知 識 點 一 知 識 點 二 學 業(yè) 分 層 測 評 第 3 節(jié) 向心力的實例分 析 學 習 目 標 知 識 脈 絡 1.通過向心力的實例分析，會 分析向心力來源，體會勻速圓 周運動在生活、生產中的應 用 (重點 ) 2能應用向心力和向心加速度 公式求解豎直面內圓周運動的 最高點和最低點的向心力及向 心加速度 (重點、難點 ) 3熟練掌握應用牛頓第二定律 和向心力知識分析兩類豎直面 內圓周運動模型的步驟和方 法 (重點、難點 ) 轉 彎 時 的 向 心 力 實 例 分 析 先填空 1 汽車在水平路面轉彎： 汽車 向心力來源：受到的 提供 . 向心力方程： f . 最大速度： v fr m ，受 的制約 . 靜摩擦 力 最大靜摩擦力 2 汽車、火車在內低外高的路面上的轉彎： 汽車 火車 向心力來源：重力和支持力的合力提供 . 向心力方程： . 臨界速度： v gr tan ，取決于 和傾角 . 轉彎半徑 再判斷 1 汽車、火車轉彎時需要的向心力都是由重力提供的 ( ) 2 汽車在水平道路上行駛時，最大車速受地面最大靜摩擦力的制約 ( ) 3 火車彎道的半徑很大，故火車轉彎需要的向心力很小 ( ) 后思考 如圖 4 3 1 所示，下雨天路面比較濕滑，行駛的汽車如果速度過快，轉彎 時容易發(fā)生側滑，這是為什么？ 圖 4 3 1 【提示】 汽車轉彎時需要的向心力是由地面靜摩擦力提供的，下雨天路面 濕滑，最大靜摩擦力減小，故高速轉 彎時易發(fā)生側滑 合作探討 火車在鐵軌上轉彎可以看成是勻速圓周運動，如圖 4 3 2 所示，請思考： 圖 4 3 2 探討 1 ： 火車轉彎處的鐵軌有什么特點？ 【提示】 轉彎處鐵軌外高內低 探討 2 ： 火車轉彎時速度過大或過小，會對哪側軌道有側壓力？ 【提示】 車速過大，對外軌產生擠壓車速過小，對內軌產生擠壓 核心點擊 1 軌道分析 火車在轉彎過程中，運動軌跡是一圓弧，由于火車轉彎過程中重心高度不變， 故火車軌跡所在的平面是水平面，而不是斜面火車的向心加速度和向心力均沿 水平面指向圓心 2 向心力的來源分析 ( 如圖 4 3 3 所示 ) 圖 4 3 3 火車速度合適時，火車受重力和支持力作用，火車轉彎所需的向心力完全由 重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小 F mg tan . 3 規(guī)定速度分析 若火車轉彎時只受重力和支持力作用，不受軌道壓力則 mg ta n m v 2 0 R ，可 得 v 0 gR ta n .( R 為彎道半徑， 為軌道所在平面與水平面的夾角， v 0 為轉彎處 的規(guī)定速度 ) 4 軌道壓力分析 1 賽車在傾斜的軌道上轉彎如圖 4 3 4 所示，彎道的傾角為 ，半徑為 r ， 則賽車完全不靠摩擦力轉彎的速率是 ( 設轉彎半徑水平 )( ) 圖 4 3 4 A. gr sin B. gr cos C. gr tan D. gr cot 【解析】 設賽車的質量為 m ，賽車受力分析如圖所示， 可見： F 合 mg ta n ， 而 F 合 m v 2 r ，故 v gr ta n . 【答案】 C 2 火車在某個彎道按規(guī)定運行速度 40 m /s 轉彎時，內、外軌對車輪皆無側壓 力，若火車在該彎道實際運行速度為 30 m /s ，則下列說法中正確的是 ( ) 【導學號 ： 01360132 】 A 僅內軌對車輪有側壓力 B 僅外軌對車輪有側壓力 C 內、外軌對車輪都有側壓力 D 內、外軌對車輪均無側壓力 【解析】 火車在彎道按規(guī) 定運行速度轉彎時，重力和支持力的合力提供向 心力，內、外軌對車輪皆無側壓力。若火車的運行速度小于規(guī)定運行速度時，重 力和支持力的合力大于火車需要的向心力，火車將做近心運動，內軌對車輪產生 側壓力，重力、支持力和內軌的側壓力的合力提供火車做圓周運動的向心力，故 A 正確 【答案】 A 3 某游樂場里的賽車場為圓形，半徑為 100 m ，一賽車和乘客的總質量為 100 kg ，車輪與地面間的最大靜摩擦力為 600 N ( g 取 10 m /s 2 ) (1) 若賽車的速度達到 72 k m /h ，這輛車在運動過程中會不會發(fā)生側移？ (2) 若將場地 建成外高內低的圓形，且傾角為 30 ，并假設車輪和地面之間的最 大靜摩擦力不變，為保證賽車的行駛安全，賽車最大行駛速度應為多大？ 【解析】 (1) 賽車在場地上做圓周運動的向心力由靜摩擦力提供，如圖甲所 示賽車做圓周運動所需的向心力為 F m v 2 r 400 N 600 N ，所以賽車在運動過 程中不會發(fā)生側移 甲 乙 (2) 若將場地建成外高內低的圓形，則賽車做勻速圓周運動的向心力由重力 mg 、支持力 N 和靜摩擦力的合力來提供，如圖乙 所示為賽車做圓周運動的后視圖 ( 賽車正垂直紙面向里運動 ) 賽車以最大速度行駛時，地面對賽車的摩擦力為最大 靜摩擦力由牛頓第二定律得 水平方向： N sin f m ax cos m v 2 m ax r 豎直方向： N cos f m a x sin mg 0 代入數據解得 v m ax f m ax mg sin r m cos 35.6 m /s. 【答案】 (1) 不會 (2 )35.6 m /s 火車 轉彎問題的解題策略 (1) 對火車轉彎問題一定要搞清合力的方向，指向圓心方向的合外力提供火車 做圓周運動的向心力，方向指向水平面內的圓心 (2) 彎道兩軌在同一水平面上時，向心力由外軌對輪緣的擠壓力提供 豎 直 平 面 內 的 圓 周 運 動 實 例 分 析 先填空 1 汽車過拱形橋 項目 汽車過凸形橋 汽車過凹形橋 向心力 支持力與重力合力 做向心力 支持力與重力合力 做向心力 方程 m v 2 r m v 2 r 支持力 N mg m v 2 r 支持力 重力 mg N N mg gr 2. 過山車 ( 在最高點和最低點 ) (1) 向心力來源：受力如圖 4 3 5 ，重力和支持力的合力提供向心力 圖 4 3 5 (2) 向心力方程 在最高點： m v 2 r ， v 越小， N 越小，當 N 0 時 v m in gr 在最低點： m v 2 r N mg N mg 再判斷 1 過山車在運動時，做的是勻速圓周運動 ( ) 2 汽車在凸形橋上行駛時，速度較小時，對橋面的壓力大于車重，速度較大 時，對橋面的壓力小于車重 ( ) 3 汽車過凹形橋時，對橋面的壓力一定大于車重 ( ) 后思考 過山車和乘客在軌道上的運動是圓周運動 ( 如圖 4 3 6 甲、乙所示 ) 那么 甲 乙 圖 4 3 6 過山車駛至軌道的頂部，車與乘客都在軌道的下方，為什么不會掉下來？ 【提示】 過山車駛至軌道的頂部時，車所受的軌道的壓力和所受的重力的 合力提供車做圓周運動的向心力，只改變速度方向，而不使物體做自由 落體運動 合作探討 小球分別在輕繩 ( 如圖 4 3 7 甲 ) 和輕桿 ( 如圖 4 3 7 乙 ) 的一端繞另一端 在豎直平面內運動，請思考： 圖 4 3 7 探討 1 ： 小球要在豎直平面內完成圓周運動，經過最高點時的最小速度能為零 嗎？ 【提示】 輕繩上的小球最小速度不能為零 輕桿上的小球最小速度可以為零 探討 2 ： 小球經過最高點時，與繩 ( 或桿 ) 之間的作用力可以為零嗎？ 【提示】 小球輕過最高點時與繩或桿的作用力可以為零 核心點擊 1 汽車過橋問題的分析： (1) 汽車過凸形橋 汽車在橋上運動，經過最高點時，汽車的重力與橋對汽車支持力的合力提供 向心力如圖 4 3 8 甲所示 圖 4 3 8 由牛頓第二定律得： G N m v 2 r ，則 N G m v 2 r . 汽車對橋的壓力與橋對汽車的支持力是一對相互作用力，即 N N G m v 2 r ，因此，汽車對橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越小 當 0 v gr 時， 0 N G . 當 v gr 時， N 0 ，汽車做平拋運動飛離橋面，發(fā)生危險 當 v gr 時，汽車做平拋運動飛離橋面，發(fā)生危險 (2) 汽車過凹形橋 如圖 4 3 8 乙所示，汽車經過凹形橋面最低點時，受豎直向下的重力和豎 直向上的支持力，兩個力的合力提供向心力，則 N G m v 2 r ，故 N G m v 2 r . 由牛 頓第三定律得：汽車對凹形橋面的 壓力 N G m v 2 r ，大于汽車的重力，而且車 速越大，車對橋面的壓力越大 2 過山車問題分析： 如圖 4 3 9 所示，設過山車與坐在上面的人的質量為 m ，軌道半徑為 r ，過山車經過頂部時的速度為 v ，以人和車作為一個整體，在頂 部時所受向心力是由重力和軌道對車的彈力的合力提供的。