12.3 函 數(shù) 的 Fourier級 數(shù) 展 開 Fourier級 數(shù) 的 收 斂 定 理定 義 （ 分 段 光 滑 函 數(shù) ）若 函 數(shù) f的 導(dǎo) 函 數(shù) 在 a,b連 續(xù) ， 則 稱 f在 a,b光 滑 ；若 f在 a,b上 至 多 有 有 限 個 第 一 類 間 斷 ， 且 其 導(dǎo) 函 數(shù) 除 有 限個 點 外 都 存 在 且 連 續(xù) ， 且 在 有 限 個 點 上 導(dǎo) 函 數(shù) 的 在 左 右 極限 存 在 ， 稱 f在 a,b按 段 光 滑 .定 理 3 若 f是 以 為 周 期 函 數(shù) ， 在 a,b上 分 段 光 滑 ， 則在 a,b上 ， f的 傅 立 葉 級 數(shù) 收 斂 于 的 左 右 極 限 的 平 均值 0 1( 0) ( 0) ( cos sin )2 2 n nnaf x f x a nx b nx ,n na b 為 f的 傅 立 葉 級 數(shù) 系 數(shù) t ttu 0,1 0,1)( 級 數(shù) ？將 它 展 成 Fourier o tu 11一 、 以 為 周 期 的 函 數(shù) 的 Fourier級 數(shù) 展 開2解 1 )12sin()12( 4)( n tnntu 級 數(shù) 為 ：相 應(yīng) 的 Fourier)(tu 處 ，的 不 連 續(xù) 點在 ),2,1,0()( kkttu 2 11級 數(shù) 收 斂 于 ,0 ),(, tu收 斂 到在 連 續(xù) 點 處 1 )12sin()12( 4)( n tnntu ),2,0;( tt所 以 函 數(shù) 的 傅 氏 展 開 式 為 ：和 函 數(shù) 圖 像 為 o tu 1 1 注 意 :對 于 非 周 期 函 數(shù) ,如 果 函 數(shù) 只 在區(qū) 間 上 有 定 義 ,并 且 滿 足 收 斂 定理 條 件 ,也 可 展 開 成 傅 氏 級 數(shù) . )(xf, 作 法 : ),()()()2( xfxFT周 期 延 拓 )0()0(21 ff端 點 處 收 斂 于 解 所 給 函 數(shù) 滿 足 定 理 條 件 . xy0 22 為 周 期 的 函 數(shù) ，上 的 以為延 拓 2),()( xf ),(xF記 為 nxdxxfan cos)(1 1)1(22 nn dxxFa )(10 00 1)(1 xdxdxx ,于 是 dxxf )(1 ,2,1,2,0 ,2,1,12,)12( 4 2 kkn kknk nxdxxfbn sin)(1 00 sin1sin)(1 nxdxxnxdxx 1 2 )12cos()12( 142)( n xnnxF )( x所 以 ),3,2,1( n )( x 1 2 )12cos()12( 142)( n xnnxf ,特 別 的 利 用 傅 氏 展 開 式 求 級 數(shù) 的 和 ,)12cos()12( 142)( 1 2 n xnnxf ,0)0(,0 fx 時當 222 513118 ,4131211 222 設(shè) ),8(51311 2221 ,614121 2222 ,4131211 2223 ,44 212 ,243 212 21 ,62 13 2 .122 二 、 正 弦 級 數(shù) 與 余 弦 級 數(shù)1. 奇 函 數(shù) 和 偶 函 數(shù) 的 傅 里 葉 級 數(shù)定 理 證 明 ,)()1( 是 奇 函 數(shù)設(shè) xf nxdxxfan cos)(1 0 ),3,2,1,0( n奇 函 數(shù) 0 sin)(2 nxdxxf ),3,2,1( n同 理 可 證 (2)定 義 如 果 )(xf 為 奇 函 數(shù) ,傅 氏 級 數(shù) nxbn n sin1稱 為 正 弦 級 數(shù) . 如 果 )(xf 為 偶 函 數(shù) , 傅 氏 級 數(shù) nxaa n n cos2 10 稱 為 余 弦 級 數(shù) . nxdxxfbn sin)(1 偶 函 數(shù) 解 所 給 函 數(shù) 滿 足 定 理 條 件 , ,),2,1,0()12( 處 不 連 續(xù)在 點 kkx 2 )0()0( ff級 數(shù) 收 斂 于 ,0 ),()12( xfkxx 處 收 斂 于在 連 續(xù) 點 ,2)()12( 為 周 期 的 奇 函 數(shù)是 以時 xfkx 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin2 nxdxx 02 sincos2 nnxn nxx nncos2 ,)1(2 1 nn ),2,1( n )3sin312sin21(sin2)( xxxxf .sin)1(2 1 1 n n nxn ),3,;( xx ),2,1,0(,0 nan 2 2 3 3 xy0和函數(shù)圖像 2. 