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傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明

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傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明

4.3 傅里葉變換的性質(zhì) 主要內(nèi)容 對(duì)稱性質(zhì) 線性性質(zhì) 奇偶虛實(shí)性 尺度變換性質(zhì) 時(shí)移特性 頻移特性 微分性質(zhì) 時(shí)域積分性質(zhì) 意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了 信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì),目的在于: 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系; 用性質(zhì)求 F(); 了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。 )()( Ftf 若 ftF 2則 ftF 2則 一對(duì)稱性質(zhì) 1性質(zhì) 2 意義 tFtF )()( 相同,形狀與若 2 , )( 幅度差 形狀相同,的頻譜函數(shù)形狀與則 ttftF 為偶函數(shù)若 tf jF 1 二線性性質(zhì) 1性質(zhì) 2例 )()(,)()( 2211 FtfFtf 若 為常數(shù)則 2122112211 ,)()()()( ccFcFctfctfc tu ts g n 2 1 2 1 三奇偶虛實(shí)性 由定義 可以得到 )(d)()( j FtetftfF t )(d)(d)()( jj FueuftetftfF ut )()()()( FtfFtf ,則若 證明: )()()()( FtfFtf ,則若 四尺度變換性質(zhì) 意義 為非零函數(shù)則若 aaFaatfFtf ,1),()( (1) 0a1 時(shí)域壓縮,頻域擴(kuò)展 a倍。 FFtftfa , 1 )3( 說(shuō)明 說(shuō)明 說(shuō)明 3意義 o E 2 F 2 o t 2 t f E o E2 22 F (1) 0a1 時(shí)域壓縮,頻域擴(kuò)展 a倍。 )()(j)( * FXR 為奇函數(shù)為偶函數(shù) XR , )(j)()( XRF 共軛為實(shí)函數(shù)時(shí)當(dāng) *, FFtf * , 1 )3( FFFtftfa ),()( Ftf 若 ;)()( 0j0 teFttf 則 )()()( jeFF 若 0)(j0 )()( teFttf 則 五時(shí)移特性 0 0 0 t tt 左 右相移 幅度頻譜無(wú)變化,只影響相位頻譜, )()( Ftf 若 a b eaFabatf j1 則 的證明過(guò)程仿 t aat 1 時(shí)移加尺度變換 )()( Ftf 若 號(hào)為常數(shù),注意則 0 0 j 0 j )( )( 0 0 Fetf Fetf t t 2證明 1性質(zhì) 六 頻移特性 teetfetf ttt d)()( jjj 00 F tetf t d)( 0j 0F 3說(shuō)明 4應(yīng)用 )( F O O )( 0 F 0 0 )( 0 F 0 0j ,)( 0 右移頻域頻譜搬移乘時(shí)域 tetf 0j ,)( 0 左移頻域頻譜搬移乘時(shí)域 tetf 通信中調(diào)制與解調(diào),頻分復(fù)用。 七微分性質(zhì) 時(shí)域微分性質(zhì) 頻域微分性質(zhì) )(j)()()( FtfFtf ,則 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 則 dd)( Ftjtf nnn Ftfjt dd)( 或 nnn Ftft j)( 1時(shí)域微分 注意 )(j)()()( FtfFtf ,則 )(j )( Ftf nn 一般情況下 nn tfFF j )(則 ,若已知 )(tfF n :)(j)( FtfF 090j,相位增加 幅度乘 注意 如果 f(t)中有確定的直流分量,應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里 變換,余下部分再用微分性質(zhì)。 j 1 t j 1 )(,1t ),s g n ( 2 1 2 1 )()( 2 1t 222 2 u tftftf ttutf Fu 微分 余下部分 直流 2 1 o t tf 1 1 o t tu o t t tftu d d 1 1 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 則 dd)(j Fttf 或 nnn Ftft dd)(j 2頻域微分性質(zhì) 或 nnn Ftft j)( 推廣 八時(shí)域積分性質(zhì) ,則若 Ftf jd00 FfF t 時(shí), j0d00 FFfF t 時(shí), 也可以記作: )( j 1)( F 證明 atfF atfF aFaatfF 1 綜合上述兩種情況 teatfatfF tdj因?yàn)?xataxtatxa d1d,0 ,令當(dāng) x a tx aa x ttaatx aaa d 1 d, 1 , ,0 令 ,當(dāng) aFa 1 xexfa a x d1 j aFa 1 xexf a xa d1 j xexfa a x d1 j 等效脈沖寬度與等效頻帶寬度 O t 0f tf O 0F F B 0d fttf BFF 0d d 2 1 d 2 1 0 0 j F eFf t t ttfF d0 1 2 fBB 等效脈沖寬 度與占有的 等效帶寬成 反比。 