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1、相似原理及量綱分析 第十三章相似原理及量綱分析 實(shí)際工程中，有時(shí)流動(dòng)現(xiàn)象極為復(fù)雜，即使經(jīng)過簡(jiǎn)化，也難以通過解析的方法求解。在這種情況下，就必須通過實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)解決。 而工程原型有時(shí)尺寸巨大，在工程原型上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，會(huì)耗費(fèi)大量的人力與物力，有時(shí)則完全是不可能的(例如：水壩，水工建筑物中抗特大洪水的試驗(yàn))。所以，通常利用縮小的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。而進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)，首先必須解決兩類問題。 (1) 如何正確地設(shè)計(jì)和布置模型實(shí)驗(yàn)，例如，模型形狀與尺寸的確定，介質(zhì)的選取。 (2) 如何整理模型實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果，例如，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理，以及如何將實(shí)驗(yàn)的結(jié)果推廣

2、到與實(shí)驗(yàn)相似的流動(dòng)現(xiàn)象上。 相似原理就是解決上述問題的基礎(chǔ)。本節(jié)的內(nèi)容也適用于葉輪機(jī)械的模型研究、熱力設(shè)備的模型研究以及工程傳熱學(xué)等有關(guān)學(xué)科。 13-1 相似的概念 相似的概念最早出現(xiàn)在幾何學(xué)中，如兩個(gè)相似三角形，應(yīng)具有對(duì)應(yīng)夾角相等，對(duì)應(yīng)邊互成比例，那么，這兩個(gè)三角形便是幾何相似的。 在流體力學(xué)的研究中，所謂相似，主要是指流動(dòng)的力學(xué)相似，而構(gòu)成力學(xué)相似的兩個(gè)流動(dòng)，一個(gè)是指實(shí)際的流動(dòng)現(xiàn)象，稱為原型；另一個(gè)是在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行重演或預(yù)演的流動(dòng)現(xiàn)象，稱為模型。所謂力學(xué)相似是指原型流動(dòng)與模型流動(dòng)在對(duì)應(yīng)物理量之間應(yīng)互應(yīng)平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例關(guān)系(指矢量與標(biāo)量物理量的數(shù)值，

3、如力的數(shù)值，時(shí)間與壓力的數(shù)值等)。對(duì)一般的流體運(yùn)動(dòng)，力學(xué)相似應(yīng)包括以下三個(gè)方面。 一、幾何相似 幾何相似又叫空間相似。即要求模型的邊界形狀與原型的邊界形狀相似，且對(duì)應(yīng)的線性尺寸成相同的比例。 如果以下標(biāo)1表示原型流動(dòng)，下標(biāo)2表示模型流動(dòng)，則幾何相似包括： 線性比例尺：常數(shù)== 2 1 L L L δ (1) 面積比例尺：常數(shù)====2 222 121L A L L A A δδ (2) 體積比例尺：常數(shù)====3 L 32 3 121δυυδL L V (3) 嚴(yán)格地說，幾何相似還包括原型與模型表面的粗糙度相似，但這一點(diǎn)一般情況下不易做到，只有在流體阻力實(shí)驗(yàn)，

4、邊界層實(shí)驗(yàn)等情況下才考慮物體表面的粗糙相似，一般情況下不予考慮。 這樣，當(dāng)知道了原型的尺過后，就可按照L δ來(lái)求得模型的幾何尺寸。 二、運(yùn)動(dòng)相似 即在幾何相似的條件下，原型流動(dòng)與模型流動(dòng)的流線應(yīng)該幾何相似，即對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)、加速度場(chǎng)相似，包括速度與加速度方向一致，大小互成比例。運(yùn)動(dòng)相似應(yīng)包括： 速度比例尺： 常數(shù)==V 2 1 δV V (4) 時(shí)間比例尺：常數(shù)====t V L 2 2 11 21δδδV L V L t t (5) 加速度比例尺： 常數(shù)====a t V 221121//δδδt V t V a a (6) 流量比例尺：常數(shù)====Q t 3

5、 L 23213121//δδδt L t L Q Q (7) 另外，在流體機(jī)械中，還有轉(zhuǎn)速比例尺 常數(shù)====-n 1t 2 1 21/1/1δδt t n n (8) 則： 213 231n 3 L Q 21n n d d Q Q ===δδδ (9) 或： 常數(shù)==2 3 22 1311n d Q n d Q (10) 或中d 1和d 2分別為葉輪機(jī)械原型與模型的直徑。(10)式是流體機(jī)械中滿足運(yùn)動(dòng)相似的 常用相似條件。 通過以上這些公式可見，只要確定了V L δδ與，則其余的一切運(yùn)動(dòng)學(xué)比例尺均可確定。 三、動(dòng)力相似 動(dòng)力相

