20090413 14.4 高 階 偏 導(dǎo) 與 泰 勒 公 式 ),(22 yxfxzxzx xx ),(22 yxfyzyzy yy),(2 yxfyx zxzy xy ),(2 yxfxy zyzx yx函數(shù)),( yxfz 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義1：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階偏導(dǎo)數(shù).一 、 高 階 偏 導(dǎo) 數(shù) .02222 yuxu 解 ),ln(21ln 2222 yxyx ,22 yx xxu ,22 yx yyu ,)()( 2)( 222 22222 2222 yx xyyx xxyxxu .)()( 2)( 222 22222 2222 yx yxyx yyyxyu 222 22222 222222 )()( yx yxyx xyyuxu .0 解 xz ,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx 22xz ,6 2xy 22yz ;182 3 xyx 33xz ,6 2y yxz .196 22 yyxxyz ,196 22 yyx 解 ,cosbyaexu ax ;sinbybeyu ax,cos222 byeaxu ax ,cos222 byebyu ax,sinbyabeu axxy .sinbyabeu axyx 問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？4例,0,0 ,0),( 22 2222 22 yx yxyx yxxyyxf ,0,0 ,0)( )4(),( 22 22222 4224 yx yxyx yyxxxyxfy .1)0,0(,1)0,0( yxxy ff ,0,0 ,0)( )4(),( 22 22222 4224 yx yxyx yyxxyyxfx 二 、 復(fù) 合 函 數(shù) 的 高 階 偏 導(dǎo) 數(shù)標(biāo)準(zhǔn)求法數(shù)都是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)、設(shè)例 , 5 yxf ),(),( tsytsxfu., 22222 tsutusu 求由鏈?zhǔn)椒▌t知解： ,syyfsxxfsu .tyyftxxftu 的二元函數(shù)， )()(22 syyfssxxfssu 22)( sxxfsxxfs 22)( syyfsyyfs sxsyyx fsxxf )( 222 22sxxf sysyyfsxxy f )( 222 22syyf tsutu 222 ,類似可求 :兩種技巧),(),( .1 yxvvyxuu 設(shè):,的雅可比矩陣為關(guān)于變量定義yxvu yx yx vv uuyx vuJ ),( ),( zyx zyx zyx www vvv uuuzyx wvuJ ),( ),(的所有二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)設(shè)),(),( 000 yxPyxfz 定義:)( 0矩陣為黑賽的在點(diǎn)H essePf 0)()( )()()( 00 000 Pyyyx xyxxyyyx xyxxf ff ffPfPf PfPfPH ,存在 的在點(diǎn)類似可定義),(),( 0000 zyxPzyxfu :)( 矩陣為黑賽H esse 0)( 0 Pzzzyzy yzyyyx xzxyxxf fff fff fffPH . , ),(),(),( 偏導(dǎo)數(shù)都存在相應(yīng)于各自變量的二階且設(shè)vufyxvvyxuuvufz :),( 的二階偏導(dǎo)數(shù)滿足則yxzz yyyx xyxx zz zz yx yx vv uu yy xx vu vu vvvu uvuu ff ff yyyx xyxxvyyyx xyxxu vv vvfuu uufH JJ HH H :即zH JJ fH uuHf vvHf .元函數(shù)也有類似公式一般的n . , ),(),(),( .2數(shù)都存在相應(yīng)于各自的二階偏導(dǎo)且設(shè)vufyxvvyxuuvufz : 為例以求xyz第一步寫出下表 fxyz uuf uvf vuf vvf uf vf ., 數(shù)的所有二階和一階偏導(dǎo)關(guān)于之后是第一行vuff yxuu yxvu yxuv yxvv yxu yxv.第二行特點(diǎn) 第二步,)(兩兩相乘第一列除外將表中各列元素: , ,的表達(dá)式便得到再相加yxz.xyz :注意必須看成不同的項(xiàng)與混合偏導(dǎo)數(shù)vuuv ff),(即便相等. 否則. ,比如其它類似. 熟悉以后 三 、 中 值 定 理 和 泰 勒 公 式 , 2 DD于上任意兩點(diǎn)的連線都含若區(qū)域定義.為凸區(qū)域則稱D ,),(),( 222111 DyxPyxP 或：,10 .)(),( 121121 DyyyxxxP 作 業(yè) 習(xí) 題 14-3 1(奇 數(shù) ), 2(3,4), 4, 6, 9， 10.