專 題 四 數(shù) 列 第 1 講 等 差 數(shù) 列 與 等 比 數(shù) 列 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 51.(2015課標(biāo)全國(guó),文7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=()A. B. C.10 D.12 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉B 4熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 52.(2015課標(biāo)全國(guó),文9)已知等比數(shù)列an滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=()A.2 B.1 C. D. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉C 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 53.(2015浙江,文10)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=,d=. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 54.(2015課標(biāo)全國(guó),文13)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=. 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉6 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀 1 2 3 4 55.(2015重慶,文16)已知等差數(shù)列an滿足a3=2,前3項(xiàng)和S3=.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b1=a1,b4=a15,求bn的前n項(xiàng)和Tn. 解 :(1)設(shè)an的公差為d,則由已知條件得a1+2d=2,3a1+d=,化簡(jiǎn)得a 1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故通項(xiàng)公式an=1+,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15=8.設(shè)bn的公比為q,則q3=8,從而q=2,故bn的前n項(xiàng)和Tn=2n-1. 熱 點(diǎn) 考 題 詮 釋 能 力 目 標(biāo) 解 讀高考中對(duì)等差(等比)數(shù)列的考查主、客觀題型均有所體現(xiàn),一般以等差、等比數(shù)列的定義或以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn),常結(jié)合數(shù)列遞推公式進(jìn)行命題,主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力以及計(jì)算能力等,中低檔題占多數(shù).考查的熱點(diǎn)主要有三個(gè)方面:(1)對(duì)于等差、等比數(shù)列基本量的考查,常以客觀題的形式出現(xiàn),考查利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程組求解,屬于低檔題;(2)對(duì)于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以客觀題出現(xiàn),具有“新、巧、活”的特點(diǎn),考查利用性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算問題,屬中低檔題;(3)對(duì)于等差、等比數(shù)列的判斷與證明,主要出現(xiàn)在解答題的第一問,是為求數(shù)列的通項(xiàng)公式而準(zhǔn)備的,因此是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例 1(2014浙江,文19)已知等差數(shù)列an的公差d0.設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k N*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解 :(1)由題意知(2a 1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因?yàn)閐0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1).所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k N*知2m+k-1k+11,故所以 10命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三規(guī) 律 方 法此類問題應(yīng)將重點(diǎn)放在通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用上,注重五個(gè)基本量a1,an,Sn,n,d(q)之間的轉(zhuǎn)化,會(huì)用方程(組)的思想解決“知三求二”問題.我們重在認(rèn)真觀察已知條件,在選擇a1,d(q)兩個(gè)基本量解決問題的同時(shí),看能否利用等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件,否則可能會(huì)導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜,無(wú)形中增大運(yùn)算量.同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中注意消元法及整體代換的應(yīng)用,這樣可減少計(jì)算量.特別提醒:(1)解決等差數(shù)列a n前n項(xiàng)和問題常用的有三個(gè)公式:Sn=;Sn=na1+d;Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),靈活地選用公式,解決問題更便捷.(2)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和時(shí),不可忽視對(duì)公比q是否為1的討論. 11命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三遷移訓(xùn)練1(2015浙江寧波第二次模擬,文17)設(shè)數(shù)列an是公比小于1的正項(xiàng)等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bn=an(n+2-),且數(shù)列bn是單調(diào)遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 :(1)由題可設(shè):a n=a1qn-1,且a10,0qbn+1,得(n+2-)24-n(n+3-)23-n,即n+1,所以(n+1)min=2,故2. 