第六章 剪切與扭轉(zhuǎn) 學(xué)習(xí)目標(biāo) ： 熟悉剪切與擠壓桿件的受力和變性特征、剪切虎 克定律與剪應(yīng)力互等定理。 掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力及應(yīng)力，能進(jìn)行圓軸扭轉(zhuǎn) 時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。 第一節(jié) 剪切與擠壓的概念 一、剪切 1、剪切的概念 兩塊鋼板由一鉚釘連接的簡(jiǎn)圖，如圖 6-1所示 類似于鉚釘，桿件受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線 平行且相距很近并垂直桿軸的外力作用，兩力間的橫截面將沿 外力的方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，這種變形稱為剪切變形。剪切面上 與截面相切的內(nèi)力稱為剪力，如圖 6-1（ d）所示。 發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的截面稱為剪切面。只有一個(gè)剪切面的 情況為單剪；同時(shí)存在兩個(gè)剪切面的情況稱為雙剪。 2、剪切的計(jì)算 以圖 6-1(a)所示兩鋼板中的鉚釘為研究對(duì)象，其受力情況如 圖 6-3(a)所示。 首先用截面法求 m-m截面的內(nèi)力，將鉚釘沿 m-m截面假想 的截開，分為上下兩部分，如圖 6-3(b)所示。取其中任一部分為 研究對(duì)象，根據(jù)靜力平衡條件，在剪切面內(nèi)必有一個(gè)與該截面 相切的剪力 ，由平衡條件 得： 0 XF QF 0QFF QFF 受剪面上的剪力是沿著截面作用的，因此在截面上各點(diǎn)處均 引起相應(yīng)的剪應(yīng)力。通常剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜， 為便于工程計(jì)算，一般假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面上均勻分布，剪應(yīng)力 的計(jì)算公式為： 為剪切面上的剪力 ； A為受剪面的面積。 為了保證構(gòu)件在工作中不發(fā)生剪切破壞，必須使構(gòu)件工作時(shí) 產(chǎn)生的剪應(yīng)力，不超過材料的許用剪應(yīng)力，即： QF A QF QF A 二、擠壓 1、擠壓的概念 螺栓、鉚釘和銷釘?shù)嚷?lián)接件， 在承受剪切作用發(fā)生剪切變形的 同時(shí)，還在聯(lián)接件和被聯(lián)接件的 接觸面上相互壓緊，這種局部受 壓的現(xiàn)象稱為擠壓。如圖 6-4所示 作用在擠壓接觸面上的壓力稱為擠壓力。發(fā)生 局部擠壓的接觸面稱為擠壓面。 2、擠壓的計(jì)算 由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力，用 表示 。 擠壓應(yīng)力的計(jì)算公式： 為擠壓面上的擠壓力； 為計(jì)算擠壓面積 為保證聯(lián)結(jié)件正常工作，應(yīng)有足夠的擠壓強(qiáng)度，其強(qiáng)度條件為： bs bs bs bs F A bsF bsA bsb s b s bs F A 第二節(jié) 剪應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律 一、 剪應(yīng)力互等定理 在一薄壁圓筒表面上繪制多條等間距的圓周線和縱向水平線， 使其表面形成許多大小相同的矩形網(wǎng)格，如圖 6-5（ a）所示 。然 后在該薄壁圓筒的兩端施加一對(duì)等值反向的外力偶，使其產(chǎn)生扭 轉(zhuǎn)變形，如圖 6-5（ b） 所示。結(jié)果顯示：在小變形情況下，各圓 周線的大小和間距沒有變化，只是繞筒軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；各縱向 線仍為直線，但都傾斜了相同的角度，所有矩形都變成了同樣形 狀和大小的平行四邊形。 由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可做出以下推斷：由于兩任意圓周線間的距離 不變，故圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力存在；因垂直于半徑的小方格 發(fā)生了相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，所以圓筒橫截面上必然存在剪應(yīng)力，且其方向 垂直于半徑；因圓筒壁很薄，可以認(rèn)為沿壁厚剪應(yīng)力及剪應(yīng)變都 是均勻分布的。 在單元體兩個(gè)互相垂直的平面上，同時(shí)存在垂直于公共棱 邊且數(shù)值相等的剪應(yīng)力，其方向均指向或背離兩平面的交線。 這種關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理。 二、剪切胡克定律 如果單元體上只存在剪應(yīng)力而無正應(yīng)力，這種單元體的受 力狀態(tài)稱為純剪應(yīng)力狀態(tài)，如圖 6-5（ c）、（ d）所示。