第 四 節(jié)一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)與函數(shù)作圖曲線的凹凸性 第三章 二、 曲線的漸近線三、 函數(shù)圖形的描繪 一 、 曲 線 的 凹 凸 與 拐 點(diǎn) 2 21 xx 2 21 xx x yo A B Cxyo )(xfy 1x xyo 1x 2x)(xfy 2x 定 義 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ,( ) ( ), , ( ) , ( )2 2;( ) ( )( ) , ( )2 2f x I Ix x f x f xx x f f xI x x f x f xf f x I 設(shè) 在 區(qū) 間 上 連 續(xù) 如 果 對(duì) 上 任 意 兩 點(diǎn)恒 有 那 末 稱 在上 的 圖 形 是 凹 的 （ 或 凹 弧 ）如 果 恒 有 那 末 稱 在上 的 圖 形 是 凸 的 （ 或 凸 弧 ） xyo )(xfy xyo )(xfya bA B遞 增)(xf a bBA0y 遞 減)(xf 0y 定 理 2(凹 凸 性 判 定 ) .)()()( )()()( )(, )()( 上 的 圖 形 是 凸 的在則 上 的 圖 形 是 凹 的在則 內(nèi)若 在具 有 一 階 和 二 階 導(dǎo) 數(shù) 內(nèi)在上 連 續(xù)在如 果 b,axf,xf ;b,axf,xf b,a b,a,b,axf02 01 證 : ,b,ax,x 21 利 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得)()( 1 fxf 2 21 xx )()( 2 fxf 2 21 xx )(f 2 )( 2 x 2 21 xx 兩式相加)(2)()( 21 fxfxf 2 21 xx 2 12 xx )(-)( 12 ff,0)(時(shí)當(dāng) xf ),(2 )()( 21 fxfxf 2 21 xx 說(shuō)明 (1) 成立; (2)(f 1 )( 1x 2 21 xx 證畢 例 1 .3 的 凹 凸 性判 斷 曲 線 xy 解 ,3 2xy ,6xy 時(shí) ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凸 的 ；在曲 線 0,( 時(shí) ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凹 的 ；在曲 線 ),0 .)0,0( 點(diǎn)是 曲 線 由 凸 變 凹 的 分 界點(diǎn)注 意 到 , 曲 線 的 拐 點(diǎn) 及 其 求 法 連 續(xù) 曲 線 上 凹 凸 的 分 界 點(diǎn) 稱 為 曲 線 的 拐 點(diǎn) .1、 定 義2、 拐 點(diǎn) 的 求 法 例 2 . 143 34凹 、 凸 的 區(qū) 間 的 拐 點(diǎn) 及求 曲 線 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹 的 凸 的 凹 的拐 點(diǎn) 拐 點(diǎn))1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 區(qū) 間 為 例 3 求 曲 線 3 xy 的 拐 點(diǎn) . 解 : ,3231 xy 3592 xyxyy 0)0,( ),0( 不 存 在0 因 此 點(diǎn) ( 0 , 0 )為 曲 線 3 xy 的 拐 點(diǎn) .o xy凹 凸 特 別 地 : .xfy xf,x,xf,xf ,xxf的 拐 點(diǎn)線 是 曲那 末而 且的 鄰 域 內(nèi) 三 階 可 導(dǎo)在若 函 數(shù))( )()()( )( 0000 000例 4 .)2,0(cossin 的 拐 點(diǎn)內(nèi)求 曲 線 xxy解 ,sincos xxy ,cossin xxy .sincos xxy ,0y令 .47,43 21 xx得 2)43( f ,0 2)47( f ,0 內(nèi) 曲 線 有 拐 點(diǎn) 為在 2,0 ).0,47(),0,43( 二 、 漸 近 線定 義 : . )(, , )(一 條 漸 近 線 的就 稱 為 曲 線那 么 直 線趨 向 于 零 的 距 離到 某 定 直 線如 果 點(diǎn)移 向 無(wú) 窮 點(diǎn) 時(shí) 沿 著 曲 線上 的 一 動(dòng) 點(diǎn)當(dāng) 曲 線 xfyL LP Pxfy 1.鉛 直 漸 近 線 )( 軸 的 漸 近 線垂 直 于 x .)( )(lim)(lim0 00 的 一 條 鉛 直 漸 近 線就 是那 么 或如 果 xfyxx xfxf xxxx 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 鉛 直 漸 近 線 兩 條 : .3,2 xx 2.水 平 漸 近 線 )( 軸 的 漸 近 線平 行 于 x .)( )()(lim)(lim 的 一 條 水 平 漸 近 線就 是那 么 為 常 數(shù)或如 果 xfyby bbxfbxf xx 例 如 ,arctan xy 有 水 平 漸 近 線 兩 條 : .2,2 yy 3.斜 漸 近 線 .xfybaxy a,b,abaxxf baxxfx x 的 一 條 斜 漸 近 線就 是那 么 為 常 數(shù)或如 果 )( )()()(lim )()(lim 000斜 漸 近 線 求 法 :,)(lim axxfx .)(lim baxxfx .)( 的 一 條 斜 漸 近 線就 是 曲 線那 么 xfybaxy 注 意 : ;)(lim)1( 不 存 在如 果xxfx ,)(lim,)(lim)2( 不 存 在但存 在 axxfaxxf xx .)