20090420 14.8 條 件 極 值 實(shí)例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：光盤和磁帶，設(shè)他購買 張光盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張光盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果xy yxyxU lnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)yxyxU lnln),( 200108 yx條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值 拉格朗日乘數(shù)法找函數(shù)),( yxfz 在條件0),( yx下的可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)),(),(),( yxyxfyxL 其中為某一常數(shù)，可由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yxL yxyxfL yxyxfL yyy xxx 在條件組)( ,2,1 ,0),( 21 nmmkxxx nk 的限求目標(biāo)函數(shù). ),( 21的極值nxxxfy ,制下其拉格朗日函數(shù)是：),( 2121 mnxxxL mk nkkn xxxxxxf 1 1121 ),( ),( . , 21為拉格朗日常數(shù)其中m )1(一般形式： ：定理1 ,),2,1( 內(nèi)有均在如上和設(shè)Dmkf k ,一階偏導(dǎo)數(shù)是若 ),( )0()0(2)0(10 DxxxP n ,上述問題的極值點(diǎn)且雅可比矩陣01 111 Pnmm nxx xx ,m的秩為使得個(gè)常數(shù)則存在 , )0()0(2)0(1 mm ),( )0()0(1)0()0(1 mnxx 連續(xù)的的為拉格朗日函數(shù))1(.穩(wěn)定點(diǎn) : ),( )0()0(1)0()0(1為下述方程的解即mnxx 0),( 0),( 00111 11 1111 nm nmk nkknx mk kkx xxL xxL xxfL xxfL mn :驟條件極值問題的一般步用拉格朗日乘數(shù)法求解; 1.和條件組根據(jù)問題確立目標(biāo)函數(shù) 2.作拉格朗日函數(shù)),( 2121 mnxxxL mk kkf 1 ,.3有穩(wěn)定點(diǎn)求出拉格朗日函數(shù)的所這些穩(wěn)定點(diǎn);就是可能的條件極值點(diǎn). , 4.據(jù)理說明確實(shí)是值點(diǎn)對(duì)每一個(gè)可能的條件極 ?據(jù)什么理,2,1 ,0),( 1. 21 mkxxx nk 如條件組 ,滿足隱函數(shù)定理的條件個(gè)變量則在n nxxx , 21 中唯一確定了其中.個(gè)變量的一組隱函數(shù)個(gè)變量為其余mnm 得到一個(gè)有個(gè)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)將這 ,fm .個(gè)獨(dú)立變量函數(shù)mn ,算出此函數(shù)的黑賽矩陣 ,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則由此判斷極值點(diǎn)的.類型 ,),( 2. )0()0(1)0()0(1的穩(wěn)定點(diǎn)是若Lxx mn 020 )( Pkj xx LPHL : 則; ,)( 1. 00取條件極小值在那么正定如PfPHL . ,)( 2. 00取條件極大值在那么負(fù)定如PfPHL . :元函數(shù)的泰勒公式利用證明n ,),( )0()0(2)0(10 DxxxP n 記 . 3.判斷根據(jù)問題本身的特點(diǎn)來而其拉格朗日函數(shù)值如果某實(shí)際問題確有極 ,僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或逼近且在定義域的邊界上(,)不取極值邊界時(shí)的則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)就是所求.條件極值點(diǎn). 3. . , 2. 1.較為常用一般不用計(jì)算量大 :1例rzyxxyzzyxf 1111),( 在條件求)0,( rzyx .下的極小值:解設(shè)拉格朗日函數(shù)為).1111(),( rzyxxyzzyxL 0000 LLLLzyx由,3: rzyxL 穩(wěn)定點(diǎn)為知4)3( r ? )3()3,3,3( 3是否為條件極值判斷rrrrf ),(1111 yxzzrzyx 看成隱函數(shù)把條件則目標(biāo)函數(shù)).,(),(),( yxFyxzxyzyxf , yyxyxxyxyx FFFFFzz計(jì)算出,)3,3(正定rrHF ,)3,3,3(為極小值點(diǎn)故穩(wěn)定點(diǎn)rrr .進(jìn)而最小值點(diǎn),)3( 3rxyz 所以)1111 rzyx 且0,( rzyx , czbyax 令1)111( cbar則 )3( 3得代入rxyz 31)111(3 cbaabc . )111(3 31 abccba 或 4).P174( :2例教材例 解設(shè)),( 000 zyxP為橢球面上一點(diǎn), 令1),( 222222 czbyaxzyxF , 過),( 000 zyxP的切平面方程為 )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz , 化簡(jiǎn)為 12 02 02 0 czzbyyaxx , 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax，02yby ，02zcz , 所圍四面體的體積 000 222661 zyx cbaxyzV , 在條件1220220220 czbyax下求V的最小值, 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax , 由,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx 可得30 ax 30 by ，30 cz 此為唯一的駐點(diǎn) 四面體的體積最小abcV 23min . 根據(jù)實(shí)際情況四面體體積有最小值 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法小結(jié)作業(yè)習(xí) 題 14 61 (4, 5, 6); 2； 3； 4.