3. 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比 （ 速度 關(guān)系） 3.1 引例 例 3-1 圖示 R-P平面機(jī)械手，有兩個(gè)關(guān)節(jié)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)（ ），一個(gè)移 動(dòng)關(guān)節(jié)（ r）。 運(yùn)動(dòng)方程為 方程兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo) 寫成矩陣形式 s in c os ry rx s inc o s c o ss in rry rrx T y x X T r q s inc o s c o ss in r rJ qJX rr r y x s inc o s c o ss in 運(yùn)動(dòng)方程為 方程兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo) 寫成矩陣形式 s in c os ry rx s inc o s c o ss in rry rrx T y x X T r q s inc o s c o ss in r rJ qJX rr r y x s inc o s c o ss in rx c o s r rx 01 c o ss in 01 c o ss in rJ 例 3-2 圖示 2R平面機(jī)械手，有兩個(gè)平行的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) (1, 2) 運(yùn)動(dòng)方程為 方程兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo) 寫成矩陣形式 21211 21211 s ins in c o sc o s lly llx 2212121211 2212121211 c o sc o sc o s s i ns i ns i n llly lllx qJX 21221211 21221211 c o sc o sc o s s i ns i ns i n lll lllJ 2 1 21221211 21221211 c o sc o sc o s s i ns i ns i n lll lll y x 逆雅可比矩陣為 ，即 2 0或 時(shí)處于奇異狀態(tài)，此時(shí)完全 伸直或完全縮回。 當(dāng) l1l2時(shí)，可達(dá)工作空間為兩個(gè)同心圓中間的部分，半徑 分別為 l1 l2和 l1-l2。 在邊界上機(jī)器人處于奇異形位（ singular configuration）， 速度關(guān)系方程變?yōu)?(若 2 0) 退化為一個(gè)自由度，其末端只能沿圓切線方向運(yùn)動(dòng)。 0s in 221 llJ 2121121211 212212 221 1 s i ns i nc o sc o s s i nc o s s i n 1 llll ll llJ 2 1 12121 12121 c o sc o s s ins in lll lll y x 1 2 l 1 l2 l 1+ l2 l1- l2 逆雅可比矩陣為 ，即 2 0或 時(shí)處于奇異狀態(tài)，此時(shí)完全 伸直或完全縮回。 當(dāng) l1l2時(shí)，可達(dá)工作空間為兩個(gè)同心圓中間的部分，半徑 分別為 l1 l2和 l1-l2。 在邊界上機(jī)器人處于奇異形位（ singular configuration）， 速度關(guān)系方程變?yōu)?(若 2 0) 退化為一個(gè)自由度，其末端只能沿圓切線方向運(yùn)動(dòng)。 0s in 221 llJ 2121121211 212212 221 1 s i ns i nc o sc o s s i nc o s s i n 1 llll ll llJ 2 1 12121 12121 c o sc o s s ins in lll lll y x 1 2 l 1 l 2 l 1 + l 2 l 1 - l 2 逆雅可比矩陣為 ，即 2 0或 時(shí)處于奇異狀態(tài)，此時(shí)完全 伸直或完全縮回。 當(dāng) l1l2時(shí)，可達(dá)工作空間為兩個(gè)同心圓中間的部分，半徑 分別為 l1 l2和 l1-l2。 在邊界上機(jī)器人處于奇異形位（ singular configuration）， 速度關(guān)系方程變?yōu)?(若 2 0) 退化為一個(gè)自由度，其末端只能沿圓切線方向運(yùn)動(dòng)。 