( 不 存 在 斜 漸 近 線可 以 斷 定 xfy 例 5 .1 )3)(2(2)( 的 漸 近 線求 x xxxf解 ).,1()1,(: D )(lim1 xfx , )(lim1 xfx ,.1是 曲 線 的 鉛 直 漸 近 線x xxfx )(lim又 )1( )3)(2(2lim xx xxx ,22)1( )3)(2(2lim xxx xxx 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx ,4 .42 是 曲 線 的 一 條 斜 漸 近 線 xy 的 兩 條 漸 近 線 如 圖1 )3)(2(2)( x xxxf 三 、 函 數(shù) 圖 形 的 描 繪利 用 函 數(shù) 特 性 描 繪 函 數(shù) 圖 形 .第 一 步第 二 步 求 出 方 程 0)( xf 和 0)( xf 在 函 數(shù) 定 義域 內(nèi) 的 全 部 實(shí) 根 ， 用 這 些 根 同 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) 或 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 的 點(diǎn) 把 函 數(shù) 的 定 義 域 劃 分 成 幾 個(gè) 部 分 區(qū) 間 . )( xf( )f x ， 求 出 函 數(shù) 的 一 階 導(dǎo) 數(shù)， 和 二 階 導(dǎo) 數(shù)第 三 步 確 定 在 這 些 部 分 區(qū) 間 內(nèi) )( xf 和 )( xf 的 符號(hào) ， 并 由 此 確 定 函 數(shù) 的 增 減 性 與 極 值 及 曲 線 的 凹 凸 與 拐 點(diǎn) （ 可 列 表 進(jìn) 行 討 論 ） ； 第 四 步 確 定 函 數(shù) 圖 形 的 水 平 、 鉛 直 漸 近 線 、 斜漸 近 線 以 及 其 他 變 化 趨 勢(shì) ;第 五 步 描 出 與 方 程 0)( xf 和 0)( xf 的 根 對(duì)應(yīng) 的 曲 線 上 的 點(diǎn) ， 有 時(shí) 還 需 要 補(bǔ) 充 一 些 點(diǎn) ， 再 綜 合 前 四 步 討 論 的 結(jié) 果 畫 出 函 數(shù) 的 圖 形 . 作 圖 舉 例例 6 .2)1(4)( 2 的 圖 形作 函 數(shù) xxxf解 ,0: xD 非 奇 非 偶 函 數(shù) ,且 無(wú) 對(duì) 稱 性 .,)2(4)( 3xxxf .)3(8)( 4xxxf ,0)( xf令 ,2x得 駐 點(diǎn),0)( xf令 .3x得 特 殊 點(diǎn) 2)1(4lim)(lim 2 xxxf xx ,2 ;2y得 水 平 漸 近 線 2)1(4lim)(lim 200 xxxf xx ,.0 x得 鉛 直 漸 近 線列 表 確 定 函 數(shù) 升 降 區(qū) 間 ,凹 凸 區(qū) 間 及 極 值 點(diǎn) 和 拐 點(diǎn) :x )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2()(xf )(xf 00)(xf 2 0 不 存 在拐 點(diǎn) 極 值 點(diǎn) 間斷 點(diǎn)3)926,3( :補(bǔ) 充 點(diǎn) );0,31(),0,31( ),2,1( A ),6,1(B ).1,2(C作 圖 xyo 23 21 1123 6A B C 2)1(4)( 2 xxxf 例 7 .21)( 22 的 圖 形作 函 數(shù) xex 解 ),(: D偶 函 數(shù) , 圖 形 關(guān) 于 y軸 對(duì) 稱 .,2)( 22xexx ,0)( x令 ,0 x得 駐 點(diǎn),0)( x令 .1,1 xx得 特 殊 點(diǎn) .4.021)(0: xW .2 )1)(1()( 22xexxx 2221lim)(lim xxx ex ,0 .0y得 水 平 漸 近 線 x )1,( ),1( )0,1(1 )1,0()(x )(x 00)(x 0 1 拐 點(diǎn) 極 大 值21)21,1( e列 表 確 定 函 數(shù) 升 降 區(qū) 間 ,凹 凸 區(qū) 間 及 極 值 點(diǎn) 與 拐 點(diǎn) :0拐 點(diǎn) )21,1( e xyo 11 21 2221)( xex 例 8 .1)( 23 的 圖 形作 函 數(shù) xxxxf解 ),(: D 無(wú) 奇 偶 性 及 周 期 性 .),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf,0)( xf令 .1,31 xx得 駐 點(diǎn),0)( xf令 .31x得 特 殊 點(diǎn):補(bǔ) 充 點(diǎn) ),0,1(A ),1,0(B ).85,23(C列 表 確 定 函 數(shù) 升 降 區(qū) 間 , 凹 凸 區(qū) 間 及 極 值 點(diǎn) 與 拐 點(diǎn) : x )31,( ),1( )31,31(31 )1,31( 0 31 1 拐 點(diǎn)極 大 值2732 )2716,31( 0)(xf )(xf )(xf 極 小 值0 xyo)0,1(A )1,0(B )85,23(C11 3131 123 xxxy 作 業(yè)P188 1(3)(6) 2(1) 5. 7(6) 8. 11(2) 四 、 小 結(jié)函 數(shù) 圖 形 的 描 繪 綜 合 運(yùn) 用 函 數(shù) 性 態(tài) 的 研 究 ,是 導(dǎo)數(shù) 應(yīng) 用 的 綜 合 考 察 . xyoa b 最大值最小值 極大值 極小值拐點(diǎn)凹 的 凸 的 單 增單 減)(xfy