第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一、點(diǎn)態(tài)收斂的概念 二、一致收斂性及其判別法 三、一致收斂的函數(shù)列 與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 1 一致收斂性 一、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)列一致收斂性 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 一、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的的概念 1. 函數(shù)列的定義 : 收斂數(shù)列 (數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )可表示、定義一個(gè)數(shù)； 試用函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來表示、定義一個(gè)函數(shù)。 (1) 定義 1 是定義在同設(shè)函數(shù) ),(,),(),( 21 xfxfxf n ., 上的函數(shù)列則稱其為上一個(gè)數(shù)集 EE ,2,1),()( : nxfxf nn 或記為 ) .()(, 00 xfxfxx nn 為一個(gè)數(shù)列則函數(shù)列特別地取定 (2) 定義 2 ,)(,)( 00 點(diǎn)收斂在則稱收斂若數(shù)列 xxfxf nn .)(0 的收斂點(diǎn)為也稱 xfx n .)(,)( 00 點(diǎn)發(fā)散在則稱發(fā)散若數(shù)列 xxfxf nn ,)( 上的每一點(diǎn)均收斂在若數(shù)列 Dxf n .)( 上收斂在則稱 Dxf n 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 (3) 定義 3 則可確定一個(gè)新的上收斂在若 ,)( Dxf n .),( Dxxf 函數(shù) .)()( 的極限函數(shù)為函數(shù)列則稱 xfxf n nxfxfDxDxxfxf nnn ),()(,),()(l i m : 或記為 )()(lim xfxf nn即 定義 N )()(,N ,0, xfxfNnNDx n有當(dāng)),( x (4) 定義 4 .)(,)( 的收斂域稱為收斂點(diǎn)的全體集合函數(shù)列 xfxf nn 例 1 試求下列函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù) ),( ,2,1,)( )1( xnxxf nn 解 顯然 ,1時(shí)x 0lim nn x ,1時(shí)x ,lim 不存在nn x ,1時(shí)x 1lim nn x ,1時(shí)x ,lim 不存在nn x 1,1( 收斂域?yàn)閚x 極限函數(shù) 1 ,1 1|,0)( x xxf 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 ),( ,2,1,s i n)( )2( xnn nxxf n 解 顯然 ),(s i n 收斂域?yàn)閚 nx 極限函數(shù) ),(,0)( xxf ,1s i n)( nn nxxf n 0s inlim nnxn 問題： ;)( )1( 收斂域的判別函數(shù)列 xf n ).()( )2( 連續(xù)、可積、可導(dǎo)的分析性質(zhì)極限函數(shù) xf 是不是所有 的連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù) 在其收斂域上也連續(xù)。 )(l i m)()(l i m 000 xfxfxf nnxx 即 ？ 結(jié)論是：不一定 1 ,1 1|,0)(lim x xxfx n n如： .1)( 處不連續(xù)在 xxf 因此，保持連續(xù)性只有收斂的條件是不夠的。 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 (1) 定義 5 1 )( n n xu 稱為 E上的函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)或簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)。 部分和實(shí)際是一個(gè)函數(shù)列 . ni inn xuxuxuxuxs 121 )()()()()( 同時(shí)稱 2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 ) ,( xuE n上的函數(shù)列設(shè) 對(duì)其各項(xiàng) 依次 用“ +”連接起來的表達(dá)式 )()()()( 321 xuxuxuxu n記為 部分和 . .)(, 1 00 實(shí)際為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) n n xuEx特別地 , (2) 定義 6 .)(,)(, 101 00 收斂點(diǎn)為則稱收斂級(jí)數(shù)當(dāng) n nn n xuxxuEx .)(l i m)(l i m 1 00 存在即 n i innn xuxs .)(,)( 101 0 發(fā)散點(diǎn)為則稱發(fā)散當(dāng) n nn n xuxxu 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 (3) 定義 7 則可確定一個(gè)新的上收斂在若級(jí)數(shù) ,)( 1 Dxu n n .),( Dxxs 函數(shù) .)()( 1 的和函數(shù)為函數(shù)列則稱 n n xuxs Dxxsxu n n ),()( : 1 記為 )()(lim xsxs nn即 定義 N )()(,N ,0, xsxsNnNDx n有當(dāng)),( x (4) 定義 8 .)(,)( 11 的收斂域稱為收斂點(diǎn)的全體集合級(jí)數(shù) n nn n xuxu .)()( 1 的收斂域的收斂域本質(zhì)上是 xsxu n n n 余項(xiàng) )()()( xsxsxR nn )( 1 xu i in Dxxsxu n n ),()( 1 收斂與若 可通過部分和函數(shù)列討論級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) . 