第1 9課時矩形、菱形、正方形 考 點 梳 理 自 主 測 試考 點 一矩 形 的 性 質(zhì) 與 判 定1.定 義有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.性 質(zhì)(1)矩形的對邊平行且相等;(2)矩形的四個角都是直角;(3)矩形的對角線相等;(4)矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點.3.判 定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形; (3)對角線相等的平行四邊形是矩形. 考 點 梳 理 自 主 測 試考 點 二菱 形 的 性 質(zhì) 與 判 定1.定 義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性 質(zhì)(1)菱形的對邊平行,四邊都相等;(2)菱形的對角相等;(3)菱形的對角線互相垂直且平分,并且每一條對角線平分一組對角.3.判 定(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四條邊都相等的四邊形是菱形.4.菱 形 的 面 積 菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半,即S菱形= ab.(其中a,b為菱形對角線長) 考 點 梳 理 自 主 測 試考 點 三正 方 形 的 性 質(zhì) 與 判 定1.定 義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.2.性 質(zhì)(1)正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;(2)正方形的對角線相等,且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;(3)正方形是軸對稱圖形,兩條對角線所在直線以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸;正方形是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心. 考 點 梳 理 自 主 測 試3.判 定(1)一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)對角線互相垂直的矩形是正方形;(4)有一個角是直角的菱形是正方形;(5)對角線相等的菱形是正方形.4.正方形的面積公式:S=a 2(a為邊長)或S= l2.(l為對角線的長) 考 點 梳 理 自 主 測 試1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O,下列結(jié)論不正確的是()A.當(dāng)AB=BC時,四邊形ABCD是菱形B.當(dāng)AC BD時,四邊形ABCD是菱形C.當(dāng)OA=OB時,四邊形ABCD是矩形D.當(dāng) ABD= CBD時,四邊形ABCD是矩形答 案 :D2.如圖,在菱形ABCD中, B=60,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為()A.14 B.15C.16 D.17 答 案 :C 考 點 梳 理 自 主 測 試3.下列命題是真命題的是()A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D.兩邊相等的平行四邊形是菱形答 案 :C4.如圖,在正方形ABCD中,AD=1.將ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45得到ABD,此時AD與CD交于點E,則DE的長度為. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 1矩 形 的 性 質(zhì) 與 判 定【 例 1】 如圖,在ABC中,AB=AC,AD,AE分別是 BAC和 BAC外角的平分線,BE AE.(1)求證:DA AE;(2)試判斷AB與DE是否相等?并證明你的結(jié)論.分 析 :第(1)題利用鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直易證;在第(2)題中,AB與DE是四邊形ADBE的對角線,可考慮利用矩形的判定,證明 四邊形ADBE是矩形即可. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3(1)證 明 : AD,AE分別平分 BAC, BAF, (2)解 :AB=DE.理由: AB=AC,AD平分 BAC, AD BC. ADB=90. BE AE, AEB=90. DAE=90,四邊形ADBE是矩形. AB=DE. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 2菱 形 的 性 質(zhì) 與 判 定【 例 2】 如圖,在 ABCD中,AE平分 BAD,交BC于點E,BF平分 ABC,交AD于點F,AE與BF交于點P,連接EF,PD.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6, ABC=60,求tan ADP的值.(1)證 明 : BF平分 ABC, ABF= EBF. AD BC, AFB= EBF. AFB= ABF. AB=AF.同理,AB=BE. AF=BE.又AF BE,四邊形ABEF是平行四邊形. AB=AF,四邊形ABEF是菱形. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3(2)解 :過點P作PG AD于點G,如圖.四邊形ABEF是菱形, ABC=60,ABE是等邊三角形. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3變 式 訓(xùn) 練如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=5, AC=6.過D點作DE AC交BC的延長線于點E.(1)求BDE的周長;(2)點P為線段BC上的點,連接PO,并延長交AD于點Q,求證:BP=DQ. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3(1)解 :因為四邊形ABCD為菱形,所以BE AD.又AC DE,所以四邊形ACED為平行四邊形,則有AB=AD=BC=CE=5,所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.(2)證 明 :因為四邊形ABCD為菱形,所以O(shè)B=OD,BE AD,則 DBC= ADB.又 BOP= DOQ,所以BOPDOQ, 故有BP=DQ. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3命 題 點 3正 方 形 的 性 質(zhì) 與 判 定【 例 3】 如圖,在正方形ABCD中,E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點,HA=EB=FC=GD,連接EG,FH,交點為O.(1)如圖,連接EF,FG,GH,HE,試判斷四邊形EFGH的形狀,并證明你的結(jié)論; (2)將正方形ABCD沿線段EG,HF剪開,再把得到的四個四邊形按圖的方式拼接成一個四邊形.若正方形ABCD的邊長為3 cm, HA=EB=FC=GD=1 cm,則圖中陰影部分的面積為cm2. 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3分 析 :根據(jù)題目的條件,可先證AEH,BFE,CGF,DHG四個三角形全等,證得四邊形EFGH的四邊相等,然后由全等再證一個角是直角.解 :(1)四邊形EFGH是正方形.證明:四邊形ABCD是正方形, A= B= C= D=90,AB=BC=CD=DA. HA=EB=FC=GD, AE=BF=CG=DH.AEHBFECGFDHG. EF=FG=GH=HE.四邊形EFGH是菱形.由DHGAEH,知 DHG= AEH. AEH+ AHE=90, DHG+ AHE=90. GHE=90.菱形EFGH是正方形.(2)1 命 題 點 1 命 題 點 2 命 題 點 3