當(dāng)剪應(yīng) 力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。 G G GPa 上式稱為剪切胡克定律。式中 比例常數(shù)，稱材料的切變模量 與材料性質(zhì)有關(guān)，可用實(shí)驗(yàn)的方法得出，常用單位為 材料的切變模量與彈性模量、泊松比的關(guān)系為 )1(2 E G 第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力及應(yīng)力 一、扭轉(zhuǎn) 1、扭轉(zhuǎn)的概念： 在外力作用下，桿件各橫截面均繞桿軸線相 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿軸線始終保持直線，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。 2、外力偶矩 工程中一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩，只給 出傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速及其所傳遞的功率。它們之間的關(guān)系為： 式中： 為作用在軸上的外力偶矩； P為傳動(dòng)軸所傳遞的功 率； n為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速。 通常，輸入力偶矩為主動(dòng)力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向 相同；輸出力偶矩為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相反。 r / m i n kW mN n9549 PM e eM 【 例 6-1】 如圖 6-7所示傳動(dòng)軸，功率由主動(dòng)輪 B輸入， 輸入功率 ，通過從動(dòng)輪 A、 C輸出，輸出 功率分別為 ， ，已知 轉(zhuǎn) 速 ，試計(jì)算其外力偶距。 kW60BP kW20AP kW40CP m inr300n 【 解 】 ： A、 B、 C三輪上的外力偶矩，可由式（ 6-7）分別計(jì) 算得出。 e 2 0k W9 5 4 9 9 5 4 9 6 3 7 N m 0 . 6 4k N m r300 m i n A A PM n e 6 0k W9 5 4 9 9 5 4 9 1 9 1 0 N m 1 . 9 1 k N m r300 m i n B B PM n mkN27.1mN12733 0 0 r / m i n40kW95499549e nPM CC 二、內(nèi)力 1、扭矩 等截面圓桿 AB，如圖 6-8（ a）所示。桿兩端作用一對(duì)方向 相反，力偶矩均為 Me的外力偶。采用截面法分析圓桿 AB的內(nèi)力。 在桿 AB的任意橫截面 m-m處將桿假想地截成兩部分，取其左段 為研究對(duì)象，如圖 6-8（ b）所示。因隔離體處于平衡狀態(tài)，則 m- m橫截面上必存在一個(gè)內(nèi)力偶矩，用 Mt表示。內(nèi)力偶矩 Mt的矢量 方向與所在橫截面垂直。 由平衡條件 ： 得 Mt-Me=0 即： Me =Mt 式中： Mt稱為 m-m橫截面上的扭矩。 若取 m-m截面右段為研究對(duì)象，則求得 m-m截面上的扭矩與 用左段為研究對(duì)象所求得的扭矩大小相等，方向相反，如圖 6-8 （ c）所示 。 0 xM 為使兩種算法所得到的同一截面上的扭矩不僅數(shù)值相等， 而且正負(fù)號(hào)相同，對(duì)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：按右手螺旋法 則，讓四個(gè)手指與扭矩的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向與截 面的外法線 n方向一致時(shí)，為正，如圖 6-9（ a）所示；反之為 負(fù)，如圖 6-9（ b）所示。 注：用截面法計(jì)算扭矩時(shí)，通常先假設(shè)扭矩為正，然后根 據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確定扭矩的實(shí)際方向 。 2、扭矩圖 一般情況下，沿桿件軸線各橫截面上的扭矩會(huì)隨外力偶矩的變 化而變化，扭矩 Mt是橫截面位置 x的函數(shù) ， () tM f x 【 例 6-2】 試畫出如圖 6-10（ a）所示軸的扭矩圖。 【 解 】 ： （ 1）計(jì)算扭矩 如圖 6-10（ b）所示，將軸分為 2段，逐段計(jì)算扭矩。 對(duì) AB段： 110 , 6 k N m 0ttMM 1 6 k N mtM 對(duì) BC段： 220 , 2 k N m 0ttMM 2 2 k N mtM （ 2）畫扭矩圖 根據(jù)計(jì)算結(jié)果，按比例畫扭矩圖，如圖 6-10（ c）示 。 三、應(yīng)力 1、變形現(xiàn)象與假設(shè) 在圓截面直桿的表面上劃上許多等距離的平行于桿軸線 方向的縱向線和垂直于桿軸線方向的圓周線，這些線條將圓桿 表面分成多個(gè)矩形網(wǎng)格，如圖 6-11（ a）所示。在桿件兩端施 加外力偶矩，圓桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖 6-11（ b）所示。 