1.3.1 柱 體 、 錐 體 、 臺(tái) 體 的表 面 積 和 體 積 在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積展開圖平面圖形面積空間問題平面問題 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？ 棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？ /h /h正棱錐的側(cè)面展開圖 側(cè) 面 展 開正棱錐的側(cè)面展開圖 若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為A. B. C. D. 318 3153824 31624解：該正三棱柱的直觀圖如圖所示，且底面等邊三角形的高為 ，正三棱柱的高為2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為 答案：C 323824324 212243 D分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成交BC于點(diǎn)D解：過點(diǎn)S作 ，SD BCB CAS 2 2 2 2 3, ( )2 2aBC a SD SB BD a a 已知棱長為 ,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 a 21 1 3 32 2 2 4SBCS BC SD a a a 因此，四面體S-ABC的表面積為234 32S a a 已知棱長為各面均為等邊三角形的四面體，求它的表面積已知棱長為各面均為等邊三角形的四面體，求它的表面積 側(cè) 面 展 開h h正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？ 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形22 2 2 ( )S r rl r r l OOr l 2 r 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr 2 ( )S r rl r r l 參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么 r2lOr Or 2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)2 2 ( )S r r r l rl r2lOr Or 2 r2 2 ( )S r r r l rl x r xr x l rx r x r l S側(cè) ( ) ( )r l x r x rl rx r x ( )r l rl lOr Or圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？lOOr rr上底擴(kuò)大lOrr0上底縮小22 2 2 ( )S r rl r r l 2 ( )S r rl r r l 2 2 ( )S r r r l rl Sh S S 棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得到，因此，兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的體積hV=sh 經(jīng)探究得知，棱錐(圓錐)是同底等高的棱柱(圓柱)的 ，即棱錐(圓錐)的體積：31（其中S為底面面積，h為高）13V Sh 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的 13 圓臺(tái)(棱臺(tái))是由圓錐(棱錐)截成的根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？A BA B CD CDPSSh 1 ( )3V S S S S h 1 1( )3 31 ( ) 3V V V S h x S xSh S S x 小大 2 2( )S xS h x S x S hxh xS S S 1 ( ) 3 SV h Sh S S S S 1 3 S SS S h 典型例題例3（1）兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是 A.1 2 3 B.1 7 1 9 C.3 4 5 D.1 9 2 7解：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1 2 3，于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為1 8 27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1（81）（278）=1 7 19.答案：B 典型例題（2）三棱錐VABC的中截面是A1 B1 C1，則三棱錐VA1 B1 C1與三棱錐AA1 BC的體積之比是 A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8解：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1 4，將三棱錐AA1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1ABC，這樣三棱錐VA1B1C1與三棱錐A1ABC的高相等，底面積之比為1 4，于是其體積之比為1 4.答案：B 解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即: 10)210(14.31061243 22 V )(2956 3mm )(956.2 3cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為252)956.28.7(10008.5 （個(gè)）例4有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 )六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取3.14，可用計(jì)算器）？37.8 /g cm 作業(yè)精選 鞏固提高 1 .如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為 A. B. C. D.33 332 3 3A 作業(yè)精選 鞏固提高2 .向高為H的水瓶中勻速注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如下面左圖所示，那么水瓶的形狀是A 作業(yè)精選 鞏固提高3 .一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面面積分別是1 和4 9 ，一個(gè)平行底面的截面面積為2 5 則這個(gè)截面與上、下底面的距離之比是A. 2 : 1 B. 3 :1 C. : 1 D. : 1 2cm 2cm2cm4.已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積_. 2S2 3 A 作業(yè)精選 鞏固提高5 .已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形。（1）求該幾何體的體積V？（2）求該幾何體的側(cè)面積S？ 作業(yè)精選 鞏固提高5 . 解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐，設(shè)底面矩形為ABCD，如圖所示，AB=8，BC=6，高VO=4。（1）V= (86 )4 =6 4。（2）設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在VBC中，BC邊上的高為h1 = ,在VAB中，AB邊上的高為h2 = =5 .31 24)28(4)2( 2222 ABVO 2222 )26(4)2( BCVO 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？上底擴(kuò)大V Sh 0S 1 ( )3V S S S S h 上底縮小S S 13V Sh 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和展開圖rr 0r )( 22 rllrrrS )(2 lrrS 圓柱)( lrrS 圓臺(tái)圓錐 柱體、錐體、臺(tái)體的體積ShV 31錐體hSSSSV )(31 臺(tái)體柱體ShV SS 0S