上頁 下頁 結(jié)束 3 用系數(shù)判別二次曲線類型 3.1 二次曲線的不變量、半不變量 3.2 用不變量法判別二次曲線的類型 上頁 下頁 結(jié)束 轉(zhuǎn)軸和移軸 的方法只能在 右手直角坐標(biāo)系 中 判斷二次方程表示的曲線類型 . 對于在 一般仿射 坐標(biāo)系 中的方程 F (x, y) = 0 表示的二次曲線 , 必 須先確定它在 某個(gè)右手直角坐標(biāo)系 中的方程 F (x, y) = 0, 然后按轉(zhuǎn)軸和移軸進(jìn)行判別 . 而 F (x, y) = 0 是由 F(x, y) = 0 經(jīng)過從原仿射坐 標(biāo)系到新右手直角坐標(biāo)系的 仿射坐標(biāo)變換 得到的 . 如果 不了解原來仿射坐標(biāo)系的度量參數(shù) , 就不能 確定仿射坐標(biāo)變換公式 , 也就得不到 F (x, y) = 0. 3 用系數(shù)判別二次曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 本節(jié)介紹一種 直接用方程的系數(shù) (坐標(biāo)系不限 ) 來 判別二次曲線類型 的方法 . 它用到的方程系數(shù) 確定的函數(shù) I1, I2, I3 等 , 稱為 不變量 . 這種方法也 稱為 不變量法 . 3 用系數(shù)判別二次曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 定義 : 曲線 方程系數(shù) 的一個(gè)確定的 函數(shù) , 如果 在 任意一個(gè)直角坐標(biāo)變換下它的函數(shù)值不變 , 就稱 這個(gè) 函數(shù) 是 這條曲線的一個(gè)正交不變量 , 簡稱 不變量 . 不變量既然與直角坐標(biāo)系的選擇無關(guān) , 于是它 就 反映了曲線本身的幾何性質(zhì) . 因此 找出曲線的 不變量 是解析幾何研究中的一個(gè)重要課題 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)在平面仿射坐標(biāo)系中 二次曲線的方程 是 a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0 (3.5) 其中 a11, a22, a12不全為零 . 記 F(x, y) 是 方程 (3.5)的左端的二次多項(xiàng)式 , 即 F(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c , 設(shè) (x, y) 是 F(x, y) 的二次項(xiàng) 部分 , 即 (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 二次曲線的矩陣表示 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 利用矩陣的乘法 , 將 F(x, y), (x, y) 分別 寫成 .),( A y xyxyx 0 ,),( A F 1 1 y x yxyx , 2212 1211 0 aa aa A , cbb baa baa 21 22212 11211 A 其中 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0, 作坐標(biāo)變換 22221 11211 dycxcy dycxcx (3.14) 得到二次曲線在 新坐標(biāo)系 下的方程 : F (x, y) = 0, 其中 F (x, y) = F(c11x+c12y +d1, c21x+c22y+ d2) . 坐標(biāo)變換 (3.14)也稱為 可逆線性變量替換 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 可逆線性變量替換 (3.14) 也可用矩陣表示為 其中 ,C 2 1 0 d d y x y x 或 . 11 y x y x C , 2221 1211 0 cc cc C , 100 22221 11211 dcc dcc C 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 根據(jù)上面的記號(hào) , 可得 ,),(),( 1 1 y x yxyx ACC F T F (x, y) 的 二次項(xiàng)部分 為 ,),(),( y xyxyx CAC T 000 顯然 , CTAC 和 C0TA0C0 都是 對稱矩陣 , 因此分別 是 F (x, y) 和 (x, y) 的矩陣 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0 及其二次項(xiàng) (x, y) 的 矩陣分別為 , cbb baa baa 21 22212 11211 A 定義 I1, I2, I3 如下 : I1 = a11 + a22 , I2 = |A0| = a11a22 a122 , I3 = |A|. 分別稱為二次曲線 F(x, y) = 0 的 第一、第二、 第三不變量 . , 2212 1211 0 aa aa A 二次曲線的不變量及其性質(zhì) 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題 3.3 設(shè) F(x, y) 經(jīng)過 可逆線性變量替換 (3. 14) 變?yōu)?F (x, y) , 以 I1, I2, I3 記 F (x, y) = 0 的不變量 , 則 (1) I2 和 I2同號(hào) , I3 和 I3同號(hào) ; (2) 如果 C0 是正交矩陣 , 則 Ii = Ii, i = 1, 2, 3. 