1.3.2輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法導(dǎo)學(xué)案1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的含義，了解其執(zhí)行過程，并會求最大公約數(shù)2掌握秦九韶算法的計算過程，了解它提高計算效率的實(shí)質(zhì)，并會求多項(xiàng)式的值3進(jìn)一步體會算法的基本思想【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】算法步驟及程序框圖和算法程序課前預(yù)習(xí)案【知識鏈接】136與60的最大公約數(shù)是多少？你是如何得到的？2觀察下列等式8251610512146，那么8251與6105這兩個數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？【知識梳理】1輾轉(zhuǎn)相除法(1)輾轉(zhuǎn)相除法算法步驟：程序框圖如圖所示程序：2、更相減損術(shù)問題：設(shè)兩個正整數(shù)m>n(m>n)，若mnk，則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等，反復(fù)利用這個原理，可求得98與63的最大公約數(shù)是多少？算法分析：3秦九韶算法(1)概念：求多項(xiàng)式f(x)a n x na n1x n1a1xa0的值時，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個_多項(xiàng)式的值，共進(jìn)行_次乘法運(yùn)算和_次加法運(yùn)算其過程是：(2)算法步驟：(3)程序框圖如圖所示(4)程序：自主小測1、用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時，第一步是_2、設(shè)計程序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是( )A順序結(jié)構(gòu)B條件結(jié)構(gòu)C循環(huán)結(jié)構(gòu)D以上都有3用更相減損術(shù)可求得78與36的最大公約數(shù)是( )A24B18C12D6課上導(dǎo)學(xué)案教師點(diǎn)撥：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的區(qū)別與聯(lián)系如表所示【例題1】 (1)用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù)；(2)用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)分析：本題是關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的直接應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法的操作是較大的數(shù)除以較小的數(shù)；更相減損術(shù)的操作是以大數(shù)減小數(shù)反思：(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)時經(jīng)常會取錯最后一個余數(shù)因?yàn)檩氜D(zhuǎn)相除法有有限個除法式子，而最后一個余數(shù)在倒數(shù)第二個式子的最后(2)利用更相減損術(shù)求解最大公約數(shù)時，最大公約數(shù)是直到差等于減數(shù)時的那個差，或是該差與約簡的數(shù)的乘積【例題2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)x5x4x3x2x+1當(dāng)x5時的值【當(dāng)堂檢測】1用秦九韶算法計算f(x)3x64x55x46x37x28x1當(dāng)x0.4時的值，需要進(jìn)行乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算的次數(shù)分別為( )A6，6B5，6C6，5D6，122利用輾轉(zhuǎn)相除法求3869與6497的最大公約數(shù)時，第二步是_3用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)x55x410x310x25x1在x2時的值為_4用輾轉(zhuǎn)相除法求242與154的最大公約數(shù)【問題與收獲】【知識鏈接】1、【提示】先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公約數(shù)由于，故36與60的最大公約數(shù)為22312.2、【提示】8251的最大約數(shù)是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也是8251的約數(shù)，故8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)自主小測答案：1、用2約簡由于294和84都是偶數(shù)，先用2約簡2、D3D先用2約簡得39，18；然后輾轉(zhuǎn)相減得391821，21183，18315，15312，1239，936，633.所以所求的最大公約數(shù)為326.當(dāng)堂檢測答案：1A改寫多項(xiàng)式f(x)(3x4)x5)x6)x7)x8)x1，則需進(jìn)行6次乘法和6次加法運(yùn)算23869262811241第一步：6497386912628，第二步：3869262811241.31改寫多項(xiàng)式為f(x)(x5)x10)x10)x5)x1，當(dāng)x2時，v01；v11(2)53；v23(2)104；v34(2)102；v42(2)51；v51(2)11；故f(2)1.4解：242154188，15488166，8866122，66223.所以242與154的最大公約數(shù)是22.