6、似系指在幾何相似的條件下，原型與模型流動(dòng)中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的同名力方向相同，且大小互成比例。同名力是指具有同一力學(xué)性質(zhì)的力。 由牛頓第二定律，則力的比例尺為： 常數(shù)======F 2 V 2L ρa(bǔ) 3L ρ2 22111221121δδδδδδδυρυρa(bǔ) a a m a m F F (11) 其中m 為流體的質(zhì)量，ρ為流體的密度，ρδ為密度比例尺。則動(dòng)力相似也可以認(rèn)為作用在原型與模型上所有外力的力多邊形幾何相似。 并且，要使模型中流動(dòng)與原型相似，除了上述的三個(gè)相似條件之外，還必須使兩個(gè)流動(dòng)的邊界條件與起始條件相似。符合上述全部條件的這種物理相似則稱為流動(dòng)的力學(xué)相似。并且，在上述所有的相似

7、比例尺中，有三個(gè)各自獨(dú)立的基本比例尺δL 、δV 、δρ，基本比例尺一旦確定，其它一切物理量的比例尺隨之確定，則原型與模型之間的一切物理量換算關(guān)系也隨之確定了。 還需說明一下，兩個(gè)力學(xué)相似的流動(dòng)還應(yīng)該具有相同的運(yùn)動(dòng)微分方程式。這是因?yàn)?，流體運(yùn)動(dòng)微分方程實(shí)質(zhì)上就是慣性力、壓力、粘性力以及其它外力的平衡關(guān)系式，兩流動(dòng)相似，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)上這些力應(yīng)當(dāng)方向一致，大小互成比例。因此，如果兩流動(dòng)相似，應(yīng)滿足同一運(yùn)動(dòng)微分方程。反之，如果兩流動(dòng)具有相同的運(yùn)動(dòng)微分方程，則它們就具有運(yùn)動(dòng)相似與動(dòng)力相似的性質(zhì)，而幾何相似已包含在運(yùn)動(dòng)相似與動(dòng)力相似之中，因此，如果兩個(gè)流動(dòng)滿足同一運(yùn)動(dòng)微分方程，且具有相似的邊界條件與起始條

8、件，那么，這兩個(gè)流動(dòng)就是力學(xué)相似的。 13-2 相似原理 由前面的討論可知，若判定兩個(gè)流動(dòng)是否相似，可用檢查各種比例尺的方法確定，但是，這樣做往往是很繁鎖的。實(shí)際上，判定兩個(gè)流動(dòng)是否相似，可用一個(gè)更簡(jiǎn)便的方法，即相似定理。 在介紹相似定理之前，先定義相似現(xiàn)象，所謂相似現(xiàn)象，必須滿足下述條件： (1) 描述現(xiàn)象的微分方程組必須相同； (2) 單值條件相似。單值條件又分為； ① 幾何條件，例如幾何形狀及大??； ② 物性條件，例如密度與粘度； ③ 邊界條件，例如進(jìn)出口及壁面處流速的大小分布； ④ 起始條件，例如初始狀態(tài)的速度、溫度等。 在定常流動(dòng)的情況下，如果模型與原型采用

9、同樣的流體，則單值條件就是幾何條件與邊界條件。 (3) 同名準(zhǔn)則數(shù)相等； 上述三個(gè)條件，是相似現(xiàn)象的必要與充分條件。 例如，流體質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為： 1 1 1d d t L V = 與其相似的另一流動(dòng)，其流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 2 2 2d d t L V = 由2t 12L 12V 1,, t t L L V V δδδ===代入上式，則有 2t L 22t L 2t 2L 1112V d d )(d )(d d d V t L t L t L V V δδδδδδδ==== = 即 1L t V =δδδ 由此可見，各相似比例尺是不能

10、隨意選取的，必須受上式制約。若將21V /V V =δ， 21t /t t =δ，21L /L L =δ代入上式，則可得到 t S L Vt L t V L t V ===222111 (1) S t 稱為均時(shí)性準(zhǔn)則，S t 為不變量，且S t 是個(gè)無(wú)因次綜合量，無(wú)因次又稱為零因次，而零因次是相似準(zhǔn)則的主要屬性。均時(shí)性準(zhǔn)則在研究非定常流動(dòng)時(shí)，要用到。 另外，把S t 稱為變量是因?yàn)樵谕幌到y(tǒng)中，某一時(shí)刻，不同點(diǎn)或不同截面上的相似準(zhǔn)則會(huì)有不同的數(shù)值；而彼此相似的系統(tǒng)，在對(duì)應(yīng)時(shí)刻，對(duì)應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)截面上，相似準(zhǔn)則數(shù)應(yīng)該相等。因此，相似準(zhǔn)則不是常量，而稱為不變量，例如，在圖13-1所