由牛頓第二定律得 mg N m v 2 r . 人和車要不從頂部掉下來，必須滿足的條件是： N 0. 當 N 0 時，過山車通過圓形軌道頂部的速度為臨界速度，此時 重力恰好提供過山車做圓周運動的向心力，即 mg m v 2 r ，臨界速度 為 v 臨界 gr ，過山車能通過最高點的條件是 v gr . 圖 4 3 9 3 輕繩模型： 如圖 4 3 10 所示，輕繩系的小球或在軌道內側運動的小球， 在最高點時的臨界狀態(tài)為只受重力，由 mg m v 2 r ，得 v gr . 圖 4 3 10 在最高點時： (1) v gr 時，拉力或壓力為零 (2) v gr 時，物體受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大 (3) v gr 時，物體不能達到最高點 ( 實際上球未到最高點就脫離了軌道 ) 即繩類模型中小球在最高點的臨界速度為 v 臨 gr . 4 輕桿模型： 如圖 4 3 11 所示，在細輕桿上固定的小球或在管形軌道內運 動的小球，由于桿和管能對小球產生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內做圓 周運動的條件是在最高點的速度大于或等于零，小球的受力情況為： 圖 4 3 11 (1) v 0 時，小球受向上的支持力 N mg . (2)0 v gr 時，小球受向上的支持力且隨速度的增大而減小 (3) v gr 時，小球只受重力 (4) v gr 時，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大 即桿類模型中小球在最高點的臨界速度為 v 臨 0. 4 ( 多選 ) 如圖 4 3 12 所示，汽車以速度 v 通過一弧形的拱橋頂端時，關于 汽車受力的說法中正確的是 ( ) 圖 4 3 12 A 汽車的向心力就是它所受的重力 B 汽車的向心力是它所受的重力與支持力的合力，方向指向圓心 C 汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力和向心力的作用 D 汽車受到的支持力比重力小 【解析】 汽車以速度 v 通過一弧形的拱橋頂端時，汽車受重力、支持力、 牽引力和摩擦力，重力與支持力的合力提供向心力，方向指向圓心， A 、 C 錯誤， B 正確；汽車受到的支持力比重力小， D 正確 【答案】 BD 5 長為 L 的細繩，一端系一質量為 m 的小球，另一端固定于某點，當繩豎直 時小球靜止，再給小球一水平初速度 v 0 ，使小球在豎直平面內做圓周運動，并且 剛好能過最高點，則下列說法中正確的是 ( ) 【導學號 ： 01360133 】 A 球過最高點時，速度為零 B 球過最高點時，繩的拉力為 mg C 開始運動時，繩的拉力為 m v 2 0 L D 球過最高點時，速度大小為 Lg 【解析】 開始運動時，由小球受的重力 mg 和繩的拉力 F 的合力提供向心 力，即 F mg m v 2 0 L ， F m v 2 0 L mg ，可見 C 不正確；小球剛好過最高點時，繩拉力 為 0 ， mg m v 2 L ， v Lg ， A 、 B 不正確故選 D. 【答案】 D 6 游樂場的過山車的運動過程可以抽象為圖 4 3 13 所示模型弧形軌道 的下端與圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端 A 點由靜止滑下，進入圓軌道后沿 圓軌道運動，最后離開試分析 A 點離地面高度 h 至少要多大，小球才可以順利通 過圓軌道最高點 ( 已知圓軌道的半徑為 R ，不考慮摩擦等阻力 ) 圖 4 3 13 【解析】 小球恰好通過圓軌道的最高點時，軌道對小球的作用力為零小 球從 A 點到達圓軌道最高點的過程中，由機械能守恒定律得： mgh mg 2 R 1 2 m v 2 ， 在圓軌道最高處： mg m v 2 R ，解得 h 5 2 R . 【答案】 52 R “ 二明、一分、一用 ” 解豎直平面內圓周運動問題