第3章 習(xí)題解答 第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動 3.1請思考下面關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動慣量的問題： （1）剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？ （2）“一個(gè)確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎？ 3.2 兩大小相同、質(zhì)量相等的圓盤，一個(gè)圓盤的質(zhì)量均勻分布，另一個(gè)圓盤的質(zhì)量主要集中在圓盤邊緣，兩圓盤繞通過圓心且垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動。問： （1）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個(gè)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度較大？ （2）如果它們的角加速度相同，哪個(gè)圓盤受到的力矩大？ （3）如果它們的角動量相等，哪個(gè)圓盤轉(zhuǎn)的快？ 3.3為什么質(zhì)點(diǎn)系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？ 3.7請判斷下面物理量中，哪些與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，哪些與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)： （1）位矢；（2）位移；（3）速度；（4）動量；（5）角動量；（6）力；（7）力矩 3.8 一質(zhì)量為M ，半徑為r 的勻質(zhì)圓盤旋轉(zhuǎn)時(shí)，在某一瞬間突然有一片質(zhì)量為m 的小碎片從圓盤的邊緣飛出，則飛輪的轉(zhuǎn)動慣量變?yōu)椋?） A 、212Mr B 、21()2M m r - C 、221 2 Mr mr - D 、不能確定 C 3.9在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，如果合外力矩的方向與角速度的方向一致，則以下說法正確的是（ ） A 、合力矩增大時(shí)， 物體角速度一定增大； B 、合力矩減小時(shí)， 物體角速度一定減??； C 、合力矩減小時(shí)，物體角加速度不一定變??； D 、合力矩增大時(shí)，物體角加速度不一定增大。 A 3.10一勻質(zhì)圓盤狀飛輪，質(zhì)量為20kg ，半徑為30cm ，當(dāng)它以每分鐘60轉(zhuǎn)的速率，繞垂直與圓盤面且通過圓盤圓心的軸轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，其動能為（ ） A 、2 16.2J π B 、2 8.1J π C 、8.1J D 、2 1.8J π D 3.11在自由轉(zhuǎn)動著的水平轉(zhuǎn)臺的邊緣站著一人，當(dāng)該人從邊緣沿徑向走到轉(zhuǎn)臺中心的過程中，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能（ ） A 、不變 B 、減小 C 、增加 D 、先減小后不變 C 3.12運(yùn)動員手握兩只啞鈴，站在無摩擦旋轉(zhuǎn)的水平平臺上，開始時(shí)此人兩手平握啞鈴，人、啞鈴、平臺組成的系統(tǒng)以角速度ω旋轉(zhuǎn)，隨后，此人將啞鈴下垂于身體兩側(cè)，在此過程中，下面說法正確的時(shí)（ ） A 、角動量守恒，機(jī)械能守恒； B 、角動量守恒，機(jī)械能不守恒； C 、角動量不守恒，機(jī)械能守恒； D 、角動量不守恒，機(jī)械能不守恒。 B 3.13一根長為 、質(zhì)量為M 的勻質(zhì)棒，自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上。現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的子彈以水平速度0v 射向棒的中心，并以02v 的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角為0 90，則0v 的大小為（ ） A B C D 、 22 163M g m A 3.14一質(zhì)量為m ，半徑為R 的勻質(zhì)薄圓盤，在水平面上繞通過中心且垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動。設(shè)圓盤與水平面之間的滑動摩擦因素為μ。若開始以角速度0ω旋轉(zhuǎn)，問： （1）圓盤停止轉(zhuǎn)動經(jīng)過多長時(shí)間？ （2）上述過程中摩擦力矩所作的功？ 解：（1）摩擦力矩 222dM r rdr g g r dr σπμπσμ=??= 式中，σ為質(zhì)量面密度。 32 20 2 2233 R m R M dM g r dr g mg R R πσμπμμπ====?? 而21 2 M I mR ββ== 所以2 2132 mg R mR μβ= 得角角速度為43g R μ β= 故00t ωβ=-?，0 34R t g ωμ ?= （2）根據(jù)動能定理有 222 00 11024 f A I mR ωω=-=- 3.15一根長度為l 均勻木棒，質(zhì)量為m ，可繞水平軸O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(無摩擦)，開始時(shí)棒水平靜止放置，當(dāng)棒在重力的作用下轉(zhuǎn)動到與水平方面成θ角時(shí)，求： (1) 力矩作功；(2) 桿的角的加速度；(3) 桿的角加速度。 