11、示的兩個(gè)相似流動(dòng)中 22 1 1Re Re Re Re ≠≠ 但是 212 1Re Re Re Re == 其中Re 即雷諾數(shù)，在這里又稱為雷諾準(zhǔn)則。 雷諾準(zhǔn)則可作為描述兩個(gè)相似的層流流動(dòng)中，粘性阻力相似的準(zhǔn)則。除S t 、Re 外，流體力學(xué)中還有重力相似準(zhǔn)則(佛汝德相似準(zhǔn)則)；紊流阻力相似準(zhǔn)則；壓力相似準(zhǔn)則(歐拉相似準(zhǔn)則)；彈性力相似準(zhǔn)則(柯西相似準(zhǔn)則及馬赫相準(zhǔn)則)。這里不加詳述。將上述準(zhǔn)則的表達(dá)式列于下面。 均時(shí)性準(zhǔn)則(又稱為時(shí)間相似準(zhǔn)則) L Vt S t = (2) 層流粘性阻力相似準(zhǔn)則(雷諾相似準(zhǔn)則) v VL = Re (3) 1 Re 2 Re

12、 2 Re 1 Re 圖13-1 相似原理 紊流阻力相似準(zhǔn)則 2 1 λλδλ= (4) 重力相似準(zhǔn)則(佛汝德相似準(zhǔn)則) gL V F r 2 = (5) 壓力相似準(zhǔn)則(歐拉相似準(zhǔn)則) 2 V p E u ρ= (6) 彈性力相似準(zhǔn)則 2 V p E u ρ= (7) 柯西準(zhǔn)則 0 2 E V C a ρ= (8) 馬赫準(zhǔn)則 a V M = (9) 式中λ——流動(dòng)的沿程損失系數(shù)； g ——重力加速度； p ——流體壓強(qiáng)； ρ——流體密度； E 0——流體的彈性模數(shù)，即作用在單位面積流體上的彈性力； a ——聲音在氣體(可壓縮流體)中

13、的傳播速度。 1．相似第一定理 “彼此相似的現(xiàn)象，同名準(zhǔn)則數(shù)必定相等”。相似第一定理又稱為相似正定理，第一定理指出了實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)該測(cè)量哪些量的問題。 嚴(yán)格地說，判定兩個(gè)流動(dòng)是否相似，應(yīng)該滿足相似第一定理。即所有對(duì)應(yīng)的同名準(zhǔn)則數(shù)應(yīng)該相等。換句話說，除包括幾何相似與運(yùn)動(dòng)相似之外，還應(yīng)包括作用于流體上的所有外力相似。但實(shí)際上同時(shí)滿足所有的外力相似是不可能的。對(duì)于某個(gè)具體的流動(dòng)來(lái)說，雖然同時(shí)作用著各種不同性質(zhì)的外力，但總有一種或兩種外力起主要作用，它們決定著流體 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，在模型實(shí)驗(yàn)中，只要使主要外力滿足相似條件，或主要的相似準(zhǔn)則相等，這個(gè)實(shí)驗(yàn)就可進(jìn)行下去。例如，一般而言，管內(nèi)流動(dòng)是在壓差作

14、用下克服管道摩擦而產(chǎn)生和流動(dòng)，粘性力決定壓差的大小，而其它力均是無(wú)足輕重的次要因素，此時(shí)，主要的相似準(zhǔn)則即雷諾準(zhǔn)則。 2．相似第二定理 相似第二定理又稱為相似逆定理，可敘述為：“凡同一種類現(xiàn)象(即可用同一微分方程組描述的現(xiàn)象)，若單值性條件相似，并且由單值性條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象就必定相似”。 第二定理指出了模型實(shí)驗(yàn)應(yīng)遵守的條件。但是，在實(shí)際工作中，要求模型與原型的單值性條件全部相似是很困難的。在保證一定精度的情況下，可允許單值性條件部份相似或近似相似。 13-3 量綱分析法與相似第三定量(π定理) 在流體力學(xué)或其它學(xué)科領(lǐng)域中有時(shí)會(huì)遇到這樣的情