例 3-7-1 t1即 , 1t 21tF tj2則 ,j2) s g n ( tF已知 例 3-7-2 )sgn (2 )s g n (j 相移全通 網(wǎng)絡(luò) 2Sa22 EFtutuEtf tc , 2 Sa 2 2 Sa 2 1 22 t E t EtFuuEf cc c c cc 例 3-7-3 ,若 02 c 的方波 寬度為 02 )()S a ( 02 0 0 Gt 則有 例 3-7-4(時(shí)移性質(zhì),教材 3-2) 求圖 (a)所示三脈沖信號(hào)的 頻譜。 tf t 2 2 TT E ( a ) 三 脈 沖 信 號(hào) 的 波 形 解: ,0 0 F tf 信號(hào),其頻譜函數(shù) 表示矩形單脈沖令 2Sa0 EF 2 0 F E O ( b ) ,2a 4Sa222 12 EFtf 例 3-7-9 2 5j 4Sa252 eEtf (向右)時(shí)移,對(duì) 255 tb 的頻譜密度函數(shù)。,求已知 522Sa tfEFtf 方法一:先標(biāo)度變換 , 再時(shí)延 5j2Sa55 eEtft (向右):時(shí)移對(duì) 2 5j 4Sa2522 eEtf:壓縮對(duì)所有 方法二:先時(shí)延再標(biāo)度變換 相同 例 3-7-6(教材例 3-4) 已知矩形調(diào)幅信號(hào) ,c o s0ttGtf 試求其頻譜函數(shù)。脈寬為 ,為為矩形脈沖,脈沖幅度其中 , EtG 為的頻譜已知矩形脈沖 GtG 2Sa EG 解: 因?yàn)?tt eetGtf 00 jj21 為頻譜根據(jù)頻移性質(zhì), Ftf 00 2 1 2 1 GGF t tf o 2 2 E ( a ) 矩 形 調(diào) 幅 信 號(hào) 的 波 形 頻譜圖 2 Sa 22 Sa 2 2 1 2 1 00 00 EE GGF 0二,向左、右各平移將包絡(luò)線的頻譜一分為 2 0 0 O 0 2 E F ( b ) 矩 形 調(diào) 幅 信 號(hào) 的 頻 譜 求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 例 3-7-5 o tf t 2 2 E o F 2E 44 分析 o tf t 2 2 E 方波三角形函數(shù) 求導(dǎo) o tf t 2 2 E2 沖激函數(shù)方波 求導(dǎo) o tf t 2 2 E2 E2 E4 X FF 22j 2j2j2 2421 eEEeEF tetEtEtEtfF td 2 24 2 2 j 2j2j 2 2 21 ee E 2 2 2 4j4j 2 4s inj2 22 EeeE 2 2 2 2 2 4 Sa 2 4 4 4 s i n 8 EE 2j2j 242 eEEeE 第 29 頁(yè) X 例 3-7-8 tftF 2 解: ?,求已知 tftFFtf 2)()( FF 2 d dj tfttfF 2 1 nn tt F21 d dj1 Ft 例 3-7-9 解: 2 2 d djj1 Ftt nnnnnnn Ft d2djddj1 ntF求 例 3-7-10 1. 求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 t tttu d)()( 已知 1)( t )(j11)(j1)( tu則 2Sa)( tG 00)0S a ( F,知由 2Sajd t GF 2 Sajd t G t )( 1 tG O2 2 積分的頻譜函數(shù)。求門函數(shù) tG .2 t )( tG O2 2 1 解: 解: 證明 設(shè) f(t)是實(shí)函數(shù)(為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似,略) tetfF t d)()( j tttftttf dsi njdc os 顯然 tttfX tttfR ds i n dc o s RR 的偶函數(shù)關(guān)于 FF FtfF已知 FtfF XX 的奇函數(shù)關(guān)于 證明 tebatfF td)( j1 x aeexfF a bx a d1)( jj 1 a b eaFa j1 a bx aa bxt eeee jjjj xaeexfF a bx a d1)( jj 1 xeexfa a bx a d)(1 jj a bx aa b eaFaxexfea jjj 1 d)(1 xatabxtxbata d1d,0 則設(shè)時(shí)當(dāng) xatabxabxtxbataaa d1d,0 則設(shè)時(shí)當(dāng) 證明 tef tt dd j tetuf tdd j 變上限積分用帶時(shí)移的 單位階躍的無(wú)限積分表 示 , 成為 tutf ddj tetuf t交換積分順序 , 即先求時(shí)移的單位階躍 信號(hào)的傅里葉變換 后先 t d j 1 j ef 常數(shù),移到積分外 為而言對(duì)積分變量 續(xù) d j 1 j ef dj1 j ef F j 1 FF j1 j0 FF 則第一項(xiàng)為零如果 ,00 F j0j1d FFFft j 1Ftutf 續(xù) d)(21)( j teFtf dj)(21 j teFtf )(jj)()( FFtf )(j)( FtfF 證明 即 (flash)

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