0s in 221 llJ 2121121211 212212 221 1 s i ns i nc o sc o s s i nc o s s i n 1 llll ll llJ 2 1 12121 12121 c o sc o s s ins in lll lll y x 1 2 l 1 l2 l 1+ l2 l1- l2 從例子可以看出： （ 1）將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可得到它的 雅可比矩陣和逆雅可比矩陣； （ 2）雅可比矩陣表示從關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)到操作空間運(yùn)動(dòng)速 度傳遞的廣義傳動(dòng)比； （ 3）用雅可比矩陣可以判別機(jī)器人的奇異形位； （ 4）用雅可比矩陣可以分析機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特征和動(dòng)力學(xué) 特征。 雅可比矩陣具有如下特點(diǎn)： （ 1）依賴于機(jī)器人形位 q的線性變換矩陣； （ 2）不一定是方陣，可能是長(zhǎng)矩陣（冗余驅(qū)動(dòng)），也可能 是高矩陣（欠驅(qū)動(dòng)或少自由度） ； （ 3）其行數(shù)等于機(jī)器人在操作空間的維數(shù)（平面 3行，空間 6行），列數(shù)等于關(guān)節(jié)數(shù)； 對(duì)于一般的 6自由度機(jī)器人，其雅可比矩陣的計(jì)算比較 復(fù)雜。操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度具有如下形式 qqJv 雅可比矩陣的含義： （ 1）空間操作臂雅可比矩陣的前 3行代表對(duì)手爪線速度的傳 遞，后 3行代表對(duì)手爪角速度的傳遞，每一列代表相應(yīng)的 關(guān)節(jié)速度對(duì)手爪線速度和角速度的影響。 （ 2）手爪的線速度和角速度為關(guān)節(jié)速度的線性函數(shù) （ 3）機(jī)器人的雅可比矩陣可寫成分塊的形式 式中： JLi代表第 i個(gè)關(guān)節(jié)的速度引起的手爪的線速度； JAi代表第 i個(gè)關(guān)節(jié)的速度引起的手爪的角速度。 n n n q q q qJqJqJ qJqJqJ v 2 1 AA2A1 LL2L1 雅可比矩陣的確定通常采用兩種構(gòu)造性的方法： （ 1）矢量積法 基于矢量的叉積推導(dǎo)機(jī)器人的雅可比， 是相對(duì)于基坐標(biāo)系表示的； （ 2）微分變換法 利用操作空間與關(guān)節(jié)空間中的微分運(yùn) 動(dòng)關(guān)系構(gòu)造機(jī)器人的雅可比，是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系（通常 為末端坐標(biāo)系）表示的。 在給出兩種構(gòu)造性方法之前，分別先介紹相關(guān)的 理論基礎(chǔ)。 3.2 變換矩陣的導(dǎo)數(shù) 3.2.1 反對(duì)稱矩陣 設(shè) S是一個(gè) n n的矩陣，如果 S滿足 ，則稱 S為 反對(duì)稱矩陣 。 反對(duì)稱矩陣 的對(duì)角線矩陣為 0，只有 n個(gè)獨(dú)立元素； 定義 3 3反對(duì)稱矩陣空間 so(3)， ，有如下形式 0 TSS 0 0 0 12 13 23 ss ss ss S 反對(duì)稱矩陣與矢量有如下關(guān)系 0 0 0 xy xz yz aa aa aa S a 3soS 其中： ， S可看作是對(duì)矢量 a的運(yùn)算算子 T zyx aaaa 反對(duì)稱矩陣的性質(zhì) （ 1）算子 S的運(yùn)算是線性的，即對(duì)于 ，和任意標(biāo)量 ，有 （ 2）反對(duì)稱矩陣與矢量 叉乘 的關(guān)系：對(duì)于 ，有 （ 3）對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣 和 ，有 3, Rba , baba SSS 3, Rpa papa S 3Ra RaRaR SS T R 反對(duì)稱矩陣的性質(zhì) （ 1）算子 S的運(yùn)算是線性的，即對(duì)于 ，和任意標(biāo)量 ，有 （ 2）反對(duì)稱矩陣與矢量 叉乘 的關(guān)系：對(duì)于 ，有 （ 3）對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣 和 ，有 3, Rba , baba SSS 3, Rpa papa S 3Ra RaRaR SS T R 旋轉(zhuǎn)矩陣 ，滿足 以下性質(zhì)： 的各列（各行）是 互相垂直的 的每一列（每一行） 都是單位向量 )3(SOR )3(1 SOT RR R R 1det R 反對(duì)稱矩陣的性質(zhì) （ 1）算子 S的運(yùn)算是線性的，即對(duì)于 ，和任意標(biāo)量 ，有 （ 2）反對(duì)稱矩陣與矢量 叉乘 的關(guān)系：對(duì)于 ，有 （ 