《微積分學PPt標準課件15-第15講導數概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《微積分學PPt標準課件15-第15講導數概念（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高等院校非數學類本科數學課程 腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第四章 一元函數的導數與微分本章學習要求： 理解導數和微分的概念。熟悉導數的幾何意義以及函數的可 導、可微、連續(xù)之間的關系。 熟悉一階微分形式不變性。 熟悉導數和微分的運算法則，能熟練運用求導的基本公式、 復合函數求導法、隱函數求導法、反函數求導法、參數方程 求導法、取對數求導法等方法求出函數的一、二階導數和微 分。 了解 n 階導數的概念，會求常見函數的 n 階導數。 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能較好運用上述定理解決有關問題（函數方 程求解、不等式的證明等）。

2、掌握羅必塔法則并能熟練運用它計算有關的不定式極限。 第 一 節(jié) 導 數 的 概 念一 .導 數 產 生 的 背 景二 .導 數 的 概 念三 .導 數 存 在 的 必 要 條 件四 . 函 數 的 增 量 與 導 數 的 關 系 一 .導 數 產 生 的 背 景 1. 物 理 背 景 2. 幾 何 背 景 1.物 理 背 景在 真 空 中 , 當 時 間 由 t 變 到 t+t 時 , 自 由非 勻 速 運 動 物 體 的 速 度 問 題落 體 所 經 過 的 路 程 為 22 21)(21)()( gtttgtSttS )2(21 2tttg 例1物 體 由 t 到 t + t 一 段 的

3、平 均 速 度 是ttt tSttStV )( )()()( t tttg )2(21 2tggt 21 求 物 體 在 時 刻 t 的 瞬 時 速 度 vt , 就 是t tSttStVV ttt )()(lim)(lim 00 gttggt t )21(lim0令 t0 的 極 限 過 程 ：從 物 理 學 看 , 當 t0 時 , 應 該 有 . 0)()( tSttS這 是 否 也 說 明 了 一 個 什 么 問 題 ? Pl l力 學 中 的 線 密 度 問 題設 有 一 根 可 視 為 直 線 的 棒 上 非 均 勻 地 分 布 著 質 量 .直 線 的 一 端 為 原 點 , 線

4、 段 OP 的 長 度 為 l, 質 量 為 m,則 m 是 l 的 函 數 ： m = f (l ). 求 點 P 處 的 線 密 度 .例2 O P 給 l 一 個 增 量 l, 則 l 這 一 段 ( PP ) 的 平 均 密 度 是而 在 P 點 處 的 線 密 度 就 是 l 0 平 均 密 度 的 極 限 ： 0lim l lml 0lim l lfllfl )()(lim0 l lfllflm )()(比 較 兩 個 極 限 式 ：l lfllfl )()(lim0 .)()(lim0 t tSttSt 與 PTPQ PLQ PL 的 極 限 位 置割 線 時趨 向 點沿 曲 線

5、點 處 點 切 線 為在 點曲 線 平 面 曲 線 上 切 線 的 概 念L P Q T割 線 PQ 切 線 PT切 點 2. 數 學 背 景 平 面 曲 線 的 切 線 問 題 沿 曲 線 趨 近 于 點 A 時 的 極 限 位 置 .平 面 曲 線 y = f (x) 的 切 線 ：曲 線 在 點 A(x0, y0) 處 的 切 線 AT 為 過 曲 線 上點 A 的 任 意 一 條 割 線 AA 當 點 A(x0+x, y0+ y)O xy )(xfy A A Bx y T切 線 方 程 : , )( 00 xxkyy tank tanlim0 x其 中 , . lim0 xyx (1)

6、 建 立 一 個 函 數 關 系 y = f (x) xI .(2) 求 函 數 由 x0 到 x0+ x 的 平 均 變 化 率 ：解 決 與 速 度 變 化 或 變 化 率 相 關 問 題 的 步 驟 :(3) 求 x 0 的 極 限 ： ;)()( 00 x xfxxfxy .)()(limlim 0000 x xfxxfxy xx 二 .導 數 的 概 念設 函 數 f (x) 在 U(x0) 有 定 義 , 且 x0+x U(x0).則 稱 函 數 f (x) 在 點 x0 處 可 導 , 極 限 值 a 稱 為 f (x) 在 ,| 0 ay xx ，axxf d )(d 0 .

7、dd 0 axy xx 如 果 極 限 axyx xfxxf xx 0000 lim)()(lim 存 在 , 點 x0 處 的 導 數 . 記 為，axf )( 01. 導 數 的 定 義 k 0為 常 數 .x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 x xxfxxfxf x 2 )()(lim)( 0000 xk xfxkxfxf x )()(lim)( 0000 ;)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx 如 果 函 數 f (x) 在 點 x0 處 可 導 , 則 設 函 數 f (x) 在 x0 , x0+ ) 內 有 定 義 , 若存 在 , 則 稱

8、a 為 f (x) 在 點 x0 處 的 右 導 數 . 記 為2.左 、 右 導 數 ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 .)( 0 axf 設 函 數 f (x) 在 (x0 , x0 內 有 定 義 , 若存 在 , 則 稱 a 為 f (x) 在 點 x0 處 的 左 導 數 . 記 為ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 axf )( 0 axf )( 0 axfxf )()( 00好 像 見 過 面 啊 ！ 3. 導 函 數 x xfxxfxyxf xx )()(limlim)( 00若 x(a, b), 函 數 f (x) 皆 可 導