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 例 2 試求下列級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) ),( , )1( 1 xx n n 解 xxxxxs nn k k n 1 )1()( 1 ),( x )(lim xsnn xxx nn 1 )1(lim 1, 1,1 x xxx 發(fā)散 ),( ,)()()( )2( 12 1 xxxxxxxu nn n n 解 nn xxs )( ),( x )(lim xsnn nn x lim 1 ,1 1|,0 xx 收斂于內(nèi)在 1 )1,1( n nxxx1 收斂域 1 ,1 1|,0)( x xxf和函數(shù) 1,1( 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 問題 ： (1) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)； (2) 和函數(shù)的分析性質(zhì)。 對(duì)有限個(gè)連續(xù)、可積、可導(dǎo)函數(shù)的和仍相應(yīng)是 連續(xù)、可積、可導(dǎo) ,有很好的運(yùn)算法則 . 對(duì)無限個(gè)連續(xù)、可積、可導(dǎo)函數(shù)的和仍相應(yīng)是 連續(xù)、可積、可導(dǎo)？ 由上例 (2)知 1 ,1 1|,0)()()()( 12 1 x xxfxxxxxxu nn n n .1 ,1 1|,0)( 在其收斂域上不連續(xù) xxxf 進(jìn)一步討論和函數(shù)的性質(zhì)只在收斂條件下進(jìn)行不夠。 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 1,0(,2)()( 222 1 xxenxsxu xnn n n 的部分和又如：若 1,0(,0)( xxs ,可積連續(xù) dxxu n n 1 0 1 )( dxxs nn 10 )(l i m )()( 1 1 0 1 0 1 n k k n k k dxxudxxu由于 dxxun k kn )(l i m10 1 dxxs 10 )( dxxs nn )(l i m10 ,0 )( l i m)( l i m 1 1 0 1 0 1 n k kn n k kn dxxudxxu )1(l i m 2nnn e 1 dxxu n n 1 0 1 )( 1 10 )(n n dxxu 1 10 )(n n dxxu 結(jié)論： 即使和函數(shù)可積，求和函數(shù)的積分時(shí)也不能先 對(duì)每個(gè)函數(shù)積分后，再和 . 為此引進(jìn) 一致收斂 的概念 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 二、函數(shù)列的一致收斂 回顧： 上連續(xù)在數(shù)集函數(shù) Exf )( 處連續(xù)在 xxfEx )(, |)()(|),(,0 ,0, xfxfxUxEx 有當(dāng)),( x 上一致連續(xù)在數(shù)集函數(shù) Exf )( |)()(| ,|,0 ,0 xfxf xxExx 有 時(shí)當(dāng))( )()(l i m xfxf nn )()(,N ,0, xfxfNnNDx n有當(dāng)),( x 1 定義 9 滿足上函數(shù)列設(shè) ),(),( xfxfD n )()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當(dāng))( )()( xfDxf n 上一致收斂于在則稱函數(shù)列 Dxnxfxf n ),(),( )( :記為 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 命題： Dxnxfxf n ),(),( )( )1( 若 Dxnxfxf n ),(),()(則 由定義顯然可得 . (2) 反之不真 . Dxnxfxf n ),(),()( 若即 ).(),( )( nxfDxf n 上不一定一致收斂于在 ).(),( )( nxfDxf n 上不一致收斂于在 Dxnxfxf n ),(),( )( 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 例 3 判斷下列函數(shù)列在給定的區(qū)間上的一致收斂性 ),( ,2,1,s i n)( )1( xnn nxxf n 解 ),(,0)()(lim xxfxf nn ,N,1s i n)()( nnn nxxfxf n ,0 .1 即可取 N Rxn nx 0, s i n 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 1,1( ,2,1,)( )2( xnxxf nn 解 nn xxfxfx |)()(|,0 時(shí)當(dāng) 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 Dxnxfxf n ),(),( )( 0)11(,N,2 0 1 0 000 nnxnn故對(duì) 00 |)()(| 000 nn xxfxf 21)11( 0 n ,)11(,2m a x ,N,21 0 1 0 000 nnxNnN 取即 000 )()(0 xfxf n有 1,1(,1 ,1 1|,0)( xxxxf)( xf n從而 1,1(,1 ,1 1|,0)()( xxxxfxf n由前知 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數(shù)列 2. 幾何意義 )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有當(dāng) Dx 0先取定 x o y x0 f(x0) Nn 當(dāng)項(xiàng)數(shù)充分大即給定 ,0 的每一條曲線函數(shù)列 )( xf n . 2,)( )( 帶形區(qū)域內(nèi) 的寬為為中的函數(shù) 將位于以極限 xf xfy n )()( xfDxf n 上收斂于在函數(shù)列 的幾何意義呢？ 