第24講 矩形、菱形與正方形,1矩形的概念、性質(zhì)及判定,2.菱形的概念、性質(zhì)及判定,3正方形的概念、性質(zhì)及判定,1(2015·蘭州)下列命題錯(cuò)誤的是( ) A對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 B平行四邊形的對角線互相平分 C矩形的對角線相等 D對角線相等的四邊形是矩形 2(2015·天水)如圖，將矩形紙帶ABCD沿EF折疊后，CD兩點(diǎn)分別落在C，D的位置，經(jīng)測量得EFB65°，則AED的度數(shù)是( ) A65° B55° C50° D25°,D,C,B,2,6(2015·甘肅省)如圖，平行四邊形ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，B60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，連結(jié)CE，DF. (1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形； (2)當(dāng)AE_cm時(shí)，四邊形CEDF是矩形； 當(dāng)AE_cm時(shí)，四邊形CEDF是菱形,3.5,2,7(2015·甘南州)如圖，在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC分別交于M，H. (1)求證：CFCH； (2)如圖，ABC不動(dòng)，將EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BCE45°時(shí)，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論,【例1】 (2015·內(nèi)江)如圖，將ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E，使ABBE，連接DE，EC，DE交BC于點(diǎn)O. (1)求證：ABDBEC； (2)若BOD2A，求證：四邊形BECD是矩形,【點(diǎn)評】 利用平行線的相關(guān)性質(zhì)找到對應(yīng)角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時(shí)會(huì)比邊與角更直接簡便,證明：過點(diǎn)C作CGAB交AB的延長線于G點(diǎn)，可證：CGBCED，CECG.又GACEA90°， 四邊形CGAE是矩形，CGAE，CEAE,【例2】 (2015·巴中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，MN過點(diǎn)O且與邊AD，BC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N. (1)請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)過點(diǎn)D作DEAC交BC的延長線于點(diǎn)E，當(dāng)AB6，AC8時(shí)，求BDE的周長,【點(diǎn)評】 菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法,證明：AFCD，F(xiàn)GAC，四邊形ACGF是平行四邊形，F(xiàn)CGAFC，CE平分ACD，ACFGCF，ACFAFC，ACAF，四邊形ACGF是菱形,【例3】 (2015·梧州)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A，D重合，BP的垂直平分線分別交CD，AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H. (1)求證：HFAP； (2)若正方形ABCD的邊長為12，AP4，求線段EQ的長,【點(diǎn)評】 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點(diǎn),(1)解：FGED.理由如下：ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DBE后，DEBACB，把ABC沿射線平移至FEG，GFEA，ABC90°，AACB90°，DEBGFE90°，F(xiàn)HE90°，F(xiàn)GED,(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得GEF90°，CBE90°，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180°，BCG90°，四邊形BCGE是矩形，CBBE，四邊形CBEG是正方形,【例4】 (2014·牡丹江)如圖，在RtABC中，ACB90°，過點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE. (1)求證：CEAD； (2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； (3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由,(1)證明：DEBC，DFB90°，ACB90°，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD (2)解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點(diǎn)，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90°，D為AB中點(diǎn)，CDBD，四邊形BECD是菱形 (3)解：當(dāng)A45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：ACB90°，A45°，ABCA45°，ACBC，D為BA中點(diǎn)，CDAB，CDB90°，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當(dāng)A45°時(shí)，四邊形BECD是正方形,【點(diǎn)評】 在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法,對應(yīng)訓(xùn)練 4(2015·南充)如圖，ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，AEF，CFE的平分線交于點(diǎn)G，BEF，DFE的平分線交于點(diǎn)H. (1)求證：四邊形EGFH是矩形； (2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MNEF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過H作PQEF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路,(2)解：答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件：FG平分CFE，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證 GEFH，GMEFQH.故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得證,