數(shù)學(xué)分析作業(yè)參考答案 山東師范大學(xué)成人高等教育數(shù)學(xué)分析課程綜合作業(yè)（參考答案）一、 選擇題(本題共10小題，每題1分, 共10分） 2222224, 01.(,) 0, 0x x y x yf x y x y ?+?+=?+=?在原點(diǎn)間斷, 是因?yàn)樵摵瘮?shù)( B ). (A) 在原點(diǎn)無定義。(B) 在原點(diǎn)二重極限不存在。 (C) 在原點(diǎn)有二重極限,但無定義。(D) 在原點(diǎn)二重極限存在,但不等于函數(shù)值。2、若2211x y I +=?,22212x y I +=?,22324x y I +=?,則下列關(guān)系式成立的是( A ). (A) 123I I I >> ； (B) 213I I I >> ； (C) 123I I I3、2222003sin()lim x y x y x y +的值為( C ). (A) 2 (B) 0 (C) 3 (D)不存在 4、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函數(shù)),(y x f 在點(diǎn)),(00y x 可微的( A ). (A) 必要非充分的條件 (B) 充分非必要的條件 (C) 充分且必要的條件 (D) 即非充分又非必要的條件5、由曲面z x y =-422和z =0及柱面x y 221+=所圍的體積是( D ). (A)d d r r r42 2 2-? (B)204d r? (C) 20 d r?(D)44201 2d d r r r-? 6、設(shè)),(z t z y y x f u -=，則=?+?+?+?tuz u y u x u （ D ）. (A) 12f (B) 22f (C) 32f (D) 0 7、函數(shù)()33ln y x z +=在（1，1）處的全微分=dz （ C ）。A dy dx +；B ()dy dx +2；C ()dy dx +23； D ()dy dx +3 8、 設(shè)D 為：222R y x +，二重積分的值?+Ddxdy y x 22=（ C ）。 A 2R ； B 22R ； C 332R ； D 421R 9、 函數(shù)2221zy x u +=在點(diǎn))1,1,1(處最大方向?qū)?shù)為（ D ）（A ）21； (B) 31； (C)； (D) 31 10、 圓弧1=r 以外與圓弧cos 2=r 以內(nèi)的平面圖形的面積可表示為（ B ）(A)?cos 214 rdr d ； (B) ?cos 21302rdr d ； (C) ?cos 2160rdr d ； (D) ?1cos240rdr d 二、填空題(本題共10小題，每題1分, 共10分）1、函數(shù))ln(22x y yx z -+=的定義域?yàn)?2(,),1x y y x y x >- 2、已知22(,)y f x y x yx +=-,則=),(y x f 2(1)1x y y -+.3、已知 =?+-dx ex 2, 則=?+-dx e x x 21 . 4、函數(shù)22(,)1f x y x xy y y =+-+在)32,31(-點(diǎn)取得極值.5、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(+=,則=)0,1(x f 1.6、設(shè)xye z =，則=)1,1(dz )(dy dx e + . 7、函數(shù)),(y x f 在點(diǎn)),(y x P 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是),(y x f 在該點(diǎn)可微的 充分非必要 條件.8、 交換積分次序：?-1 10),(xdy y x f dx=?-1 10),(ydx y x f dy 9、 已知2221zy x u +=，則=?+?+?222222z uy u x u 010、 球面169222=+z y x 在點(diǎn)12,4,3處的切平面方程為1691243=+z y x 三、簡答題(本題共4小題，每題5分, 共20分）1、敘述有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性與最值性定理、一致連續(xù)性定理以及介值性定理。2、敘述隱函數(shù)存在唯一性定理。3、敘述二重積分的定義與性質(zhì)。 4.敘述高斯公式和斯托克斯公式。四計(jì)算題(本題共6小題，每題10分, 共60分） 1、計(jì)算DI dxdy =?，其中D 由0,1x y y x =及圍成。解：此三條直線的交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,1)，(0,0)，所圍區(qū)域如下圖。 先對x 后對y 積分：111 12yxI dy dx dx dy =?2、 計(jì)算xdxdydz ?，其中 是三個坐標(biāo)面與平面 x + y + z =1所圍成的區(qū)域解 畫出區(qū)域 D ： 0101y xx - x d x d y d z? 11100 x yx dxdy xdz -=? 110 (1)x dxx x y dy -=-?12011(1)224x x dx =-=?3、 計(jì)算?d d ,Sz x y 其中 S 是球 面+=2221x y z 在0,0x y 部分并取球面的外側(cè)。解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分別為 =1122:,:.S z S z它們在 xy 平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分. 因積分是沿1S 的上側(cè)和2S 的下側(cè)進(jìn)行, 故=+?12d d d d d d SS S z x y z x y z xy(=-?()()d d d xy xy D D x y x y =?()2d xy D x y =?120 2d =.3rr 4、 計(jì)算下列第一型曲面積分：22(),Sx y z ds +-?其中S 為1,z = 221.x y + 解: S 由平面構(gòu)成:2:1,S z = 221.x y +2212222200()(1)(1).2S Dx y z ds x y dxdy d r rdr +-=+-=-?=-? 5、 計(jì)算積分22()(),Sy x z dydz x dzdx y xz dxdy -+?其中S 是邊長為a 的正方體V 的表面并取外側(cè).解 ： 應(yīng)用高斯公式 , 有22()()()Vy x z x y xz dxdydz x y z?-+? ()()a aVy x dxdydz dy y x dx =+=+?2401().2a a ay a dy a =+=?6、 驗(yàn)證曲線積分()()()Ly z dx z x dy x y dz +?與路徑無關(guān) , 并求被積表達(dá)式的原函數(shù)(,)u x y z .解：由于 ,P y z Q z x R x y =+=+=+1,P Q Q R R Py x z y x z?=? 所以曲線積分與路徑無關(guān). 取0M M ，從M 沿平行于x 軸的直線到100(,)M x y z ，再沿平行于y 軸的直線到20(,)M x y z ，最后沿平行于z 軸的直線到3(,)M x y z . 于是 0 000(,)()()()xy zx y z u x y z y z ds z x dt x y dr =+?000000000()()()()()()y z x y z x z x y z x y x y z x y z =+-+-+-+,xy xz yz c =+其中000000c x y x z y z =-是一個常數(shù).若取為原點(diǎn)，則得 (,).u x y z xy xz yz =+