度 t0=20 ，求受熱面加熱到 500 所需時間，及剖 面上最大溫差。 (h = 174 W/(m2K), = 34.8 W/(mK), a=0.555 10-5 m2/s) 解：這一問題相當于厚 200mm平板對稱受熱問題 ， 必須先求 m/0， 再由 m/0、 Bi查圖求 Fo。 m wwm 00 w/m可查圖 3-5。而 51.0C20C1000 C500C1000 00 tt tt ww 5.0KW / m8.34 m1.0KW / m1 7 4 2 hBi 21 Bi 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 56 由 m/0和 Bi從圖 3-4查得 Fo=1.2（較困難）。 h6.0s1016.2/sm10555.0 )m1.0(2.1 325 22 aFo 又 x/=1, 從圖 3-5(p34)查得 w/m=0.8. 637.0 8.0 51.0 0 m 求中心（絕熱面）溫度 : 637.0 0 m C376C1 0 0 0)C1 0 0 0C20(637.0 ct 求剖面最大溫差 : C241C376C500m a x t 討論 : 直接計算 : 5.0KW / m8.34 m1.0KW / m1 7 4 2 hBi 查表 得 1 = 0.6533, 另： 51.0C20C1000 C500C1000 00 tt tt ww 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 57 由溫度分布式 6533.0c os)6533.0e x p(6533.0c os6533.0s i n6533.0 6533.0s i n251.0 2 Fo 79 81.0)42 68.0e x p (07 01.151.0 Fo xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 得 Fo = 1.196. 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 58 4 一維圓柱及球體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 經(jīng)過分析，對于半徑為 R的長圓柱和半徑為 R的球體 在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，可以 導(dǎo)出和平壁形式類似的溫度分布 ： 1 2 0 )e x p (),( n nnn fFoA x Bi 和 BiR分別為以 和 R 為特征尺寸的畢渥數(shù) 華中科技大學(xué)熱科學(xué)與工程實驗室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 59 第三章 作業(yè) 習(xí)題： 3-1， 3-3， 3-7， 3-12