專 題 五 立 體 幾 何 第 1 講 空 間 幾 何 體 的 三視 圖 、 表 面 積 與 體 積 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 51.(2015浙江,文2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm ),則該幾何體的體積是() A.8 cm 3 B.12 cm 3 C. cm 3 D. cm 3 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉C 4熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 52.(2015課標(biāo)全國,文6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如右圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為() A. B. C. D. 答 案解 析解 析關(guān)閉答 案解 析關(guān)閉 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 53.(2015福建,文9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于() A.8+2 B.11+2C.14+2 D.15 答 案解 析解 析關(guān)閉答 案解 析關(guān)閉 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 54.(2015天津,文10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m ),則該幾何體的體積為m 3. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 55.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是. 答 案答 案關(guān)閉 解 析 :由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1. M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn), MN=,NP=1. SMNP=1=.點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=, . 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 5 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀通過對(duì)近幾年高考試題的分析可看出,空間幾何體的命題形式比較穩(wěn)定,多為選擇題或填空題,有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的某一問中,題目難度常為中低檔題.考查的重點(diǎn)是直觀圖、三視圖、面積與體積等知識(shí),此類問題多為考查三視圖的還原問題,且常與空間幾何體的表面積、體積等問題交會(huì),是每年必考的內(nèi)容. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三空間幾何體的三視圖例 1(1)一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是() 11命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三(2)某幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,若俯視圖中的多邊形為正六邊形,則該幾何體的側(cè)視圖的面積為() A. B.6+ C.+3 D.4 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉(1)B(2)A 12命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三規(guī) 律 方 法1.解決空間幾何體的三視圖問題的關(guān)鍵是抓住已知視圖的特征,并相互結(jié)合進(jìn)行分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,從而得到其他視圖.在結(jié)合已知視圖進(jìn)行分析時(shí)容易漏掉一些情況,這時(shí)需要全面思考,因?yàn)閱渭兊囊粋€(gè)視圖或兩個(gè)視圖一般不可能確定幾何體的形狀,這是正確解決此類問題的關(guān)鍵點(diǎn).2.由三視圖還原幾何體的方法 13命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三遷移訓(xùn)練1(2015浙江寧波模擬考試,文3)將一個(gè)長方體截掉一個(gè)小長方體,所得幾何體的俯視圖與側(cè)視圖如下圖所示,則該幾何體的正視圖為() 答 案解 析解 析關(guān)閉答 案解 析關(guān)閉 14命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三空間幾何體的表面積與體積例 2(1)(2014浙江,文3)某幾何體的三視圖(單位:cm )如圖所示,則該幾何體的體積是() A.72 cm 3 B.90 cm 3C.108 cm 3 D.138 cm 3 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三(2)(2015安徽,文9)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是() A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 答 案答 案關(guān)閉(1)B(2)C 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三解 析 : (1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)組合體,如圖所示.其左側(cè)是一個(gè)直三棱柱,右側(cè)是一個(gè)長方體.其中三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形,其兩直角邊長分別是3 cm和4 cm ,三棱柱的高為3 cm ,因此其體積V 1=Sh=433=18(cm 3).長方體中三條棱的長度分別為4 cm ,6 cm ,3 cm ,因此其體積V2=463=72(cm 3).故該幾何體的體積V=V1+V2=18+72=90(cm 3),應(yīng)選B. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三(2) 由題中所給的三視圖可得該四面體的直觀圖如圖所示,平面ABD平面BCD,ABD與BCD為全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,則AO CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此ABC與ACD為全 等的正三角形,由三角形面積公式得SABC=SACD=,SABD=SBCD=1,所以四面體的表面積為2+. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三規(guī) 律 方 法1.求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表=S側(cè)+S底.2.求幾何體的體積問題,可以多角度、多方位地考慮.對(duì)于規(guī)則的幾何體的體積,如求三棱錐的體積,采用等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化的原則是其高與底面積易求;對(duì)于不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)法求解,即將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,以易于求解.3.對(duì)于給出幾何體的三視圖,求其體積或表面積的題目關(guān)鍵在于要還原出空間幾何體,并能根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和形狀推斷出空間幾何體的線面關(guān)系及相關(guān) 數(shù)據(jù),體積或表面積的求解套用對(duì)應(yīng)公式即可. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三遷移訓(xùn)練2(2015浙江嘉興教學(xué)測(cè)試(一),文10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖,其中正視圖和側(cè)視圖是相同的等腰三角形,俯視圖由半圓和一等腰三角形組成,則這個(gè)幾何體可以看成是由和組成的,若它的體積是,則a=. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉一個(gè)三棱錐半個(gè)圓錐1 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三多面體與球的切接問題例 3(1)下面是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為() A.8 B.16C.32 D.64 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三(2)(2015浙大附中全真模擬,文12)一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示,則該棱錐的體積為,其外接球的表面積為. 答 案答 案關(guān)閉 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三解 析 :(1)還原三視圖可知該幾何體為一個(gè)四棱錐,將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長、寬、高分別為2,2,4的長方體,則該長方體外接球的半徑r=2,故所求外接球的表面積為4r2=32.(2) 由題中所給的三視圖可知該幾何體是側(cè)面ABC為等腰三角形且其垂直底面BCD為等腰直角三角形的三棱錐,如圖所示,所以其體積為 V=SBCDAE=664=24. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三取BC中點(diǎn)E,連接AE并在其上取一點(diǎn)O作為外接球的球心,連接DO,則AO=BO=CO=DO=R(R為外接球半徑).在RtDOE中,DE=3,OE=AE-R=4-R,由DO2=DE2+OE2得R2=(3)2+(4-R)2,解得R=,故所求外接球表面積為S=4R2=4. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三規(guī) 律 方 法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.2.若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體,利用4R 2=a2+b2+c2求解. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三遷移訓(xùn)練3(2015浙江金華十校4月模擬,文13)如下圖,在四面體ABCD中,AB平面BCD,BCD是邊長為6的等邊三角形.若AB=4,則四面體ABCD外接球的表面積為. 答 案答 案關(guān)閉64 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三解 析 : 由題設(shè)知,四面體ABCD的外接球也是與其同底等高的三棱柱的外接球,球心為上下底面中心連線EF的中點(diǎn)O,所以O(shè)E=AB=2,BE=BC=2.所以球的半徑R=OB=4. 所以外接球的表面積S=4R2=64. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤簡單幾何體的三視圖的識(shí)圖應(yīng)搞清正視、側(cè)視、俯視的方向,遵循“長對(duì)正,高平齊,寬相等”的原則,還要注意幾何體中與投影垂直或平行的線段及面的位置關(guān)系,及實(shí)線和虛線的區(qū)別,實(shí)線是能在投影平面上看得見的,而虛線在投影圖中看不到.要善于利用構(gòu)造正方體、補(bǔ)形等方法探求不易直接觀察的三視圖. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二例 1某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為() A.8-2B.8- C.8- D.8-答 案 :B 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二解 析 :由題中所給的三視圖可知,該幾何體的直觀圖是棱長為2的正方體,分別在兩個(gè)對(duì)角截去了底面半徑為1,高為2的四分之一圓柱,故該幾何體的體積為23-22=8-.點(diǎn) 評(píng) :本題需要根據(jù)三視圖中的俯視圖為不規(guī)則幾何圖形,采用補(bǔ)形為正方形,然后構(gòu)造正方體的方法確定直觀圖.如果對(duì)俯視圖觀察不到位,極易錯(cuò)誤地認(rèn)為正方體去掉的圓柱為二分之一. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二計(jì)算組合體的表面積觀察不清致誤求解組合體的表面積時(shí),認(rèn)真觀察組合體的幾何特征非常關(guān)鍵,特別是分析清晰組合體是由哪幾個(gè)幾何體拼接或挖空而成的,它的表面由哪些幾何圖形組成,特別注意不要丟掉底面或者重疊的部分,不要計(jì)算兩次等細(xì)節(jié). 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二例 2一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為() A.21+ B.18+ C.21 D.18答 案 :A 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一 易 錯(cuò) 點(diǎn) 二解 析 : 由題意,該多面體的直觀圖是一個(gè)正方體ABCD-ABCD挖去左下角三棱錐A-EFG和右上角三棱錐C-EFG.如圖,則多面體的表面積S=226-116+2=21+.故選A.點(diǎn) 評(píng) :本題需要根據(jù)三視圖中正方形內(nèi)的實(shí)線和虛線,采用構(gòu)造正方體的方法確 定直觀圖.解題時(shí)需注意求解的幾何體的表面積在正方體的表面積的基礎(chǔ)上應(yīng)該去掉哪些和補(bǔ)充哪些. 1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為() A.1 1 B.2 1C.2 3 D.3 21 2 3 4 答 案解 析解 析關(guān)閉根據(jù)題意,三棱錐P-BCD的正視圖是三角形,且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高;側(cè)視圖是三角形,且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高,故三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1 1. 答 案解 析關(guān)閉A 1 2 3 42.(2015重慶,文5)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為() A.+2 B.C. D. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉B 1 2 3 43.一個(gè)空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示,則這個(gè)空間幾何體的表面積是() A. B.+6 C.11 D.+3 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉D 1 2 3 44.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長都相等,若該三棱柱的頂點(diǎn)都在球O的表面上,且球O的表面積為7,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為. 答 案解 析解 析 關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