3）對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣 和 ，有 證明：利用 和性質(zhì)（ 2），有 （ 4）對(duì)于 ，有 3, Rba , baba SSS 3, Rpa papa S 3Ra RaRaR SS T RbRabaR bRa bRa bRRRa bRaRbRaR S S T TT nRnso XS , 0SXX T R 3.2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的導(dǎo)數(shù) 設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣 R是關(guān)于單變量 的函數(shù) （旋轉(zhuǎn)變換通式） ，有 IRR T 將上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得 0 TT d dd d RRRR 定義矩陣 S為 Tdd RRS 因?yàn)?，有 ，所以 TT dd RRS 0 TSS 3soS 將矩陣 S 右乘旋轉(zhuǎn)矩陣 R ，得到 SRR dd 用定義式求解 S 同理，當(dāng) R Ry,和 R Rz,分別有 和 iS S 010 100 000 c o ss i n0 s i nc o s0 001 s i nc o s0 c o ss i n0 000 對(duì)于 R Rx,，有 Tdd RRS jS S kS S 對(duì)于一般情況 R RK,，利用旋轉(zhuǎn)變換通式，有 0 0 0 xy xz yz kk kk kk S KS 3.2.3 角速度 設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣 R是關(guān)于單變量 的函數(shù)，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有 tS tSdtdtSdtdtd dt R RKRKRR 其中 K S kk kk kk S xy xz yz xy xz yz 0 0 0 0 0 0 對(duì)于多級(jí)旋轉(zhuǎn)變換 RRR 1 20102 RRRRR 1201120102 RRRRR 122,110112011,00022,00 SSS RRRRRRR 1201012,110112011,00022,00 TSSS RRRRRR 12012,110112011,00022,00 SSS RRRR 022,1101021,00022,00 SSS 2,11011,002,00 R SSS 利用 ，得到 baba SSS 2,11011,002,00 R 進(jìn)一步擴(kuò)展，得到 nn nn n nn ,1 0 2,1 0 1,0 0 ,1 10 12,1 10 11,0 0 ,0 0 RR 2,11011,002,00 R SS 對(duì)于齊次變換矩陣 10 00 0 nn n PRT 由其中的旋轉(zhuǎn)矩陣 即可求得上述角速度關(guān)系式，它表示末端連 桿角速度與各相鄰連桿間角速度的關(guān)系。 R0n 3.2.4 線速度 設(shè)末端手抓在坐標(biāo)系 n中的位置矢量為 ，通過(guò)齊次變換得到 將 展開(kāi) enP nenne PPRP 000 enne PRP 00nP0 將其求導(dǎo)得到末端手抓的線速度 0 21011010 1 0 2 10 1 10 1 00 PRPRPR PPRPRPRP n n ne n n n n ne n ne 21011,001011,000,00 1 0 2 10 1 10 1 00 PRPRPR PPRPRPRP SSS nnnnennn n n ne n ne 2,101,00,101,202,101,00,0,102,101,00 1 0 2 10 1 10 1 00 PPP PPRPRPRP SSS nnnnennn n n ne n ne ennnnnennnen n n ne n ne SSS ,0,103,20,10,02,102,10,10,01,00 1 0 2 10 1 10 1 00 PPPPPPP PPRPRPRP ennnee n n ne SSS ,0,10,202,10,101,00 10 12 10 11 00 PPP PRPRPP 102101101 PPRPR nnn nnnn PRP 1010 10 nP 120210 nnnn PRP 20 P 10210120 PPRP 3.2.5 機(jī)械臂末端手爪的速度 末端手抓的角速度與連桿 n的角速度一樣； 末端手抓的線速度是指手爪上的點(diǎn) e的速度； ( 2 ) , 0 ,1 010 1 ,2 0 2,1 0 2 10 1 ,1 0 1,0 0 1 00 ennnn n n e ee S S S PPR PPR PPP ( 1 ) ,11012,11011,00,00 nnnnn RR 當(dāng)關(guān)節(jié) i為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上面 (1)式中 上面 (2)式中 0,1101 iiii R 當(dāng)關(guān)節(jié) i為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上面 (2)式中 0,0,10 eiiiS P 0101 iii PR ( 2) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , 000 2,2 0 2 0 22 0 1,1 0 1 0 11 0 , 0010 1,2 0 22 0 2 1 2 0 1,1 0 11 0 1 0 1 0 nennnnee ennnn n nneee ddd SdSdSd PZZPZZPZZ PZRRPZRRPZRP ( 1) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 22 0 11 0 10 12 1 2 0 11 0 1,0 0 nn n n nnn ZZZ RRRRR 當(dāng)關(guān)節(jié) i為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí) 0i 當(dāng)關(guān)節(jié) i為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí) 0 id 以關(guān)節(jié) i為研究對(duì)象； 根據(jù)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)形式的不同： （ 1） 移動(dòng)關(guān)節(jié) i以速度 運(yùn)動(dòng)，末 端手爪的線速度與 Zi軸方向相同， 角速度為零 雅可比矩陣的第 i列 （移動(dòng)關(guān)節(jié)） Zi通過(guò)計(jì)算 并取其第 3列前 3個(gè) 元素組成矢量來(lái)獲得 iq eiP i i q 0 Z v 0ii ZJ T0i iq 3.3 矢量積法求雅可比 1972年 Whitney基于參考坐標(biāo)系的概念提出來(lái)的。 （ 2） 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) i以速度 運(yùn)動(dòng)，末端 手爪 產(chǎn)生的角速度為 ， 產(chǎn)生的線速度為 雅可比矩陣的第 i列 (移動(dòng)關(guān)節(jié) ) 為末端手爪坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo) 系 i的位置矢量在 0中的表示； 為末端手爪坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo) 系 i的位置矢量在 i中的表示； 可通過(guò)取 中的位置矢量獲得， 進(jìn)而通過(guò)公式 獲得 Zi通過(guò)計(jì)算 并取其第 3列前 3個(gè) 元素組成矢量來(lái)獲得 iq eiP iq ii qZ 0eiii q PZv i e i ii i e i i i Z PRZ Z PZJ 00 0eiP eiP eiP T ie eiiei PRP 00 0eiP T0i 矢量積法求雅可比矩陣的步驟： 建立連桿坐標(biāo)系，求得 從關(guān)節(jié) 0開(kāi)始計(jì)算 按照上面的方法對(duì)移動(dòng)關(guān)節(jié)和轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)分別求得 然后組成 矢量積法得到的雅可比矩陣是相對(duì)于參考坐標(biāo)系的； 如果想獲得動(dòng)坐標(biāo)系（手爪坐標(biāo)系）的速度，可進(jìn)一步做 如下變換 、T01 qqJRRvRRv e e e e e e 0 0 10 10 0 0 0 0 、T12 、T1i i 、T1n n Tne 、T0i Tie iJ qJqJqJ qJqJqJJ n n AA2A1 LL2L1 3.4 微分轉(zhuǎn)動(dòng)與角速度 繞 X軸、 Y軸或 Z軸轉(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別是 c o ss in0 s inc o s0 001 ,R X c o s0s in 010 s in0c o s ,R Y 100 0c o ss in 0s inc o s ,R Z 角度 很小時(shí)，把它當(dāng)成微量，稱為微分轉(zhuǎn)動(dòng)。 繞 X、 Y、 Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分角度記為 x、 y、 z。 