函 數(shù) 展 開 成 正 弦 級 數(shù) 或 余 弦 級 數(shù)).( 2,0)(xF xf函 數(shù) 為 周 期 的延 拓 成 以上定 義 在設(shè) ,0)( 0)()( xxg xxfxF令 ),()2( xFxF 且常 用 如 下 兩 種 情 況 .偶 延 拓奇 延 拓 奇 延 拓 : )()( xfxg 0)( 00 0)()( xxf x xxfxF則 xy0 的 傅 氏 正 弦 級 數(shù))(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 偶 延 拓 : )()( xfxg 0)( 0)()( xxf xxfxF則 的 傅 氏 余 弦 級 數(shù))(xf 10 cos2)( n n nxaaxf )0( x xy0 解 (1)求 正 弦 級 數(shù) . ,)( 進 行 奇 延 拓對 xf 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin)1(2 nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22 ,5,3,122 nn nn 當 當 3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx )0( x 5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2 xxxxxy 1 xy (2)求 余 弦 級 數(shù) . ,)( 進 行 偶 延 拓對 xf 00 )1(2 dxxa ,2 0 cos)1(2 nxdxxan )1(cos22 nn ,5,3,14 ,6,4,202 nn n當當 5cos513cos31(cos4121 22 xxxx )0( x 1 xy )7cos715cos513cos31(cos412 222 xxxxy 三 、 以 2l為 周 期 的 傅 氏 級 數(shù) ltxtlx 或 ) ()( ltftF 則定 理 的 條 件滿 足如 果 , )( DinitF 其 中 ,2,1,0,cos)(1 nntdttFan ,2,1,0,sin)(1 nntdttFbn )sincos(2)( 10 n nn ntbntaatF lln ndxlxnxfla ,2,1,0,cos)(1 lln ndxlxnxflb ,2,1,0,sin)(1 )sincos(2 10 n nn lxnblxnaaxf 便 有換 回 ,x ,)()1( 為 奇 函 數(shù)如 果 xf 則 有 ,sin)( 1 n n lxnbxf ,sin)(2 0 dxlxnxflb ln 其 中 系 數(shù) ),2,1( n,)()2( 為 偶 函 數(shù)如 果 xf 則 有 ,cos2)( 10 n n lxnaaxf dxlxnxfla ln 0 cos)(2 其 中 系 數(shù) ),2,1,0( n k2 xy 20 44解 20020 21021 kdxdxa ,k 20 2cos21 xdxnk ,0 20 2sin21 xdxnkbn )cos1( nnk,6,4,20 ,5,3,12 nnnk 當當 )25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf ),4,2,0;( xxna ),2,1( n 解 ,10 xz作 變 量 代 換 155 x ,55 z)10()( zfxf ),(zFz ,)55()( 的 定 義補 充 函 數(shù) zzzF ,5)5( F令 )10()( TzF 作 周 期 延 拓然 后 將 ,收 斂 定 理 的 條 件這 拓 廣 的 周 期 函 數(shù) 滿 足 ).()5,5( zF內(nèi) 收 斂 于且 展 開 式 在 x)(zFy5 50 1510),2,1,0(,0 nan 50 2sin)(52 dzznzbn ,10)1( nn ),2,1( n ,5sin)1(10)( 1 n n znnzF )55( z 1 )10(5sin)1(1010 n n xnnx .5sin)1(10 1 n n xnn )155( x 另 解 155 5cos)10(51 dxxnxan 155 5sin)10(51 dxxnxbn 155155 5cos515cos2 dxxnxdxxn ,0 1550 )10(51 dxxa ,0 ,10)1( nn ),2,1( n 1 5sin)1(1010)( n n xnnxxf故 )155( x ),2,1( n