9、 , 則 說 f (x) 在(a, b) 內 可 導 . 這 時 f (x) 是 關 于 x 的 一 個 新 函 數 ,稱 之 為 f (x) 在 (a, b) 內 的 導 函 數 . 通 常 我 們 仍 稱 之為 f (x) 在 (a, b) 內 的 導 數 ： 函 數 在 點 x0 I 處 的 導 數 : 0)()( 0 xxxfxf )( , )( bfaf 若 f (x) 在 (a, b) 內 可 導 , 且 存 在 ,則 稱 f (x )在 a, b 上 可 導 , f (x) 稱 為 f (x) 在 a, b 上的 導 函 數 , 簡 稱 為 導 數 . 先 求 導 、 后 代 值

10、 . 4.導 數 的 幾 何 意 義 )(tan 0 xfk 此 時 , 切 線 方 程 為 : )( 000 xxxfyy 函 數 f (x) 在 點 x0 的 導 數 f ( x0) 就 是 對 應 的 平 面曲 線 y = f (x) 在 點 (x0, y0) 處 的 切 線 的 斜 率 k : y O x x0 y = c f (x0) = 0 y O x f (x0) = x0 O xy x0 y O x x0f (x0)不 存 在 f (x0)不 存 在 切 線 平 行 于 x 軸 ： 0)( 0 xf曲 線 y = f (x) 在 點 x0 處 的 切 線 可 能 平 行 于 x

11、 軸 、垂 直 于 x 軸 、 或 不 存 在 , 所 反 映 出 的 導 數 值 是 ：切 線 垂 直 于 x 軸 ： )( 0 xf （ 曲 線 為 連 續(xù) 曲 線 ）在 點 x0 處 無 切 線 ： f (x0) 不 存 在 . 在 任 意 一 點 x 處 , 有 x xxxxyk xx 2200 ) (limlim在 點 (1, 1) 處 故 所 求 切 線 方 程 為 ： 22 110 xx xkk求 曲 線 y = x2上 任 意 一 點 處 切 線 的 斜 率 , 并 求在 點 (1, 1) 處 的 切 線 方 程 . xxxx 2)2(lim0 即 y = 2x 1.y 1=

12、2(x 1) , 例3解 三 .導 數 存 在 的 必 要 條 件設 f (x) 在 點 x0 可 導 , 即 有于 是 ,)()()( 00 0 xfxx xfxf 0 000 )()(limlim)( 0 xx xfxfxyxf xxx )( 0 0 xx故 )()()()( 0000 xxxxxfxfxf )(lim0 xfxx )( 0 xf )()()(lim 00000 xxxxxfxfxx . )( , 0 處 連 續(xù)在 點函 數就 是 說 xxf 函 數 f (x) 在 點 x0可 導 的必 要 條 件 是 它 在 點 x0 連 續(xù) .只 是 必 要 條 件 ！ y = | x

13、 | 在 點 x = 0 連 續(xù) , 但 不 可 導 .xxf x |0|0|lim)0( 0 xxf x |0|0|lim)0( 0故 f (0) 不 存 在 . y = | x |O xy1|lim0 xxx 1|lim 0 xxx 例4解 . 0 | , 0 |lim 00 處 連 續(xù)在 點故但 xxyyx xx 在 點 x = 0 處 的 連 續(xù) 性 和 可 導 性 .,1|1sin | x 01sinlim0 xxnx00 xy又 當 nN 時 , 函 數 在 在 點 x = 0 處 連 續(xù) .)( 0 , 0 0 , 1sin Znxxxxy n討 論例5解)( Zn 當 n =1

14、 時 , xxy xx limlim 00 不 存 在 ,故 n =1 時 , 函 數 在 x = 0 處 不 可 導 .當 n 1 時 , xxy xx limlim 00故 n 1時 , 函 數 在 x = 0 處 可 導 . 其 導 數 為 . 00 xy xx 1sinlim0 01sinlim 1 0 xxnx xx 1sin xxn 1sin f (x) 在 x = 0 處 可 導 ,從 而 f (x) = 1 + bx, x0e x, x 0 f (0) = 1 f (x) 在 x = 0 處 連 續(xù) , f (0) = a .例6解 . 1 , 1lim)(lim 00 aex

15、f xxx 故又 設 a + bx, x0求 a, b 之 值 .e x, x 0y = 在 x = 0 可 導 , 由 可 導 性 ：故 b = 1, 此 時 函 數 為f (x) = 1 x , x 0e x, x 0 x ex fxf xxx 1lim)0()0(lim 00 bxxbx fxf xx 1)1(lim)0()0(lim 00 1lim0 xxx .1 ,1 ba 四 . 函 數 的 增 量 與 導 數 的 關 系 可 表 示 為 y = f (x0) x + o(x) .若 函 數 f (x) 在 點 x0 處 有 ( 有 限 ) 導 數 f (x0), 則 函 數 f

16、(x) 在 該 點 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0) ,lim)( 00 xyxf x 得 ,)( 0 xfxy 0 ) 0( 時x故 )o()()( 00 xxxfxxxfy 證由 則 函 數 f (x) 在 點 x0 處 有若 函 數 f (x) 在 點 x0 處 有 (有 限 )導 數 f (x0),可 近 似 表 示 為 ： y f (x0)x (1) 函 數 f (x) 在 該 點 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0)xxfxfxxf )()()( 000(2) ; ) )U( ( 00 xxx )()()( 000 xxxfxfxf )U( 0 xx 推論 , 2xy設則 )o(2)o( xxxxxyy 于 是 xxxyy 2例7 . 2)( 2 xxy