證明 : (1) 根據(jù)矩陣乘積的性質(zhì) , 有 |I2| = |C0TA0C0| = |C0|2I2 因?yàn)?C0 可逆 , 所以 |C0| 0, 從而 |C0|2 0, 同理可證 I3 和 I3同號(hào) . = |C0|2|A0| 于是 I2 和 I2同號(hào) . = |C0T|A0|C0| 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 當(dāng) C0 是正交矩陣時(shí) , |C| = |C0| = 1, 根據(jù) (1)的證明 , 可得 I2 = I2, I3 = I3. , co ss in s inco s 0Ca12 0 時(shí) , 如果 對于 I1, a12 = 0 時(shí)只需作移軸 , 顯然有 I1 = I1; 2 2212 2 11121122 121122 2 2212 2 11 222 2 1 22 2 1 2 co ss i ns i nco ss i n)( co ss i n)(s i ns i nco s aaaaaa aaaaaa C0TA0C0 = 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 因此 如果 ,co ss in s inco s 0C I1 = a11+ a22 = a11 + a22 = I1. 因此 I1 = a11+ a22 = a11 + a22 = I1. C0TA0C0 = 2 2212 2 11122211 122211 2 2212 2 11 222 2 1 22 2 1 2 co ss i ns i nco ss i n)( co ss i n)(s i ns i nco s aaaaaa aaaaaa 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注 : (1) 命題 3.2 (2) 說明經(jīng)過 直角坐標(biāo)變換 , I1, I2, I3 保持不變 , 因此它們的確是 不變量 . (2) 在 仿射坐標(biāo)變換 下 , I1, I2, I3并不是不變的 . 命題 3.2 (1) 說明 I2, I3 保持正負(fù)性不變 , 而 I1 的正負(fù)性 不一定保持不變 . 例如 : 設(shè) F(x, y) = 2x2 y2, 此時(shí) I1 = 1, 作仿射坐標(biāo)變換 得 yy xx 2 F (x, y) = 2x2 4y2, 此時(shí) I1 = 2. 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 引理 若 F(x, y) = 0 的 I2 0, 則 對任何實(shí)數(shù) s, t, 有 I1 (s, t) 0, 其中 (x, y) 是 F(x, y) 的二次項(xiàng) . 證明 : 設(shè) (x, y) 的矩陣為 , 2212 1211 0 aa aa A 則 a11a22 a122 = I2 0, 于是 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 = a112s2 + 2a11a12st + a11a22t2 + a11a22s2 + 2a12a22st + a222t2 a112s2 + 2a11a12st + a122t2 + a122s2 + 2a12a22st + a222t2 = (a11s + a12t) 2 + (a12s + a22t)2 0 . I1(s, t) = (a11 + a22)(a11s2 + 2a12st + a222t2) 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題 3.4 如果二次曲線 F(x, y) = 0 的 I2 0, 則 I1 0, 且作可逆線性變量替換 (3.14)后所得的 F (x, y) 的 I1與 I1 同號(hào) . 證明 : 因?yàn)?I2 0, 所以 a11a22 a122 0, 說明 a11, a22 同號(hào) 且 不全為零 , 再根據(jù) A0 = C0TA0C0 與矩陣乘法的定義 , 有 于是 I1 = a11 + a22 0. 另外 , 根據(jù)命題 3.3, I2 0, 同理說明 I1 0. 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 ),(),( 2212 22 12 0221222 ccc c cca A I1I1 = I1(c11, c21) + I1(c12, c22) 0. 又因?yàn)?I1 , I1 都不為零 , ),(),( 2111 21 11 0211111 ccc c cca A 所以 I1I1 0, 即 I1 , I1 同號(hào) . 于是由引理 , 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注 : 命題 3.4 說明 , 二次曲線的 不變量 I1 在 I2 0 的情況下 , 其 正負(fù)性在作可逆線性變量替換時(shí)也 不會(huì)變 . I1, I2, I3 在作 可逆線性變量替換時(shí) 的變化規(guī)律 : (1) I1, I2, I3 的值 在任一 直角坐標(biāo)變換 下不變 ; (2) I2, I3 的符號(hào) 在任一 仿射坐標(biāo)變換 下不變 ; (3) 當(dāng) I2 0 時(shí) , I1的符號(hào) 在任一 仿射坐標(biāo)變換 下不變 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 下面再看 乘非零常數(shù) 時(shí)的變化規(guī)律 : 當(dāng) 0 時(shí) , I1, I2, I3 的符號(hào)不變 ; 當(dāng) 0 0 0 拋物線 0 = 0 兩條平 行直線 0 一條直線 類型 拋 物 型 = 0 0 0 x2 2py = 0 x2 d = 0 (d 0) 0 = 0 x2 d = 0 (d 0 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 定義 設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0 的矩陣為 規(guī)定 K1 = (a11c b12) + (a22c b22), 稱為二次曲線 F(x, y) = 0 的 半不變量 . 