一 、 格 林 公 式二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件三 、 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 求 積 9.7 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 一 、 格 林 公 式v單 連 通 與 復(fù) 連 通 區(qū) 域 v區(qū) 域 的 邊 界 曲 線 的 方 向 當(dāng) 觀 察 者 沿 區(qū) 域 D的 邊 界 曲 線 L行 走 時 如 果 左 手 在 區(qū) 域D內(nèi) 則 行 走 方 向 是 L的 正 向 單 連 通 區(qū) 域 復(fù) 連 通 區(qū) 域 設(shè) D為 平 面 區(qū) 域 如 果 D內(nèi) 任 一 閉 曲 線 所 圍 的 部 分 都 屬 于D 則 稱 D為 平 面 單 連 通 區(qū) 域 否 則 稱 為 復(fù) 連 通 區(qū) 域 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( v定 理 1 設(shè) 閉 區(qū) 域 D由 分 段 光 滑 的 曲 線 L圍 成 函 數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 D上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 則 有 其 中 L是 D的 取 正 向 的 邊 界 曲 線 格 林 公 式 應(yīng) 注 意 的 問 題 : 對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 D 格 林 公 式 右 端 應(yīng) 包 括沿 區(qū) 域 D的 全 部 邊 界 的 曲 線 積 分 且 邊 界 的方 向 對 區(qū) 域 D來 說 都 是 正 向 提 示 : 格 林 公 式 : v用 格 林 公 式 計 算 區(qū) 域 的 面 積 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 設(shè) 區(qū) 域 D的 邊 界 曲 線 為 L 則 DL dxdyxdyydx 2 或 LD ydxxdydxdyA 21 在 格 林 公 式 中 令 Py Qx 則 有 L ydxxdyA 21 或 格 林 公 式 : v用 格 林 公 式 計 算 區(qū) 域 的 面 積 例 1 求 橢 圓 xacosq ybsinq 所 圍 成 圖 形 的 面 積 A LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 設(shè) 區(qū) 域 D的 邊 界 曲 線 為 L 則 L ydxxdyA 21 解 設(shè) L是 由 橢 圓 曲 線 則 L ydxxdyA 21 qqq20 22 )cossin(21 dabab q abdab 2021 L ydxxdyA 21 qqq20 22 )cossin(21 dabab 提 示 :因 此 由 格 林 公 式 有 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 格 林 公 式 : v用 格 林 公 式 計 算 二 重 積 分 例 2 計 算 D y dxdye 2 其 中 D是 以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為 頂 點 的 三 角 形 閉 區(qū) 域 解 要 使 2yeyPxQ 只 需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則 2yeyPxQ 因 此 由 格 林 公 式 有 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 格 林 公 式 : v用 格 林 公 式 計 算 二 重 積 分 例 2 計 算 D y dxdye 2 其 中 D是 以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為 頂 點 的 三 角 形 閉 區(qū) 域 解 BOABOA yD y dyxedxdye 22 )1(21 110 22 edxxedyxe xOA y 令 P0 2yxeQ 則 2yeyPxQ v用 格 林 公 式 求 閉 曲 線 積 分 令 P2xy Qx2 則 證 因 此 由 格 林 公 式 有 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 格 林 公 式 : 例 3 設(shè) L是 任 意 一 條 分 段 光 滑 的 閉 曲 線 證 明 L dyxxydx 02 2 022 xxyPxQ 002 2 dxdydyxxydx DL 提 示 : 解 yPyx xyxQ 222 22 )( 022 L yx ydxxdy 例 4 計 算 L yx ydxxdy 22 其 中 L 為 一 條 無 重 點 、 分 段 光 滑 且 不 經(jīng) 過 原 點 的 連 續(xù) 閉 曲 線 L的 方 向 為 逆 時 針 方 向 當(dāng) (0 0)D時 由 格 林 公 式 得 記 L所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D 這 里 22 yx yP 22 yx xQ 當(dāng) x2y20時 有 在 D內(nèi) 取 一 圓 周 l: x2y2r2(r0) 例 4 計 算 L yx ydxxdy 22 其 中 L 為 一 條 無 重 點 、 分 段 光 滑 且 不 經(jīng) 過 原 點 的 連 續(xù) 閉 曲 線 L的 方 向 為 逆 時 針 方 向 當(dāng) (0 0)D時 解 記 L所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D 記 L及 l所 圍 成 的 復(fù) 連 通 區(qū) 域 為 D1 應(yīng) 用 格 林 公 式 得0)(122 dxdyyPxQyx ydxxdy DlL 其 中 l的 方 向 取 順 時 針 方 向 于 是 lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 qqq20 2 2222 sincos dr rr 2 lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 qqq20 2 2222 sincos dr rr 2 lL xxdyyx ydxxdy 2222 二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件v曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 設(shè) G是 一 個 開 區(qū) 域 P(x y)、 Q(x y)在 區(qū) 域 G內(nèi) 具 有 一 階連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 21 LL QdyPdxQdyPdx與 路 徑 無 關(guān) 否 則 說 與 路 徑 有 關(guān) 如 果 對 于 G內(nèi) 任 意 指 定 的 兩 個 點 A、 B以 及 G內(nèi) 從 點 A到 點B的 任 意 兩 條 曲 線 L1、 L2 等 式 恒 成 立 就 說 曲 線 積 分 L QdyPdx 在 G 內(nèi) 