15、況：根據(jù)分析判斷已知若干個(gè)物理量之間存在著函數(shù)關(guān)系，并且已知其中某一物理量受其余物理量的影響，但由于問題的復(fù)雜性，運(yùn)用已有的理論分析方法尚不能確定這種變化過程的方程式，這時(shí)則必須借助于科學(xué)實(shí)驗(yàn)。如果用依次改變每個(gè)自變量的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，工作量又過于巨大，為了減少工作量，同時(shí)又能使實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有普通適用價(jià)值，則必須合理的選擇實(shí)驗(yàn)變量，通常是將物理量之間的函數(shù)式轉(zhuǎn)化成無(wú)量綱數(shù)之間的函數(shù)式。怎樣確定實(shí)驗(yàn)中的無(wú)量綱數(shù)，這就需要π定理和量綱分析的知識(shí)。 在介紹π定理之前，先介紹量綱分析法。 所謂量綱(也稱為因次)即物理量單位的種類。例如，小時(shí)、分、秒、是時(shí)間的不同測(cè)量單位但這些單位屬于同一種類，均為時(shí)間

16、單位，用[T ]表示。則T 就是上述時(shí)間單位的量綱，同理，米、厘米、毫米等同屬長(zhǎng)度單位，用[L ]表示長(zhǎng)度量綱。噸、千克、克同屬質(zhì)量單位，用[M ]表示質(zhì)量量綱。上面三個(gè)量綱，在國(guó)際單位制中，又稱為基本量綱，而其它物理量的量綱，均可用基本量綱的不同指數(shù)冪乘積形式來(lái)表示。例如 21 --=?==== MLT LT T L 加速度質(zhì)量力時(shí)間長(zhǎng)度速度 在流體力學(xué)中，取長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間作為基本物理量，而其它物理量則是由基本量綱根據(jù)一定的物理方程導(dǎo)出的。因此，在量綱分析中，也取L 、M 、T 作為基本量綱，在傳熱學(xué)中，還要加上一個(gè)溫度的基本量綱[θ]。 而量綱分析法指出：一個(gè)物理方程式的等式

17、兩邊應(yīng)該具有相同的量綱。否則，則不是正確的物理程式。 然而，量綱分析法也有其不足之處。這是因?yàn)椋锢砹康幕玖烤V只有三個(gè)，即M 、L 、T 。所以，只有當(dāng)影響流動(dòng)的參數(shù)也只有三個(gè)時(shí)，才能用三個(gè)等式來(lái)求解三個(gè)未知數(shù)(即三個(gè)指數(shù))，上例影響流動(dòng)的的參數(shù)有四個(gè)，即d ，V ，v ，ρ，那么在只在三個(gè)等式方程的情況下，求解四個(gè)指數(shù)，即α，β，γ，δ，這就存在一個(gè)待定指數(shù)的問題。如果影響流動(dòng)的參數(shù)更多，那么就有更多的待定指數(shù)。所以，這種方法使我們?cè)谥笖?shù)的選取上存在著困難。 為此，柏金漢(E.Bucking.Ham)提出了改進(jìn)的量綱分析法，即解決上述問題的另外一種更為普遍的方法，這就是著名的π的定理。

18、 π定理(相似第三定理)敘述如下： 某一物理現(xiàn)象中，共有i個(gè)物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個(gè)，則i個(gè)物理量存在某種函數(shù)關(guān)系。 f(x1，x2，……，x i)=0 (9) 如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，x i組成的無(wú)量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0 (10) 以上這個(gè)結(jié)論就是著名的π定理，也稱為相似第三定理或柏金漢定理。 在π定理的應(yīng)用中，通常在變量x1，x2，……，x i中選擇j個(gè)不同的物理量作為重復(fù)變量，連同其余的i-j個(gè)變量組合成Π1，Π2，……，Πi-j。 在流體力學(xué)中，為了保證幾何相似，常選擇一個(gè)長(zhǎng)度量綱，例如l或d；為了保證運(yùn)動(dòng)相似，常選擇一個(gè)速度量綱，例如速度V；為了保證動(dòng)力相似，常選擇一個(gè)質(zhì)量有關(guān)的量綱，例如流體的密度ρ。 最后，需要指出的是，相似理論或量綱分析的應(yīng)用，必須要求對(duì)所要研究的物理問題有細(xì)致的觀察和深刻的了解，這樣才能有效地運(yùn)用量綱分析或π定理，換句話說，這種方法歸根到底只能從實(shí)驗(yàn)中來(lái)到實(shí)驗(yàn)中去，若缺乏實(shí)驗(yàn)資料，而單純依靠量綱分析是得不出正確結(jié)果的。