二次曲線的半不變量及其性質(zhì) , cbb baa baa 21 22212 11211 A cb ba cb ba 2 222 1 111 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 引理 當(dāng) I2 = I3 = 0 時(shí) , K1 = 0 r(A) = 1. 證明 : 因?yàn)?I2 = 0, 即 a11a22 = a122, 則可設(shè) a12 = ta11, 所以 a11, a22 不異號(hào) , 且 不都為零 . 從而有 a22 = t2a11, 于是 cbb batta btaa 21 211 2 11 11111 3 I cbb tbb btaa 21 12 11111 00 = a11(b2 tb1)2. 不妨設(shè) a11 0, 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 又 I3 = 0, a11 0, 所以 b2 = tb1, 從而 這樣 , 當(dāng) I2 = I3 = 0 時(shí) , A 的 9 個(gè)二階子式 中 不含 c 的 5 個(gè)都為 0, 剩下的 4 個(gè)二階子式 為 即矩陣 A 的 第 1, 2行 (第 1, 2列 )元素對應(yīng)成比例 . ., cb ba cb ba cb ba cb ba 1 212 2 112 2 222 1 111 ctbb tbatta btaa cbb baa baa 11 111 2 11 11111 21 22212 11211 A 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 其中 .)( cb ba t 1 11121 因此 , 當(dāng) I 2 = I3 = 0 時(shí) , K1 = 0 r(A) = 1. cb ba 2 222 cb ba 2 112 cb ba 1 212 于是 cb ba cb ba 2 222 1 111 1 K ctb tbat 1 111 2 , cb ba t 1 1112 ctb bta 1 111 , cb ba t 1 111 cb tbta 1 111 , cb ba t 1 111 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題 3.5 設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0 滿足 I2 = I3 = 0, 對 其作可逆線性變量替換 (3.14)后得到 F (x, y) = 0, 設(shè) K1為 F (x, y) = 0 的半不變量 , 則 (1) ; 1 1 1 1 I K I K (2) 如果坐標(biāo)變換 (3.14) 的系數(shù)矩陣 C0 是正交 矩陣 , 則 K1 = K1 . 證明 : (1) 作多項(xiàng)式 ,),(),( 1 1 I KFG yxyx G(x, y) = 0 的 不變量 , 00 332211 II II II 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 由引理的證明可知 , 它的 半不變量 1 1 1 111 2 1 1 I KK cb ba t )( 1 1 11 2 1 1 I KK at )( ,)( 0 1 1 22111 I KK aa 1 1 111 1 1112 01 I K ba cb ba t )( 根據(jù)引理 , G(x, y) = 0 的矩陣 的秩為 1. A 設(shè)對 G (x, y) 作可逆線性變量替換 (3.14)后得到 G (x, y), 則 G (x, y) 的矩陣 的秩為 1, 從而半不變量 = 0. CAC T 1K 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 另一方面 , 由 可得 1 1 I KFG ),(),( yxyx ,),(),( 1 1 I KFG yxyx 于是類似于上面的計(jì)算 , 有 1 1 221111 I KKK )( aa , 1 1 11 I KIK 從而 ,0 1 1 11 I KIK 即 . 1 1 1 1 I K I K (2) 由 (1)與 命題 3.3 (2) 易得 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注 : (1) 因?yàn)?I2 = 0 時(shí) , I1 0, 且在作可逆線性 變量替換時(shí)它的 正負(fù)性不變 , 所以當(dāng) I2 = I3 = 0 時(shí) , 可逆線性變量替換不改變半不變量的符號(hào) . (2) 如果 F(x, y) 乘非零常數(shù) , 則 半不變量要乘 2, 從而符號(hào)不變 . 綜合 命題 3.3, 3.4. 3.5 的結(jié)論 , 并觀察二次曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程中不變量 I1, I2, I3 以及半不變量 K1的 符號(hào)的變化規(guī)律 , 我們就可以 直接利用二次方程 的系數(shù)判別二次曲線的類型 . 