根據(jù)下列性質(zhì) 微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換為 1c o s,1c o s,1c o s s in,s in,s in zyx zzyyxx 10 10 001 ,R x xxX 10 010 01 ,R y y yY 100 01 01 ,R z z zZ 微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換可以看成是以上三個(gè)變換的復(fù)合作用，將三 個(gè)矩陣相乘，并略去高階（ 2）微量，得 根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換通式，得到微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換的另一種形式 二者是等價(jià)的 1 1 1 ,R,R,R xy xz yz zyx ZYX 1 1 1 ,R xy xz yz kk kk kk K 對(duì)比兩種微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣，可以得到如下關(guān)系 微分旋轉(zhuǎn)變換具有以下性質(zhì)： （ 1）具有交換律（一般旋轉(zhuǎn)變換不具有這一性質(zhì)） （ 2）繞任一矢量的微分轉(zhuǎn)動(dòng)與繞 X、 Y和 Z軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)等 價(jià)。 zzyyxx zyx zzyyxx kkk kkk , , 222 xyyx XYYX ,R,R,R,R 利用微分轉(zhuǎn)動(dòng)推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的導(dǎo)數(shù) 可看成是 經(jīng)過(guò)微分旋轉(zhuǎn)變換得到的 進(jìn)一步 tttt tz z ty y tx x t limlimlimlim 0000 , z y x z y x k k k t t t ttt tt RRRR limlim 00 tt R tR ttt RKR ,R tt RR 稱為微分旋轉(zhuǎn)算子 旋轉(zhuǎn)矩陣的導(dǎo)數(shù) 角速度算子矩陣 如果已知旋轉(zhuǎn)變換矩陣表達(dá)式，計(jì)算 ，并與 對(duì) 應(yīng)元素相等，可得剛體的角速度 0 0 0 ,R 3 xy xz yz kk kk kk IK tSt tt t tt RRRR l i ml i m 00 0 0 0 xy xz yz S 1RR S xyxyxyz zxzxzxy yzyzyzx aaoonn aaoonn aaoonn 3.5 微分運(yùn)動(dòng)與廣義速度 微分運(yùn)動(dòng)：微分移動(dòng)和微分轉(zhuǎn)動(dòng) 對(duì)應(yīng)廣義速度（線速度和角速度） 操作臂由位姿 T(t)經(jīng)過(guò)微分轉(zhuǎn)動(dòng)和微分移動(dòng)后到達(dá) T(t+t) 相對(duì)于參考系的微分運(yùn)動(dòng)為 微分運(yùn)動(dòng)算子 定義微分運(yùn)動(dòng)矢量 廣義速度為 tdddtt zyx TKT ,R o t,T r a n s TTIKT tdddd zyx 4,R o t,T r a n s 0000 0 0 0 zxy yxz xyz d d d dD Tzyxzyx ddd vDV T 0l i m zyxzyxt vvvt 相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系，微分變換矩陣為 相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)為 微分運(yùn)動(dòng)算子 微分運(yùn)動(dòng)矢量 廣義速度為 TTTTT ,R o t,T r a n s KTT zyx dddttt T4TTTTT ,R o t,T r a n s TIKTT zyx dddtd 0000 0 0 0 TTT TTT TTT T zxy yxz xyz d d d dD TTTTTTTTTT zyxzyx ddd vDV T TT TTTTTTT 0 T lim zyxzyx t vvvt 齊次變換的導(dǎo)數(shù) 如果齊次變換矩陣已知， 由式 和 可以求得相對(duì)參考系和動(dòng)系的廣義速度 VTTVTTTT T 00 limlim SttSt tdt ttt tt 0000 0 0 0 zxy yxz xyz v v v S V 0000 0 0 0 TTT TTT TTT T zxy yxz xyz v v v S V 1 TTV S TTV 1TS 例 手爪的位姿為 相對(duì)于基坐標(biāo)系的微分移動(dòng)和微分轉(zhuǎn)動(dòng)分別為 1 0 0.5T和 0.1 0 0T，求相對(duì)于基系微分運(yùn)動(dòng)。 