2、橫截面上的剪應(yīng)力 用截面 m-m和 n-n從圖 6-11（ b）中圓軸上取出長(zhǎng)為 dx的一微段 桿，如圖 6-12（ a）所示；再?gòu)拇宋⒍螚U中取出一半徑為 的圓 柱體，如圖 6-12（ b）所示。若 n-n截面相對(duì)于 m-m截面轉(zhuǎn)動(dòng)了 一個(gè)角度 d，稱 d為 dx段的扭轉(zhuǎn)角。 pp m a x m a x I rM I M tt r IW p p p m a x W M t pW 由公式（ 6-9）可知，當(dāng) 剪應(yīng)力達(dá)最大值。即 令 則圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的最大剪應(yīng)力為： 式中 注：上述公式均只適用于圓軸在線彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)。 等于橫截面半徑 r時(shí)， 稱為截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，只與截面形 狀、尺寸有關(guān)，常用單位為 33 mmm 或 2、圓截面極慣性矩 及截面扭轉(zhuǎn)系數(shù) 的計(jì)算 實(shí)心圓截面如圖 6-15（ a） 所示，在距圓心為 處，取寬度為 d的環(huán) 形面積作為面積元素， ，則實(shí)心圓截面極慣性矩為 ： PI ddA 2 PI A d d ddAI 2 0 4 22 P 322 pW 式中 d為實(shí)心圓截面的直徑 實(shí)心圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 為 162/ 3 P d d I r IW PP pW PI pW 均為正值 對(duì)如圖 6-15（ b）所示的空心圓桿，慣性矩 及扭轉(zhuǎn)截面 系數(shù) 分別為： PIpW )1(323232 4 444 P DdDI )1(162/ 4 3 P P D D IW Dd /式中 d為內(nèi)徑； D為外徑， 【 例 6-3】 內(nèi)徑 d 60 ，外徑 D 100 的空心 圓軸的橫截面，如圖 6-16所示。在扭矩 6KN. m作用時(shí)，計(jì)算 40 的 A點(diǎn)處的剪應(yīng) 力及橫截面上的最大、最小剪應(yīng)力。 tM 解： （ 1） 計(jì)算截面的極慣性矩 （ 2） 計(jì)算剪應(yīng)力 4 4 444 5 4 7 4 p 1 0 0 6 0 m m () 8 5 . 4 1 1 0 m m 8 5 . 4 1 1 0 m 3 2 3 2 DdI 33 A 74 p 6 10 N m 40 10 m 28. 10 MP a 85. 41 10 m tM I 最大剪應(yīng)力發(fā)生在空心圓軸外表面，即 : 2 D 處 33 m a x 74 p 16 10 N m 100 10 m 22 35.12 M P a 85.41 10 m t DM I 最小剪應(yīng)力發(fā)生在空心圓軸內(nèi)表面，即 處 2 d 33 m in 74 p 16 10 N m 60 10 m 22 21 .0 7 MP a 85 .4 1 10 m t dM I 第四節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 等截面圓軸的強(qiáng)度條件為整個(gè)圓軸截面上的最 大剪應(yīng)力 不超出材料的許用剪應(yīng)力 ，有 : max p m a x, m a x W M t 式中： 材料的許用剪應(yīng)力 ，可通過 扭轉(zhuǎn)試驗(yàn) 測(cè) 得材料的極限剪應(yīng)力后，除以安全系數(shù)得到。 【 解 】 （ 1） 內(nèi)力計(jì)算 作圓軸的扭矩圖，如圖 6-17（） 所示。 AB段扭矩 BC段扭矩 t A B 5 k N mM t B C 3 k N mM 注 ：由于 AB、 BC兩段的直徑、扭矩各不相同，無法直接確定整 個(gè)軸最大剪應(yīng)力所在的危險(xiǎn)截面位置，應(yīng)分段校核。 （ 2） 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)計(jì)算 AB段軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 3 33 53AB P A B ( 8 0 1 0 m ) = 1 0 . 0 5 1 0 m 1 6 1 6 DW BC段軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) 3 33 53BC P B C ( 6 0 1 0 m ) 4 . 2 4 1 0 m 1 6 1 6 DW （ 3） 強(qiáng)度校核 AB段軸的最大剪應(yīng)力 3 AB m a x - 5 3 pA B 5 1 0 N m 4 9 .7 5 MPa 6 0 MPa 1 0 .0 5 1 0 m tM W BC段軸的最大剪應(yīng)力 3 BC m a x - 5 3 pB C 3 10 N m 70.75 MP a 60 MP a 4.24 10 m tM W 故 AB段的強(qiáng)度是安全的 ， BC段強(qiáng)度不足， 經(jīng)校核階梯軸的強(qiáng)度不夠。