二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件v曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 這 是 因 為 設(shè) L1和 L2是 G內(nèi) 任 意 兩 條 從點 A到 點 B的 曲 線 則 L1(L2)是 G內(nèi) 一 條 任意 的 閉 曲 線 而 且 有 021 LL QdyPdxQdyPdx 0)( 21 LL QdyPdx 21 LL QdyPdxQdyPdx 021 LL QdyPdxQdyPdx 意 閉 曲 線 C 的 曲 線 積 分 L QdyPdx 等 于 零 曲 線 積 分 L QdyPdx 在 G 內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) 相 當(dāng) 于 沿 G 內(nèi) 任 在 G 內(nèi) 恒 成 立 xQyP 閉 曲 線 的 曲 線 積 分 為 零 )的 充 分 必 要 條 件 是 等 式數(shù) 則 曲 線 積 分 L QdyPdx 在 G 內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) (或 沿 G 內(nèi) 任 意設(shè) 函 數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 單 連 通 域 G內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo)二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件v曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) v定 理 2 (曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 判 斷 方 法 ) 定 理 證 明 意 閉 曲 線 C 的 曲 線 積 分 L QdyPdx 等 于 零 曲 線 積 分 L QdyPdx 在 G 內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) 相 當(dāng) 于 沿 G 內(nèi) 任 v應(yīng) 用 定 理 2應(yīng) 注 意 的 問 題 (1)區(qū) 域 G是 單 連 通 區(qū) 域 (2)函 數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 G內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 如 果 這 兩 個 條 件 之 一 不 能 滿 足 那 么 定 理 的 結(jié) 論 不 能 保證 成 立 .0 xQyPQdyPdxQdyPdx LL 與 路 徑 無 關(guān)討 論 : 設(shè) L為 一 條 無 重 點 、 分 段 光 滑 且 不 經(jīng) 過 原 點 的 連 續(xù) 閉 曲線 L的 方 向 為 逆 時 針 方 向 問 是 否 一 定 成 立 ？ 0 22 L yx ydxxdy提 示 : 則 ABOAL dyxxydxdyxxydxdyxxydx 222 222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdx LL 與 路 徑 無 關(guān) 解 這 里 P2xy Qx2 選 擇 從 O(0 0)到 A(1 0)再 到 B(1 1)的 折 線 作 為 積 分 路 線 1110 2 dy 因 為 xxQyP 2 所 以 積 分 L dyxxydx 22 與 路 徑 無 關(guān) 例 5 計 算 L dyxxydx 22 其 中 L 為 拋 物 線 yx2上 從 O(0 0)到 B(1 1)的 一 段 弧 三 、 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 求 積 表 達(dá) 式 P(x y)dxQ(x y)dy與 函 數(shù) 的 全 微 分 有 相 同 的 結(jié) 構(gòu) 但 它 未 必 就 是 某 個 函 數(shù) 的 全 微 分 那 么 在 什 么 條 件 下 表 達(dá) 式 P(x y)dxQ(x y)dy是 某 個 二 元函 數(shù) u(x y)的 全 微 分 呢 ？ 當(dāng) 這 樣 的 二 元 函 數(shù) 存 在 時 怎 樣 求 出這 個 二 元 函 數(shù) 呢 ？ 二 元 函 數(shù) u(x y)的 全 微 分 為du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy v原 函 數(shù) 如 果 函 數(shù) u(x y)滿 足 du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 則 函 數(shù)u(x y)稱 為 P(x y)dxQ(x y)dy的 原 函 數(shù) 設(shè) 函 數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 單 連 通 域 G內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo)數(shù) 則 P(x y)dxQ(x y)dy在 G內(nèi) 為 某 一 函 數(shù) u(x y)的 全 微 分 的充 分 必 要 條 件 是 等 式 在 G內(nèi) 恒 成 立 xQyP v定 理 3 v求 原 函 數(shù) 的 公 式 ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 xxyy dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0 解 這 里 因 為 P、 Q在 右 半 平 面 內(nèi)具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 且 有 yPyx xyxQ 222 22 )( 22 yx yP 22 yx xQ 所 以 在 右 半 平 面 內(nèi) 22 yx ydxxdy 是 某 個 函 數(shù) 的 全 微 分 ),( )0 ,1( 22),( yx yx ydxxdyyxu 取 積 分 路 線 為 從 A(1 0)到 B(x 0)再 到 C(x y)的 折 線 y yxxdy0 220 xyarctan y yxxdy0 220 xyarctan 半 平 面 內(nèi) 是 某 個 函 數(shù) 的 全 微分 并 求 出 一 個 這 樣 的 函 數(shù) 例 6 驗 證 : 22 yx ydxxdy 在 右 則 所 求 函 數(shù) 為 例 7 驗 證 : 在 整 個 xOy面 內(nèi) xy2dxx2ydy是 某 個 函 數(shù) 的 全 微分 并 求 出 一 個 這 樣 的 函 數(shù) 這 里 Pxy2 Qx2y 解 因 為 P、 Q在 整 個 xOy面 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 且 有yPxyxQ 2 所 以 在 整 個 xOy面 內(nèi) xy2dxx2ydy是 某 個 函 數(shù) 的 全 微 分 ),( )0 ,0( 22),( yx ydyxdxxyyxu 20 22 0 2 yxydyxy 取 積 分 路 線 為 從 O(0 0)到 A(x 0)再 到B(x y)的 折 線 則 所 求 函 數(shù) 為