1000 0010 15001 5100 T 0000 5.001.00 01.000 1000 0000 2001.0 001.00 1000 TTd 如果相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的微分移動(dòng)和微分轉(zhuǎn)動(dòng)分別為 1 0 0.5T和 0.1 0 0T，求相對(duì)于動(dòng)系的微分運(yùn)動(dòng)。 0000 5.001.00 01.000 1000 T 0000 01.000 1000 5.001.00 TTTd 3.6 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)坐標(biāo)變換 利用齊次變換矩陣求導(dǎo)來(lái)求廣義速度的方法，需要求齊次 變換矩陣的導(dǎo)數(shù)和逆，在實(shí)際中對(duì)于復(fù)雜模型難于應(yīng)用。 微分變換法：利用同一微分運(yùn)動(dòng)在不同坐標(biāo)系下的描述的 等價(jià)關(guān)系求廣義速度。 TT TTTT TTdd 求解 ，實(shí)際上是對(duì) 做相似變換 10000 1 31 31 TT TT TT 1T Paon 0 d 0 Paa Poo Pnn TT S 0000 T dPaaaoana dPoaooono dPnanonnn T 矢量三重混合積的性質(zhì) 各方向矢量間的正交性和規(guī)一化條件 同一微分運(yùn)動(dòng)在動(dòng)系和基系下的微分運(yùn)動(dòng)算子之間的關(guān)系 可以化簡(jiǎn)為 acbcabcba 0 caa aon nao ona 0000 0 0 0 T adaPno odoPna ndnPoa 根據(jù)前面定義 將兩式右邊對(duì)應(yīng)元素相等可得到動(dòng)系和基系下微分運(yùn)動(dòng)的 等價(jià)坐標(biāo)變換 0000 0 0 0 TTT TTT TTT T zxy yxz xyz d d d aa oo nn daaP dooP dnnP z y x z y x d d d T T T T T T 寫成矩陣形式 簡(jiǎn)寫為 z y x z y x zyx zyx zyx zyxzyx zyxzyx zyxzyx z y x z y x d d d aaa ooo nnn aaa ooo nnn d d d 000 000 000 T T T T T T aPaPaP oPoPoP nPnPnP d R PSRR d T 33 TT T T 0 進(jìn)一步推廣，得到任意兩坐標(biāo)系 A和 B中微分運(yùn)動(dòng)矢量 的等價(jià)變換 兩個(gè)坐標(biāo)系中的速度等價(jià)關(guān)系 d R PSRR d A A TA B33 OB ATA B TA B B B 0 v R PSRR v A A TA B33 OB ATA B TA B B B 0 例 手爪的位姿為 相對(duì)于基坐標(biāo)系的微分移動(dòng)和微分轉(zhuǎn)動(dòng)分別為 1 0 0.5T和 0.1 0 0T， 求相對(duì)于動(dòng)系的等價(jià)微分運(yùn)動(dòng)。 d R PSRR d T 33 TT T T 0 1000 0010 15001 5100 T T201 dP TT TT 1.000 120 d R PdRPSdRd TT TTT 3.7 微分變換法求雅克比 根據(jù)微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)坐標(biāo)變換，速度在動(dòng)系和基系之間存 在如下等價(jià)變換關(guān)系 利用上述速度等價(jià)關(guān)系，我們來(lái)推導(dǎo)微分變換法求雅克比 的算法。 根據(jù)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)形式不同，分為兩種情況： z y x z y x zyx zyx zyx zyxzyx zyxzyx zyxzyx z y x z y x v v v aaa ooo nnn aaa ooo nnn v v v 000 000 000 T T T T T T aPaPaP oPoPoP nPnPnP （ 1）對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) i，若關(guān)節(jié)速度為 ，則連桿 i的速度和角 速度矢量在坐標(biāo)系 i為 根據(jù)速度等價(jià)關(guān)系，該關(guān)節(jié)速度產(chǎn)生的手爪的速度（在動(dòng) 系中 ） i T000vi T00 ii i z z z z z z z y x z y x a o n v v v aP oP nP T