3.1 二次曲線的 (半 )不變量 上頁 下頁 結(jié)束 二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中 (半 )不變量的正負(fù)性 3.2 用不變量判斷曲線類型 標(biāo)準(zhǔn)方程 1I 2I 3I 圖形 12 2 2 2 byax + + 橢圓 02 2 2 2 byax + + 0 一點(diǎn) 12 2 2 2 byax + + + 空集 類型 橢 圓 型 上頁 下頁 結(jié)束 標(biāo)準(zhǔn)方程 1I 2I 3I 圖形 12 2 2 2 byax 不定 0 雙曲線 02 2 2 2 byax = 0 兩條相 交直線 12 2 2 2 byax 雙曲線 類型 雙 曲 型 0 不定 不定 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 標(biāo)準(zhǔn)方程 1K 2I 3I 圖形 0 = 0 x2 2py = 0 x2 d = 0 (d 0) 0 = 0 x2 d = 0 (d 0) 識(shí)別標(biāo)志 類別 橢圓 一點(diǎn) 空集 I1I3 0 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 型別 雙 曲 型 (I2 0 拋物線 I3 = 0, K1 = 0 I3 = 0, K1 1 時(shí) , I2 0, 曲線為 橢圓型 : 如果 t 1, 則 I1I3 0, 圖像是 空集 ; 如果 t 1, 則 I1I3 0, 圖像是 橢圓 . (2) 當(dāng) |t| 1 時(shí) , I2 0, 圖像是 空集 ; 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 用 (半 )不變量求二次曲線的最簡方程 1. 二次曲線為 橢圓型或雙曲型 , 則 最簡方程 為 : ,0222211 cyaxa 設(shè) 二次曲線的方程 (3.5) 經(jīng)過 直角坐標(biāo)變換 , 化成了最簡形式 . 由于 I1, I2 都是 不變量 , 所以有 , 22211 12211 I I aa aa 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 這表明 a11, a22 是下面 一元二次方程的根 : 2 I1 + I2 = 0, () 稱方程 () 為 二次曲線 (3.5)的 特征方程 , 它的兩 個(gè)實(shí)根稱為 二次曲線 (3.5)的 特征根 , 記為 1, 2. 由于方程 () 的判別式 I12 4I2 )()( 212221122211 4 aaaaa 21222211 4 aaa )( 0, 所以方程 () 一定有兩個(gè)實(shí)根 . 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 又因?yàn)?I3 是 不變量 , 所以 caa 2211 ,c 2I c a a 00 00 00 22 11 3I 從而得 , 2 3 I Ic 這樣 橢圓型或雙曲型 二次曲線的最簡方程可寫成 : .0 2 32 2 2 1 I Iyx 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 2. 二次曲線為 拋物線 , 則 最簡方程 為 : , 0002 2112211 baybxa 由于 I1, I2, I3 都是 不變量 , 所以有 , 0 00 011 2111 aa I I ,22112 11 3 00 00 00 ba b b a I 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 由此得 , 1 3 2 I Ib 這樣 拋物線 的最簡方程可寫成 : .02 1 32 1 yx I II 3. 二次曲線為 拋物型 , 且 I3 = 0, 則 最簡方程 為 : , 00 11211 acxa 于是 I1 = a11, I2 = I3 = 0, 且 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 cc aK 0 00 0 011 1 ca 11 ,c 1I 因此 這樣 退化的拋物型曲線 的最簡方程可寫成 : .0 1 12 1 I KI x , 1 1 I Kc 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 例 2 設(shè)在 直角坐標(biāo)系 下二次曲線有下列方程 , 判斷其 類型 , 并求其 標(biāo)準(zhǔn)方程 : (1) x2 3xy + y2 + 10 x 10y + 21 = 0; (2) x2 + 4xy + 4y2 20 x + 10y 50 = 0. 解 : (1) I1 = 1 + 1 = 2, , 4 5 1 2 3 2 3 1 2 I 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 因?yàn)?I2 0, 所以這是 雙曲型 曲線 . , 4 5 2155 51 2 3 5 2 3 1 3 I 因?yàn)?I3 0, 所以這是 雙曲線 . 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 解特征方程 2 2 5/4 = 0 得 , 2521 21 又 于是方程可化簡成 : ,1 2 3 I I ,012521 22 yx 故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .1 5 22 22 yx 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 (2) I1 = 1 + 4 = 5, ,042 21 2 I 因?yàn)?I2 = 0, 所以這是 拋物型 曲線 . ,6 2 5 50510 542 1021 3 I 因?yàn)?I3 0, 所以這是 拋物線 . 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 計(jì)算 ,555 6 2 5 1 3 I I 于是方程可化簡成 : ,05105 2 yx 故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .yx 522 3.2 用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 作 業(yè) P153. 習(xí)題 3.3 1(2, 3, 4), 3(1), 6. 其中 第 1題 假設(shè)在 直角坐標(biāo)系 下給出其 方程 , 判斷其 類型 并求出其 標(biāo)準(zhǔn)方程 .