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 3. 函數(shù)列一致收斂的判別法 (1) Cauchy準(zhǔn)則 定理 1 上一致收斂在函數(shù)列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當(dāng) .)()( 未知的極限函數(shù)函數(shù)列 xfxf n 證 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當(dāng) )( xf n設(shè) Dxxf ),( 2)()(, xfxfDxNm m有 )()()()()()( xfxfxfxfxfxf mnmn )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當(dāng)即 )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當(dāng) ,)(, 收斂xfDx n Dxnxfxf n ),(),()(設(shè) mxfxf mn 中令在 )()( )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有當(dāng) )()( xfxf n )( xf n即 Dxxf ),( 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 3. 函數(shù)列一致收斂的判別法 (1) Cauchy準(zhǔn)則 定理 1 上一致收斂在函數(shù)列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有當(dāng) .)()( 未知的極限函數(shù)函數(shù)列 xfxf n )()( ,N,N,0 xfxf DxpNnN npn有 當(dāng) 雖然 Cauchy準(zhǔn)則，較用定義判別改進(jìn)一步，應(yīng)用時(shí) 往往也需要較復(fù)雜的技巧，操作上不理想的弱點(diǎn)。 (2) 上確界判別法 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數(shù)列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 證 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有當(dāng) )( xf n設(shè) Dxxf ),( )()( xfxf n Dxsup,Nn 當(dāng) 2 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 (2) 上確界判別法 )()( xfDxf n 上一致收斂于在函數(shù)列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 證 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 ,N ,0 NnN 當(dāng) )()( xfxf nDxsup ,)()(, xfxfDxNn n有當(dāng) )( xf n Dxxf ),( 此判別法涉及上確界的求法。 .,)()( 法可利用導(dǎo)數(shù)求最值的方上可導(dǎo)在、若 Dxfxf n 當(dāng)然也可以適當(dāng)放大，如下所述： )()( xfxf n Dxsup 若 0l i m , nnn aa 且 )( xf n Dxxf ),( 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 例 3 求下列函數(shù)列的收斂域，并討論一致收斂性 ),(,)(1)( )1( 2 xnxxxf n 解 )(lim xf n n 2)(1lim nx x n 0 進(jìn)一步考察一致收斂 )()( xfxf n ),( x)(xf 2)(1 | nx x )(12 1 2 22 nxn xn nan 2 1 021limlim na nnn由于 ),( x 2)(1)( nx xxf n ),( ,0)( xxf 也可以利用一致收斂的定義驗(yàn)證 . 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 ),(,)( )2( xxxf nn 解 )(lim xf nn 1,1(收斂域?yàn)?1 ,1 1|,0)( xxxf 進(jìn)一步考察一致收斂 )()( xfxf n 1 ,0 1|,| xxx n 1,1(supx )()( xfxf n ,1 nlim 1,1(supx )()( xfxf n ,01 .1,1()( 上不一致收斂在故 xf n .)1,1()( 上也不一致收斂在同理 nn xxf ),1,0( k但 ,supkkx )()( xfxf n , nk nlim )()( xfxf n 0lim nn k nn xxf )( , ,0)( kkxxf 內(nèi)閉一致收斂 完全與一致連 續(xù)性質(zhì)相似 ,supkkx 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 例 4 證明 )( xf n若 ,),( Dxxf )( xgn Dxxg ),( )()( xgxf nn 則 ,),()( Dxxgxf ,N ,0 11 NnN 當(dāng) ,2)()(, xfxfDx n有證 ,N 22 NnN 當(dāng) ,2)()(, xgxgDx n有 ,N,m ax 21 NnNNN 當(dāng)取 )()()()(, xgxfxgxfDx nn 有 )()()()( xgxgxfxf nn )()( xgxf nn 則 ,),()( Dxxgxf 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂 函數(shù)列一致收斂是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，收 斂?jī)H僅是局部性質(zhì)。 下面介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 . 