12命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例 2(1)在等差數(shù)列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S11=() A.18 B.99 C.198 D.297(2)(2015浙江杭州第二中學(xué)仿真,文2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列b n中,若b7b8=3,則log3b1+log3b2+log3b14等于()A.5 B.6 C.7 D.8 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉(1)B(2)C 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三規(guī) 律 方 法1.解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.2.應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中若“m+n=p+q,則a m+an=ap+aq”這一性質(zhì)與求和公式Sn=的綜合應(yīng)用. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三遷移訓(xùn)練2已知等比數(shù)列an中,a2a10=9,則a5+a7()A.有最小值6B.有最大值6C.有最小值6或最大值-6D.有最大值-6 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉C 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三等差、等比數(shù)列的判定與證明例 3已知數(shù)列an滿足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n2,n N*).(1)設(shè)bn=an+1+an(n N*),求證:bn是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;求證:對(duì)于任意n N*都有+成立. 解 :(1)證明:由已知得a n+1+an=3(an+an-1)(n2,n N*),則bn=3bn-1,又b1=3,則bn是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列.(2)由an+1+an=3n得,設(shè)cn=,則cn+1+cn=,可得cn+1-=-,又c1=,故cn-,則an=. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 熱 點(diǎn) 一 熱 點(diǎn) 二 熱 點(diǎn) 三證明:因?yàn)?,所以+1+,對(duì)任意n2,都有12T n6n+13. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一忽視公式an=Sn-Sn-1成立的條件致誤數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系:an=根據(jù)題目求解特點(diǎn),如需消掉Sn,利用已知遞推式,把n換成n+1得到遞推式,兩式相減即可.需要注意公式an=Sn-Sn-1成立的條件n2.需要驗(yàn)證n=1對(duì)應(yīng)的a1是否滿足所求的通項(xiàng)公式,若滿足即可合并,若不滿足需要分別寫出. 命 題 熱 點(diǎn) 易 錯(cuò) 題 型 易 錯(cuò) 點(diǎn) 一例 題設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n N*.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解 :令n=1,得-(-1)S1-32=0,即+S1-6=0, (S1+3)(S1-2)=0. S10, S1=2,即a1=2.由-(n 2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得(Sn+3)Sn-(n2+n)=0. an0(n N*), Sn0,從而Sn+30, Sn=n2+n,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+n)-(n-1)2+(n-1)=2n.又a1=2=21, an=2n(n N*).點(diǎn) 評(píng) :解答本題過(guò)程中利用因式分解的技巧,求得Sn,然后利用an=Sn-Sn-1求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式,此時(shí)要特別注意當(dāng)n=1時(shí),需要代入原遞推式求得a1,然后進(jìn)一步驗(yàn)證是否滿足an的通項(xiàng)公式. 1 2 3 4 51.在等差數(shù)列an中,a2=4,a4=2,則a6=()A.-1 B.0C.1 D.6 答 案解 析解 析關(guān)閉因?yàn)閍n是等差數(shù)列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=22-4=0. 答 案解 析關(guān)閉B 1 2 3 4 52.在等差數(shù)列an中,a9=a12+6,則數(shù)列an的前11項(xiàng)和S11=()A.24 B.48C.66 D.132 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉D 1 2 3 4 53.(2014浙江杭州一檢)已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4|a4|,則使Sn0成立的最小正整數(shù)n為()A.6 B.7C.8 D.9 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉C 1 2 3 4 54.(2015浙江寧波第二次模擬考試,文7)若等差數(shù)列an滿足=2,則a3+a4+a5的最大值為()A. B.3C. D.3 答 案解 析解 析關(guān)閉 答 案解 析關(guān)閉D 1 2 3 4 55.(2015浙江嵊州第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè),文17)已知數(shù)列an滿足:a1=2,an+1=-kan+k(k R),a1,a2,a3分別是公差不為零的等差數(shù)列bn的前三項(xiàng).(1)求k的值;(2)求證:對(duì)任意的n N*,bn,b2n,b4n不可能成等比數(shù)列.(1)解 :因?yàn)閍 1=2,所以a2=4-k,a3=2k2-11k+16.又因?yàn)?a2=a1+a3,所以2k2-9k+10=0,解得k=2或.又因?yàn)閎n的公差不為零,所以k=.(2)證 明 :由(1)知,bn=.假如bn,b2n,b4n成等比數(shù)列,則bnb4n=.代入化簡(jiǎn)得(5-n)(5-4n)=(5-2n)2,解得n=0.與n N*矛盾,故bn,b2n,b4n不可能成等比數(shù)列.