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1、
《點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》 單元練習(xí)題
一、選擇題
1.設(shè) , 為兩個(gè)不同的平面, l,m 為兩條不同的直線,且 l ,m? ,有如下的
兩個(gè)命題:①若 ∥ ,則 l ∥ m;②若 l⊥ m,則 ⊥ .那么 ( D ) .
A.①是真命題,②是假命題 B.①是假命題,②是真命題
C.①②都是真命題 D.①②都是假命題
2.如圖, ABCD - A1B1C1D 1 為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( D ) .
A. BD∥平面 CB1D1
B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面 CB1
2、D 1
D.異面直線 AD 與 CB1 角為 60
3.關(guān)于直線 m, n 與平面
, ,有下列四個(gè)命題:
( 第 2 題 )
① m∥ , n∥ 且 ∥ ,則 m∥n;
② m⊥ , n⊥ 且 ⊥ ,則 m⊥ n;
③ m⊥ , n∥ 且 ∥ ,則 m⊥n;
④ m∥ , n⊥ 且 ⊥ ,則 m∥ n.
其中真命題的序號(hào)是 (
D
) .
A.①②
B .③④
C.①④
D .②③
4.給出下列四個(gè)命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行
②
3、垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行
③若直線 l 1,l 2 與同一平面所成的角相等,則 l 1, l 2 互相平行
④若直線 l 1,l 2 是異面直線,則與 l 1, l2 都相交的兩條直線是異面直線
其中假命題的個(gè)數(shù)是 ( D ) .
A. 1 B . 2 C.3 D . 4
5.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( B )
①若直線 l 上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi),則 l∥
②若直線 l 與平面 平行,則 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都平行
③如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行, 那么另一條直線也與這個(gè)平面平行
④若直線
4、 l 與平面 平行,則 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)
A. 0 個(gè) B . 1 個(gè) C.2 個(gè) D . 3 個(gè)
6. 兩直線 l1 與 l2 異面,過 l1 作平面與 l 2 平行,這樣的平面 ( B
) .
A.不存在
B .有唯一的一個(gè)
C.有無(wú)數(shù)個(gè)
D .只有兩個(gè)
7.把正方形 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折起,當(dāng)以
A, B, C,D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最
大時(shí),直線 BD 和平面 ABC 所成的角的大小為 (
C ) .
A. 90
B . 60
C.45
D . 30
5、
8.下列說法中不正確的是 ( D ) .
A.空間中,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形
B.同一平面的兩條垂線一定共面
C.過直線上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)
D.過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直
9.給出以下四個(gè)命題:
①如果一條直線和一個(gè)平面平行, 經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交, 那么這條
直線和交線平行
②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面
③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面,那么這兩條直線互相平行
④如果一個(gè)平面經(jīng)
6、過另一個(gè)平面的一條垂線,那么些兩個(gè)平面互相垂直
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( B ) .
A. 4 B. 3 C.2 D . 1
10.異面直線 a,b 所成的角 60,直線 a⊥c,則直線 b 與 c 所成的角的范圍為 ( A ) .
A. [ 30,90] B .[ 60, 90] C.[ 30, 60] D . [ 30, 120]
二、填空題
-
的三條側(cè)棱 PA,PB,PC 兩兩相互垂直,且三個(gè)側(cè)面的面積分
11.已知三棱錐 P ABC
別為 S1, S2, S3,則這個(gè)三棱錐的體積為2S1S2 S3 .
7、
12.P 是 △ ABC 所在平面
外一點(diǎn), 過 P 作 PO⊥平面 ,垂足是 O,連 PA,PB,PC.
( 1)
若 PA=PB= PC,則 O 為 △ ABC 的外心;
( 2) PA⊥ PB,PA⊥PC,PC⊥ PB,則 O 是△ ABC 垂的心;
( 3)
若點(diǎn) P 到三邊 AB, BC, CA 的距離相等,則 O 是△ ABC 的內(nèi)心;
( 4)
若 PA=PB= PC,∠ C= 90o,則 O 是 AB 邊的中點(diǎn);
( 5) 若 PA=PB= PC, AB= AC,則點(diǎn) O 在△ ABC 的
8、BC邊的垂直平分線上.
