高等數(shù)學(xué) 1 一 無(wú)窮小 二 無(wú)窮大 三 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 1.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大 高等數(shù)學(xué) 2 一 無(wú)窮小 (Infinitely Small Quantity) 1 定義 極限為 0的變量叫無(wú)窮小量 。 說(shuō)明： 注 1 不要認(rèn)為無(wú)窮小量是一個(gè)很小很小的數(shù) ； 注 2 一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小量，必須指明自變量的 變化趨勢(shì)； 注 3 0 是唯一可稱(chēng)為無(wú)窮小量的數(shù)。 時(shí)的無(wú)窮小稱(chēng)為數(shù)列特別地，以零為極限的 nx n xxx xxx 總有只要 為無(wú)窮小量時(shí)，：當(dāng)用極限的定義可敘述為 ,0,0,0 0 0 高等數(shù)學(xué) 3 例如 ： 0c oslim 2 x x ,lim 01 xx ,0)1(lim n n n 、時(shí) 31, xx 01 0 02 x c 、時(shí) 1,1 xx 01)1( 2 xx n 、 、如： nn 1, 0)1(1 0 05 2 qqn cn n、 高等數(shù)學(xué) 4 2 無(wú)窮小和極限的關(guān)系 證明 1） 不妨設(shè) Axfxx )(l i m 0 ,0,0 時(shí)，當(dāng) 00 xx Axf )(有 令 Axf )( （ 為 無(wú)窮小量） Axf )(則 ,)(l i m)1 Axf 若 ,)()2 Axf若 Axf )(lim則 則 當(dāng) 為 無(wú)窮小量，也有 =A+ 0 xx )(xf 定理 1 高等數(shù)學(xué) 5 ,0,0 .)( Axf 即有 例如： ,11lim x x x 有 xx x 111 其中 )(01 x x 時(shí)，當(dāng) 00 xx 所以， 以 A為極限 。 )(xf 2） 若 =A+，則 = -A, 為 無(wú)窮小 量 ,由于 為 無(wú)窮小量，故對(duì) )(xf )(xf 高等數(shù)學(xué) 6 思考題： 時(shí)，當(dāng) 0 xx 是無(wú)窮小)( x 是“當(dāng) 0 xx 時(shí) ， )(x 是無(wú)窮小”的 (A) 充分但非必要條件 ； (B) 必要但非充分條件 ； (C) 既非充分也非必要條件； (D) 充分必要條件 D 高等數(shù)學(xué) 7 二 無(wú)窮大 ,10 軸無(wú)限接近于時(shí)，函數(shù)當(dāng) yxyx y 無(wú)限增大，稱(chēng) xy 1 是一個(gè)無(wú)窮大量。 X 0 Y (Infinitely Large Quantity) 高等數(shù)學(xué) 8 時(shí)的無(wú)窮大或?yàn)楫?dāng)則稱(chēng)函數(shù) 總滿(mǎn)足不等式函數(shù)值 對(duì)應(yīng)的或適合不等式只要 或正數(shù)總存在正數(shù)不論它多么大正數(shù) 如果對(duì)于任意給定的大于某一正數(shù)時(shí)有定義或 義的某一去心鄰域內(nèi)有定在設(shè)函數(shù)定義 )( ,)(0 ,)(,)( .)( .2 0 0 0 xxxxf Mxf xf Xxxxx XM x xxf 是無(wú)窮大”，并記作我們也說(shuō)“函數(shù)的極限 在的，但為敘述方便，這時(shí)函數(shù)的極限是不存 )lim(lim 0 xfxf xxx 或 高等數(shù)學(xué) 9 注 1 無(wú)窮大量不是一個(gè)數(shù) ,不可與很大的 數(shù) 混為一談 . 無(wú)窮大量是一個(gè)變量，絕對(duì)值無(wú)限增 大的變量； 注 2 函數(shù)是無(wú)窮大量，必須指明其變化趨勢(shì) 。 比如 .01lim,1lim 0 xx xx 但 高等數(shù)學(xué) 10 上述定義也常常簡(jiǎn)記為 )(lim)1 0 xf xx ,0,0 M .)( Mxf 00 xx 當(dāng) 時(shí)，有 )(lim)2 xfx ,0,0 XM 時(shí)，當(dāng) Xx .)( Mxf 有 高等數(shù)學(xué) 11 1 1lim.2 1 xx 例證明 證 0 M Mx 11要使 Mx 11 只要 M1取 有時(shí)當(dāng) ,10 x Mx 11 11l i m 1 xx 的圖形的鉛直漸近線(xiàn)是直線(xiàn) xfyx 1 鉛直漸近線(xiàn) 的圖形的是則直線(xiàn)一般地若 xfyxxxf xx 0 ,lim 0 高等數(shù)學(xué) 12 注 3：無(wú)窮大量一定是無(wú)界量；但是無(wú)界量不一 定是無(wú)窮大量 。 例：證明函數(shù) xxy s in 在 ),0( 是無(wú)界的，但 x 時(shí)，不是無(wú)窮大量 。 證明 ： 取 0,2 nn ynx ,0),(,2 nn ynnx 不是無(wú)窮大 . ,22,212 nxfnxx nn 時(shí) 無(wú)界充分大時(shí)，當(dāng) ,Mxfn n 高等數(shù)學(xué) 13 20 40 60 80 100 -75 -50 -25 25 50 75 100 說(shuō)明：證明函數(shù)的極限不存在時(shí)，只須找 一串點(diǎn) , 使 的極限不存在。 nxxx , 21 )( nxf 高等數(shù)學(xué) 14 三 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 注 :（ 倒數(shù)關(guān)系） ,0)( 0)(lim)1 xfa n dxf .)(1l i m xf ,0)( )(l i m)2 xfa n dxf 則 .0)(1l i m xf 則 定理 2 高等數(shù)學(xué) 15 作 業(yè) 1 2 (2) 5 6 習(xí) 題 1-4 （ P41）