T T T T T izyx zyx zyx zyxzyx zyxzyx zyxzyx z y x z y x aaa ooo nnn aaa ooo nnn v v v 0 0 0 0 0 000 000 000 T T T T T T aPaPaP oPoPoP nPnPnP （ 2）對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié) i，若關(guān)節(jié)速度為 ，則連桿 i的速度和角 速度矢量在坐標(biāo)系 i為 根據(jù)速度等價(jià)關(guān)系，該關(guān)節(jié)速度產(chǎn)生的手爪的速度（在 動(dòng)系中 ） id T00 ii dv T000i i z z z z y x z y x d a o n v v v 0 0 0 T T T T T T 0 0 0 0 0 000 000 000 T T T T T T i zyx zyx zyx zyxzyx zyxzyx zyxzyx z y x z y x d aaa ooo nnn aaa ooo nnn v v v aPaPaP oPoPoP nPnPnP （ 1）和（ 2）中 n,o,a,P的是 的 4個(gè)列矢量 雅可比（相對(duì)于動(dòng)系）的第 i列為 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)： 移動(dòng)關(guān)節(jié)： 組合起來(lái) i i i A T L T T J JJ z z z i aP oP nP J LT z z z i a o n A T J i i i A T L T T J JJ z z z i a o n L T J 0 0 0 A T iJ n n A T 2A T 1A T L T 2L T 1L T T JJJ JJJJ Tie 這種計(jì)算雅可比的方法是構(gòu)造性的，從 n到 1依次計(jì)算齊 次變換矩陣 ,使用其中的矢量按上面公式 可構(gòu)造雅克比的各列，不需要求導(dǎo)或解方程。 qqJRRvRRv T0000 0 00 0 e e e e e e TTTT 121 , een ene T6eT56T45T34T23T12T01 T5e T4e T3e T2e T1e 6TJ 5TJ T6e 4TJ 3TJ 2TJ 1TJ 3.8 兩個(gè)實(shí)例（自學(xué)） 一、 XHK5140換刀機(jī)械手的雅可比矩陣 二、 PUMA560機(jī)器人的的雅可比矩陣 3.9 逆雅可比矩陣和奇異性 矢量積法和微分變換法得到速度正解，是由關(guān)節(jié)速度求末 端手爪速度。 如果已知手爪速度求關(guān)節(jié)速度，稱為速度逆解，即 速度逆解的性質(zhì)取決于雅克比矩陣的性質(zhì)。 下面介紹雅克比矩陣的性質(zhì)。 XJq 1 一、雅克比的性質(zhì) 操作空間與關(guān)節(jié)空間的速度關(guān)系反映的是 n維關(guān)節(jié)空間 向 m維操作空間的線性映射。 線性映射的域空間 R(J)是操作空間 Rm的子空間，代表機(jī) 器人所能達(dá)到的操作速度的集合。 線性映射的零空間 N(J)是關(guān)節(jié)空間 Rn的子空間，代表不 產(chǎn)生操作速度的關(guān)節(jié)速度的的集合。 域空間 R(J)和零空間 N(J)的維數(shù)之和 dimR(J)+dimN(J)=n （ 1）當(dāng) nm，且 J是行滿秩時(shí)，機(jī)器人為冗余自由度， 冗余度為 N(J)的維數(shù)； （ 2）當(dāng) n m，且 J是滿秩時(shí)，機(jī)器人為滿自由度； （ 3）當(dāng) n1，條件數(shù)越小，各向同性越好， 靈巧度越高； （ 2）最小奇異值 反映所需關(guān)節(jié)速度上限，最小奇異值 越大，操作臂末端對(duì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的反應(yīng)越快； （ 3）可操作度 ，等于各奇異值的乘積。 （ w值越大，靈活性越好；當(dāng) w=0時(shí)，發(fā)生奇異狀態(tài)。 ） )de t( TJJw 冗余度機(jī)器人： 從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)是指完成某一 特定任務(wù)時(shí)，機(jī)器人具有多余的自由度。 冗余度機(jī)器人的 優(yōu)點(diǎn) ： 冗余度機(jī)器人增加靈活性 躲避障礙物 改善動(dòng)力學(xué)性能的規(guī)劃算法 優(yōu)化 動(dòng)力學(xué)控制算法 3.11 冗余度機(jī)器人 習(xí)題 圖示 3R空間機(jī)械手具有 3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。分別用矢量積法和 微分變換法求雅克比矩陣。