1 定義 10 ,)()( 的部分和函數(shù)列是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè) xuxs nn )( xsn若 , ),( Dxxs )()( xsDxu n 上一致收斂于在則稱 )()(,N ,0 xsxsDxNnN n有當(dāng))( )()(,N )(,0 xsxsDxNmnN mn有當(dāng) )()( xsxs n Dxsupnlim 0 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂歸結(jié)為部分和函數(shù)列的一致收斂 . 由前討論可得： )()( xsDxu n 上一致收斂于在 )( xR n , ,0 Dx 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 以上方法只有在級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列能求得時(shí)可用， 然而有時(shí)求部分和函數(shù)列非常困難 . 2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法 (1) 必要條件 定理 3 ,)( 上一致收斂在若 Dxu n ( xun則 . ,0 Dx )()( ,N )(,0 1 xsxs DxNnN nn有 當(dāng) 事實(shí)上 ,)( 上一致收斂在若 Dxu n |)(| 1 xu n即 )( xun則 . ,0 Dx 0)1,1()( 上不一致收斂于在由于 nn xxu .)1,1( 上也不一致收斂在 nx .)1,1(, 上不一致收斂在但 kkx n 頁(yè)詳見 32P 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 (2) 優(yōu)級(jí)數(shù)法 Weierstrass法 定理 4 .)( 上一致收斂在則 Dxu n 此法類似于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法，將一致收斂轉(zhuǎn)化為 尋找一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,稱為 M-審斂法 . ).(,)( 級(jí)數(shù)為優(yōu)級(jí)數(shù)稱若 MMDxMxu nnn 證 由柯西收斂準(zhǔn)則即得 收斂nM N,N ,0 pNnN 當(dāng) pnnpnn MMMM 11 | pnnpnn MMxuxu 11 |)()(|即 ,2,1,)(, ,)( nDxMxuM xuD nnn n 使得正項(xiàng)級(jí)數(shù) 若存在一個(gè)收斂的上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 ,Dx .)( 上一致收斂在則 Dxu n 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 例 5 討論下列函數(shù)級(jí)數(shù)在給定的區(qū)間上的一致收斂性 , )1( 絕對(duì)收斂設(shè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) na .),(c o ss i n 一致收斂性在與討論 nxanxa nn |cos,si n nnn anxanxa 由于 收斂 na .),(cossi n 內(nèi)一致收斂在與 xnxanxa nn 解 .),(,1 )2( 1 25 n xxnnx 解 )1(1 252 3 2 5 25 xnn xn xn nx )1(2 1 252 3 25 xnn xn 2 3 2 1 n 收斂由于 1 232 1 n n .),(1 1 25 n xxnnx 一致收斂在 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 .),(),1(,c o s )3( 1 n p xpn nx一致收斂 例 5 討論下列函數(shù)級(jí)數(shù)在給定的區(qū)間上的一致收斂性 .),(,1s i n)1( )4( 1 2 n n x n nx一致收斂 .),1(,2 )1( )5( 1 n n n x x ),1(,1,12 1 2 )1( xn x nn n 收斂由于 12 1n .),1(2 )1( 1 內(nèi)一致收斂在 xx n n n .,)!1( )6( rrxn x n )!1()!1( n r n x nn 收斂 )!1( n r n 一致收斂 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，有方法可以判別形如 .)()( 1 上一致收斂在 Dxvxu n nn ,)( )1( 1 上一致收斂在設(shè) Dxu n n , )2( 是單調(diào)的數(shù)列 nvDx .)()( 1 上一致收斂在則 Dxvxu n nn 定理 5 (3) 阿貝爾判別法 ).(,N,0, )3( 稱為一致有界MvnDxM n ,)()( )1( 1 上一致有界在的部分和設(shè) Dxsxu n n n , )2( 是單調(diào)的數(shù)列 nvDx .)()( 1 上一致收斂在則 Dxvxu n nn 定理 6 (4) 狄利克雷判別法 )( 3)( xv n . ,0 Dx 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 例 6 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在給定區(qū)間上的一致收斂性 ),( ,)1( )1( )1( 2 21 xx x nn 1)1()( nn xu設(shè)解 nn x xxv )1()( 2 2 nxxun k k ),(,1)( 1 顯然 nnx x nx x x x n 1 1)1(0 2 2 2 2 2 2 由于 ,)1()(),( 22 單調(diào)遞減nn xxxvx )( xvn則 ),( ,0 x 由狄利克雷判別法 .),()1( )1( 2 21 內(nèi)一致收斂在 nnx x 下 頁(yè) 上 頁(yè) 返 回 ),0 ,)1( )2( 1 xn x n 例 6 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在給定區(qū)間上的一致收斂性 nxu n n )1()( 設(shè)解 xn nxv 1)( 收斂顯然 n n)1( .)1( 一致收斂 n n 單調(diào)遞減xn nxv 1)( ),0 x .110 一致有界 xn 由阿貝爾判別法 .),0)1( 1 上一致收斂在 x nn