解：(1)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動力矩作功的計(jì)算式 z dW M d θ= 式中 0 s i n (90)c o s 22 z M mg mg θθ= -= 所以 0cos sin 22 W mg d mg θθθθ==? (2) 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理 z M I β= 式中 2 13I m = 再利用 cos 2z M mg θ= 可得 3cos 2g βθ= (3) 利用機(jī)械能守恒： 21sin 22 I mg ωθ= 所以 ω= 3.16彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3-16所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N.m -1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg.m 2，半徑為0.30m ，問：當(dāng)6.0kg 質(zhì)量的物體落下0.40m （豎直高度）時(shí)，它的速率為多大？假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長。 解：當(dāng)物體落下0.40m 時(shí)，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能， 即 2 2 2222121r Iv mv kh mgh ++=， 將kg m 6=，2/8.9s kgm g =，m h 4.0=，2 5.0kgm I =，m r 3.0=代入，得 s m v /01.2= 3.17如圖3-17所示，物體1和2的質(zhì)量分別為1m 與2m ，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J ，半徑為r ，如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a 及繩中的張力1T 和2T (設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動，滑輪與轉(zhuǎn)軸無摩擦) 解： 以滑輪為研究對象：12T r T r J β-= 以物體1為研究對象：111m g T m a -= 以物體2為研究對象：222T m g m a μ-= 繩子與滑輪間無相對滑動：a r β= 聯(lián)立上面四式，可得 2222112212J m r m r T m g J m r m r μ++=++，22 112222 12J m r m r T m g J m r m r μμ++=++ 22 1222 12m r m r a g J m r m r μ-=++ 3.18一長=0.4m 、質(zhì)量1M kg =的勻質(zhì)細(xì)棒，可繞水平軸O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時(shí)，細(xì)棒處于自然豎直狀態(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量8m g =的子彈，以200/m s υ=的速率從A 點(diǎn)射入棒中，A 點(diǎn)與O 點(diǎn)的距離為34 ，如圖3-18所示。求： （1）棒開始運(yùn)動時(shí)的角速度； （2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點(diǎn)的角動量為 21 34 0.48L mvl kgm s -== 子彈射入后，整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為 222054.016 9 31kgm ml Ml I =+= 由角動量守恒有 s rad I L /88.8== ω ⑵子彈射入后，且桿仍然垂直時(shí)，系統(tǒng)的動能為 2 12 2.13W I J ω==動 當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角θ時(shí)，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為 ()()3 1241cos 1cos W Mgl mgl θθ?=-+-勢 由機(jī)械能守恒，勢動W W ?= 得 24.94=θ。 3.19 如圖3-19所示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度0ω作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J =510-5 kg m 2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s 的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑r =0.1m 的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?2ω所花的時(shí)間。 解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?02ω，由于砂粒落下時(shí)不能改變體系角動量，所以必須要使體系 的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即 J r m =2 沙粒。將2 5105m kg J ??=-和m r 1.0=代入得 kg m 3105-?=沙粒 所以 s s g kg t 5/11053=?= - 3.20一脈沖星質(zhì)量為1.51030kg ，半徑為20km 。自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/s ，并且以1.010-15r/s 的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減?。咳绻@一變化率保持不變，這個(gè)脈沖星經(jīng)過多長時(shí)間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。 解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為 2 52mr I = 轉(zhuǎn)動動能為 2 225121r m I W ωω== 轉(zhuǎn)動動能的變化率為 225dW d mr dt dt ω ω = ()2 30415250.4 1.510210 2.12 1.0102 1.9910/J s ππ-=?????????=? 由d dt ω α= ，t ωα=，得停止自旋所需要的時(shí)間為 151522.1/ 2.1101.010/r s t s r s ωα-= ==??