13.如圖,在正三角形 ABC 中, D ,E, F 分別為各邊的中點(diǎn),
G, H, I , J 分別為 AF , AD, BE,DE 的中點(diǎn),將△ ABC 沿 DE,
EF ,DF 折成三棱錐以后, GH 與 IJ 所成角的度數(shù)為
60.
J
14.直線 l 與平面
所成角為 30,l ∩ = A,直線 m∈ ,則 m 與
l 所成角的取值范圍是
[30 , 90 ] .
( 第 13 題 )
15.棱長(zhǎng)為 1 的正四面體內(nèi)有一點(diǎn) P,由點(diǎn) P
9、 向各面引垂線,垂線
段長(zhǎng)度分別為
d1, d2, d3, d4,則 d1+ d2+ d3+ d4 的值為
6 .
3
16.直二面角
- l - 的棱上有一點(diǎn) A,在平面 ,
內(nèi)各有一條射線
AB, AC 與 l 成 45,
AB, AC
,則∠ BAC = 60或 120.
三、解答題
17.在四面體 ABCD 中,△ ABC 與△ DBC 都是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形.
( 1) 求證: BC⊥ AD ;
( 2) 若點(diǎn) D 到平面 ABC 的距離等于 3,
10、求二面角 A-BC -D 的
正弦值;
( 3) 設(shè)二面角 A- BC- D 的大小為 ,猜想 為何值時(shí),四面
體 A- BCD 的體積最大. ( 不要求證明 )
( 第 17 題)
證明: ( 1) 取 BC 中點(diǎn) O,連結(jié) AO ,DO.
∵△ ABC,△ BCD 都是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形,
∴ AO⊥BC ,DO ⊥ BC,且 AO∩ DO= O,
∴ BC⊥平面 AOD.又 AD 平面 AOD ,
∴ BC⊥ AD .
解: ( 2) 由 ( 1) 知∠ AOD 為二面角 A- BC-D 的平面角,設(shè)∠ AOD= ,
11、則過點(diǎn) D 作
DE ⊥ AD,垂足為 E.
∵ BC⊥平面 ADO,且 BC 平面 ABC,
∴平面 ADO ⊥平面 ABC.又平面 ADO ∩平面 ABC= AO,
∴ DE⊥平面 ABC.
∴線段 DE 的長(zhǎng)為點(diǎn) D 到平面 ABC 的距離,即 DE = 3.
又 DO=
3
3 ,
BD= 2
2
在 Rt△DEO 中, sin = DE =
3 ,
DO
2
故二面角 A-BC- D 的正弦值為
3 .
2
(
12、 3) 當(dāng) = 90時(shí),四面體 ABCD 的體積最大.
18. 如圖,在長(zhǎng)方體 ABCD — A1B1 C1D 1 中, AB= 2, BB1
= BC= 1, E 為 D1C1 的中點(diǎn),連結(jié) ED, EC, EB 和 DB .
( 1) 求證:平面 EDB ⊥平面 EBC;
( 2) 求二面角 E- DB - C 的正切值 .
( 第 18 題 )
證明: (1) 在長(zhǎng)方體
- 1 1 1 1 中,
= 2,
1=
= 1,
E
為
1 1 的中點(diǎn).∴△
1
13、
ABCD A B CD
AB
BB
BC
DC
DDE
為等腰直角三角形,∠
1
1
DEC
90
,即 DE⊥ EC.
DED=45.同理∠ CEC= 45.∴
在長(zhǎng)方體 ABC -
A1B1C1D1 中, BC⊥平面 D1 DCC 1 ,又 DE 平面 D1DCC1 ,
D
∴ BC⊥ DE .又 EC
BC C ,∴ DE ⊥平面 EBC .∵平面 DEB 過 DE ,∴平面 DEB⊥
平面 EBC.
解: ( 2) 如圖,過
14、 E 在平面 D1DCC 1 中作 EO⊥DC
于 O.在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1 D1 中,∵面 ABCD ⊥面
D1 DCC1 ,∴ EO⊥面 ABCD .過 O 在平面 DBC 中作
OF ⊥ DB 于 F,連結(jié) EF,∴ EF ⊥BD.∠ EFO 為二面角
- D - C 的平面角.利用平面幾何知識(shí)可得
OF =
1
,
E B
5
( 第 18 題)
又 OE= 1,所以, tan
EFO = 5 .